Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności Punktem wyjścia do badania współzależności cech są dane, w których dla każdej jednostki statystycznej określono wartości dwóch cech: X i Y. Mamy więc zbiór n jednostek i przyporządkowane im pary cech (xi, yi), i = 1, 2, ... n.

Szereg szczegółowy dla dwóch obserwowanych cech

Tablica korelacyjna

Przykład

Dane pogrupowane w tablicy korelacyjnej

Współzależność występująca między cechami może być dwojakiego rodzaju: funkcyjna (dokładna) stochastyczna (probabilistyczna). Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna (statystyczna).

Współzależność funkcyjna Polega na tym, że zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określoną zmianę wartości drugiej zmiennej. Określonej wartości jednej zmiennej X odpowiada jedna i tylko jedna i tylko jedna wartość drugiej zmiennej Y.

Zależność stochastyczna Występuje wtedy, gdy wraz ze zmianą jednej zmiennej zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej

Zależność korelacyjna (statystyczna) Polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej. Można zatem ustalić, jak zmieni się - średnio biorąc - wartość zmiennej zależnej Y w zależności od wartości zmiennej niezależnej X.

Przy badaniu współzależności cech przyjmuje się zwykle jedną cechę za niezależną (objaśniającą), której zmienność jest uwarunkowana czynnikami zewnętrznymi, a drugą za zmienną zależną (objaśnianą), tzn. jej wahania próbuje się wyjaśnić (przynajmniej częściowo) zmiennością cechy niezależnej. Zależność korelacyjna może być obustronna lub jednostronna.

Tablica korelacyjna W tablicy korelacyjnej zawarte są dwa rodzaje rozkładów: brzegowe i warunkowe. Rozkład brzegowy prezentuje strukturę wartości jednej zmiennej (X lub Y) bez względu na kształtowanie się wartości drugiej zmiennej. Rozkład brzegowy zmiennej X tworzy pierwsza i ostatnia kolumna tablicy, natomiast rozkład brzegowy zmiennej Y - pierwszy i ostatni wiersz.

Rozkład brzegowy zmiennej X - powierzchnia użytkowa mieszkań (m2)

Rozkład brzegowy zmiennej Y - liczba mieszkańców

Rozkład warunkowy prezentuje strukturę wartości jednej zmiennej (X lub Y), pod warunkiem, że druga zmienna przyjęła określoną wartość. Rozkładów warunkowych zmiennej X jest tyle, ile jest wariantów zmiennej Y, i na odwrót.

Np. rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem, że Y=2

Np. rozkład warunkowy zmiennej Y pod warunkiem, że X=(70-90>

Rozkłady brzegowe i warunkowe mogą być scharakteryzowane pewnym sumarycznymi wielkościami. W analizie korelacji szczególnie użytecznymi miarami są: średnia arytmetyczna i wariancja (lub odchylenie standardowe)

Średnie arytmetyczne z rozkładów brzegowych

Średnie z rozkładów warunkowych

Jeżeli wraz ze wzrostem (spadkiem) konkretnych wartości jednej zmiennej obserwuje się wzrost (spadek) warunkowych średnich drugiej zmiennej, to fakt ten świadczy o istnieniu korelacji dodatniej między zmiennymi. Przeciwny kierunek tych zmian świadczy o istnieniu korelacji ujemnej.

Wariancje brzegowe

Wariancje warunkowych rozkładów

Cecha X jest stochastycznie niezależna od cechy Y, jeżeli spełnione są jednocześnie następujące warunki: Cecha Y jest stochastycznie niezależna od cechy X, jeżeli spełnione są jednocześnie następujące warunki:

Niezależność korelacyjną - będącą szczególnym przypadkiem niezależności stochastycznej - definiujemy następująco: zmienna X jest korelacyjnie niezależna od zmiennej Y, jeżeli średnie warunkowe zmiennej X są równe; zmienna Y jest korelacyjnie niezależna od zmiennej X, jeśli średnie warunkowe zmiennej Y są sobie równe.

Dwie cechy mierzalne 1. Kowariancja dla szeregu szczegółowego dla szeregu w tablicy korelacyjnej

Kowariancja Jest to: miara symetryczna; przyjmuje wartości z przedziału <‑SxSy, SxSy>; informuje o kierunku korelacji między zmiennymi.

Dane pogrupowane w tabeli korelacyjnej

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona: Jest to: miara symetryczna; przyjmuje wartości z przedziału <‑1,1>; informuje o sile oraz kierunku korelacji liniowej między zmiennymi. Dwie cechy mierzalne

Kierunek zależności rxy= 0 świadczy o braku korelacji liniowej między badanymi cechami (możliwe, że istnieje między nimi korelacja krzywoliniowa!), rxy> 0 informuje nas, że mamy do czynienia z korelacją dodatnią (wraz ze wzrostem wartości jednej cechy wzrasta średnia warunkowa drugiej), rxy< 0 korelacja jest ujemna (wzrostowi wartości jednej cechy towarzyszy spadek średniej warunkowej drugiej). przy rxy= 1 lub -1 mamy liniową zależność funkcyjną.

W analizach statystycznych zwykle przyjmuje się, że jeżeli rxy wynosi: mniej niż 0,2 - praktycznie brak związku liniowego między badanymi cechami, może występować korelacja krzywoliniowa; <0,2-0,4) - zależność liniowa wyraźna, lecz niska; <0,4-0,7) - zależność umiarkowana; <0,7-0,9) - zależność znacząca; <0,9-1> zależność bardzo silna.

Współczynnik determinacji liniowej R2=rxy2 podaje, jaka część zmienności cechy zależnej jest wyjaśniona zmiennością cechy niezależnej. Dwie cechy mierzalne

3. Współczynnik korelacji kolejnościowej (rang) Spearmana Rxy miara korelacji, wygodna i użyteczna dla niezbyt długich szeregów szczegółowych z dwoma cechami mierzalnymi (lub przynajmniej posiadającymi pewien naturalny porządek pozwalający na ustawienie wartości rosnąco lub malejąco) . Wartość Rxy należy do przedziału <-1,1> i mówi o sile oraz kierunku korelacji. Dwie cechy mierzalne

Współczynnik rang Spearmana Rxy gdzie di są różnicami między kolejnymi numerami (rangami) nadawanymi w kolejności niemalejącej (lub nierosnącej) osobno dla każdej cechy od 1 do n. Jeżeli kilka elementów w szeregu ma taką samą wartość jednej cechy, to nadaje im się rangi będące średnią arytmetyczną przypadających na te elementy rang.

Dwie cechy niemierzalne, dwie cechy mierzalne, cecha niemierzalna i cecha mierzalna Współczynnik zbieżności Czuprowa

Współczynnik zbieżności Czuprowa Wymaga ona danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej

Współczynniki zbieżności Czuprowa przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Im współczynnik zbieżności jest bliższy zeru, tym zależność między zmiennymi jest słabsza. Do oceny natężenia korelacji między zmiennymi X i Y wykorzystuje się obok współczynnika zbieżności również współczynnik determinacji: Miara ta wskazuje w ilu procentach zmienność zmiennej zależnej jest określana zmiennością zmiennej niezależnej.

Przykład:W 600-osobowej losowo dobranej grupie ludzi przeprowadzono badanie ankietowe mające na celu uzyskanie odpowiedzi na pytanie: „Czy istnieje zależność między wykształceniem telewidzów a rodzajem programu, który najchętniej oglądają?” Otrzymane dane przedstawiono w empirycznej tablicy korelacyjnej:

Współczynnik zbieżności Czuprowa: