Siła Lorentza W przestrzeni istnieje pole magnetyczne o indukcji B. Na ładunek próbny q0 poruszający się w tej przestrzeni z prędkością v działa siła F wyrażona wzorem (1)

Wartość bezwzględna tej siły wyraża się wzorem: F  B F  v z y B F  v x

q < 0 B v q =0 q q > 0

Wiązka elektronów w polu B

Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem Prąd jest uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych, należy się spodziewać, że pole magnetyczne będzie wywierać siłę na przewodnik, przez który płynie prąd. Jeżeli w jednostce objętości przewodnika znajduje się n elektronów, to w przewodniku o przekroju S i długości l zawartych jest N = nSl elektronów. (2) Na każdy elektron działa siła opisana wzorem (1 ). Wartość wypadkowej siły działającej na przewodnik wyniesie F = evBsin nSl (3)

i = enSv (4) F = ilBsin (3a) F = i(l  B) (5) Natężenie prądu i można określić jako ładunek przepływający w jednostce czasu przez przekrój poprzeczny tego przewodnika S, możemy zapisać to wzorem i = enSv (4) Z porównania wzorów (2, 3, 4) otrzymujemy F = ilBsin (3a) Wzór ten w zapisie wektorowym ma postać F = i(l  B) (5) Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć siłę wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z prądem.

Andrẻ-Marie Ampẻre (1775-1836) Fizyk i matematyk francuski Odkrył związek magnetyzmu z przepływem prądu

Prawo Ampere’a Cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów płynących wewnątrz konturu całkowania. I B

C i2 i1 i3 dl B i = i1 - i2 + i3 (6) i - suma prądów wewnątrz linii C

Przenikalność magnetyczna próżni: Bdl =0 i (7) C Przenikalność magnetyczna próżni: 0 = 410-7 Tm/A B - wektor indukcji magnetycznej i - natężenie prądu dl - wektor przesunięcia (drogi) wzdłuż linii C

Indukcja magnetyczna wokół przewodnika z prądem i dl i B r (8) B || dl B dl = 0 i = B dl = B2r (7a)

d a b F (9) l B ia ib

Prawo Biota - Savarta (10) i dl  i r dB P

(10) Przykład 1. Korzystając z prawa Biota - Savarta obliczyć wektor indukcji magnetycznej B dla dowolnego punktu leżącego na zewnątrz prostoliniowego, cienkiego, nieskończenie długiego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu i.

P (11) a i d (12)  r (13) rd dl  

Michael Faraday (1791-1867) Fizyk i chemik angielski Odkrył indukcję elektromagnetyczną i samoindukcję.

Prawo indukcji Faradaya (14) L • • E Indukowana w obwodzie SEM jest równa szybkości, z jaką zmienia się strumień pola B, przechodzący przez ten obwód. Znak „-” dotyczy kierunku indukowanej SEM.

E - Siła elektromotoryczna Pole B E - Siła elektromotoryczna

Jeżeli podane równanie zastosować do zwojnicy o N zwojach, to w każdym z nich pojawi się SEM i te siły elektromotoryczne dodadzą się. (14a) Strumień pola magnetycznego definiowany jest w sposób następujący: (15)

Linie pola B wybiegają z bieguna N Reguła Lenza S N S N i v W przewodzie zaczyna płynąć prąd o natężeniu i. Powstające pole przeciwdziała ruchowi magnesu. Linie pola B wybiegają z bieguna N

(16) (17) B  F  SEM  i i v l B Przykład 2. Jaka siła elektromotoryczna SEM powstanie w w obwodzie o kształcie prostokąta przesuwanym z prędkością v w jednorodnym polu magnetycznym B? x B  F  SEM  i F3 i                                                                         F1  0 v F2 = F3 F1 l B (16) B =Blx F2 (17)

Jeżeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie zacznie płynąć prąd o natężeniu i. (18) Siła F1 przeciwdziałająca przesuwaniu się obwodu: (19) F1 =il  B Moc tracona: (20)

Siła elektromotoryczna indukowana w zmiennym polu magnetycznym Szybkość zmian pola B:                                                                       r ponieważ zwój E (21) B   Zmienne pole  magnetyczne wytwarza pole elektryczne E (22)

Indukcyjność Siła elektromotoryczna indukowana w cewce o N zwojach: (14a) Strumień pola magnetycznego cewki oddalonej od wszelkich materiałów magnetycznych jest proporcjonalny do natężenia prądu i płynącego przez cewkę. (23) L - indukcyjność, współczynnik proporcjonalności między natężeniem prądu a strumieniem pola magnetycznego cewki

Korzystając z prawa Faradaya indukowaną SEM można przedstawić następująco: (24) A stąd indukcyjność L (25) Jednostką indukcyjności jest

EL a) EL b) i i Kierunek SEM można otrzymać z reguły Lenza. Wyobraźmy sobie, że nawinęliśmy cewkę. Zauważamy różne kierunki siły elektromotorycznej EL . i EL b) i W przewodzie a) prąd maleje, a w przewodzie b) rośnie. EL - siła elektromotoryczna w obu przypadkach przeciwdziała zmianie prądu.

(26) (27) (28) Obliczanie indukcyjności cewki. a) Aby zapobiec zmniejszeniu się prądu, indukowana SEM musi mieć ten sam kierunek co prąd. b) Jeżeli prąd wzrasta, indukowana SEM musi mieć kierunek przeciwny. Obliczanie indukcyjności cewki. Indukcyjność ściśle nawiniętej cewki: (26) Dla długiego solenoidu o długości l, przekroju S i ilości zwojów na jednostkę długości n: (27) Na podstawie prawa Ampere’a można wykazać, że indukcja B solenoidu wynosi: (28)

h B dl = B dl= Bh = nµ0ih B = nµ0i Indukcja solenoidu h Przekrój cewki n - ilość zwojów na jednostkę długości B dl = B dl= Bh = nµ0ih B = nµ0i

Wstawiając B do wyrażenia na strumień B i przekształcając otrzymujemy L solenoidu: (29) (30) Obwód RL R R - wartość oporu L - indukcyjność E - SEM baterii EL - SEM cewki i - natężenie prądu i  E  EL L

Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy równanie obwodu w postaci (31) (32) Rozwiązaniem równania różniczkowego (31) jest (34) (33) gdzie  nazywamy stałą czasową Równanie (32) po pomnożeniu przez i. Składniki mają wymiar mocy. (32a)

Szybkość z jaką gromadzi się energia w polu magnetycznym dWB/dt: Iloczyn prądu i napięcia na cewce (35) Po scałkowaniu tego wyrażenia otrzymamy całkowitą energię pola magnetycznego zawartą w cewce o indukcyjności L. (36)

Przykład 3 Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego wB cewki o długości l i przekroju S. (37) (37a) L = 0 n2lS Po uwzględnieniu tych związków otrzymujemy gęstość energii pola magnetycznego wB. (38)

Indukcja wzajemna i1 E E2 i2 Nawijamy teraz dwie cewki, umieszczamy je w blisko siebie. i1 E E2 i2

Dwie cewki umieszczone blisko siebie mogą na siebie oddziaływać wzajemnie. Stały prąd i1 płynący w jednej cewce utworzy strumień pola magnetycznego  obejmującego drugą cewkę. Jeżeli zmienimy prąd i1 w czasie, to w drugiej cewce pojawi się siła elektromotoryczna E. Zjawisko to nazywamy indukcją wzajemną. Cewka 2 jest oddzielnym zamkniętym obwodem elektrycznym, która obejmuje strumień 21. Definiujemy indukcję wzajemną cewki 2 względem 1 jako: (38) (39) Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymamy:

Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem Faradaya siłą elektromotoryczną E2 pojawiającą się w cewce 2 dzięki zmianom prądu w cewce 1. Jeżeli zamienimy cewki rolami - odłączymy źródło napięcia z obwodu cewki 1, a umieścimy je w obwodzie cewki 2, która teraz wytworzy strumień 12, to w obwodzie cewki 1 pojawi się SEM. (40) SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do szybkości zmian prądu w drugiej cewki. Zwykle też M21 = M12 = M (41)

Indukowane pole magnetyczne, pełne prawo Ampere’a - + E  B  i       R Prąd i dopływa do okładek Pole elektryczne E i indukowane pole magnetyczne B w trakcie ładowania kondensatora płaskiego.

zmienny strumień pola elektrycznego (42) Pole magnetyczne jest wytwarzane przez zmienny strumień pola elektrycznego przepływ prądu Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół przewodnika z prądem zakładano, że strumień pola elektrycznego jest równy zeru. To wyrażenie ma wymiar prądu i nosi nazwę prądu przesunięcia.

Prąd przesunięcia (42a) (44) (43) (45) Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na utrzymanie zasady ciągłości prądu. (44) (43) Różniczkujemy po czasie (45)

Prąd przesunięcia jest równy prądowi przewodzenia w obwodzie zewnętrznym. (46) Przykład 4. Obliczyć prąd przesunięcia kondensatora o okładkach kołowych, promień okładek R = 5 cm, pole elektryczne zmienia się z szybkością dE/dt =1012 V/(m•s). (47)

WEKTORY MAGNETYCZNE B - Indukcja magnetyczna – wszelkie prądy H – Natężenie pola magnetycznego – prądy rzeczywiste M – Namagnesowanie (dipolowy moment magnetyczny na jednostkę objętości)

Związek między wektorami magnetycznymi (48) indukcja namagnesowanie natężenie pola

Indukcja magnetyczna B Def. Jeżeli dodatni ładunek próbny porusza się w stronę punktu P z prędkością v i jeżeli na ten ładunek działa siła F, to w punkcie p istnieje pole B, gdzie B jest wektorem spełniającym związek:

Prawo Ampera może być zapisane w sposób następujący: (49) gdzie H jest wektorem zależnym tylko od prądów rzeczywistych. W próżni obowiązuje zależność (50) , dla materiałów magnetycznych (51), µm – przenikalność magnetyczna ośrodka. (50) (51)

W obecności materiałów magnetycznych prawo Ampera może być zapisane z uwzględnieniem iM - prądu magnesującego: (52) Równoważna postać równania po uwzględnieniu wektora magnetyzacji M: (48)

Równania Maxwella (54) Prawo Gaussa dla elektryczności Prawo Gaussa dla magnetyzmu Prawo indukcji Faradaya Prawo Ampere’a