Macierze i wyznaczniki

Trochę historii... Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych jest taka sama. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Kwadraty magiczne znali już starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chiński filozof i budowniczy Lo Shu stworzył ok. 2800 roku p.n.e. tzw. kwadrat idealny, tworząc na jego podstawie podwaliny sztuki Feng Shui. Chińscy architekci doradzali stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie.

Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest jednak ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim słynnym miedziorycie Melancholia I. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Zapewne nieprzypadkowo w dwu wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e. „Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki” (Jiu Zhang Suan Shu) jest pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych. W rozdziale siódmym, „Zbyt dużo i nie wystarczająco” po raz pierwszy wprowadzono koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego matematyka Ko-wę Sekiego w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693.

Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy) przez Sekiego i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych, nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana. Termin „macierz” pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Jamesa J. Sylvestera.

Definicje i przykłady.

Działania na macierzach.

Wyznacznik macierzy kwadratowej.

Minor macierzy i dopełnienie algebraiczne.

Macierz transponowana.

Macierz odwrotna.

Równania macierzowe.

Wzory Cramera.

Rząd macierzy.

Twierdzenie Croneckera-Capellego.

Podobnie przekształcając macierz rozszerzoną, otrzymamy rz(A: B) =3.