Energia wewnętrzna jako funkcja stanu Wykład 8 Energia wewnętrzna jako funkcja stanu Wybrane zastosowania zasad termodynamiki: gaz doskonały gaz fotonowy; prawo Stefana – Boltzmanna „gumkowy silnik Feynmana”

Energia wewnętrzna jako funkcja stanu Za zmienne niezależne przyjmujemy temperaturę i objętość. Mamy wówczas: Chcemy by w tym ogólnym równaniu uwzględnić I i II zasadę termodynamiki. Jeśli układ wymienia z otoczeniem ciepło i pracę to mamy: gdzie ΔQ jest ciepłem dostarczonym do układu, a pΔV wykonaną przez układ pracą. Jeśli dostarczymy ciepło ΔQ przy stałej objętości, tak, że ΔV = 0, to z porównania obu zależności mamy: co oznacza, że: , gdzie n jest liczbą moli substancji, a CV jej molowym ciepłem właściwym.

Z pierwszej zasady ΔU będzie miało dwa człony: Aby znaleźć rozpatrujemy przypadek, w którym dostarczamy ciepło ΔQ przy stałej temperaturze ale dopuszczamy zmianę objętości układu ΔV. Z pierwszej zasady ΔU będzie miało dwa człony: ale ciepło dostarczone ΔQ możemy obliczyć z II zasady, korzystając z twierdzenia Carnota. Całkowita praca wykonana przez gaz w cyklu Carnota jest równa ΔQ (ΔT/T), gdzie ΔQ jest ciepłem dostarczonym do gazu w trakcie izotermicznego rozprężania od V do V + ΔV, a T – ΔT jest końcową temperaturą osiąganą przez rozszerzający się adiabatycznie gaz w trakcie drugiej przemiany cyklu. Ponieważ praca wykonana przez gaz jest równa: dodatnia przy rozprężaniu, ujemna przy sprężaniu, zatem po wykonaniu pełnego cyklu praca wykonana przez gaz będzie równa polu powierzchni zakreskowanej na rysunku obok. Copyright © 1963, California Institute of Technology, Polish translation by permission of Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA

praca wykonana przez gaz = pole zakreskowane = ΔV.Δp = ΔQ(ΔT/T) Obliczymy tę powierzchnię geometrycznie. Jak pokazuje rys. dla nieskończenie małych ΔQ i ΔT (czyli także ΔV) pole to będzie równe: czyli: praca wykonana przez gaz = pole zakreskowane = ΔV.Δp = ΔQ(ΔT/T) ΔQ – ciepło potrzebne do zmiany objętości z V do V + ΔV przy stałej temperaturze T Δp – zmiana ciśnienia gazu przy stałej objętości, gdy T zmienia się o ΔT Mamy zatem: T T-ΔT II zasada Copyright © 1963, California Institute of Technology, Polish translation by permission of Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA a ponieważ: mamy: czyli: Ostatecznie:

Zastosowania; gaz doskonały Co wynika z relacji dla gazu doskonałego? Z teorii kinetycznej wiadomo, że U zależy od liczby cząsteczek gazu i energii ich ruchu, czyli od temperatury, a nie od objętości. Zatem: Oznacza to, że: czyli: przy stałej objętości. W konsekwencji: stała objętość V zgodnie z prawem gazu doskonałego: Warto zwrócić uwagę, że korzystamy z innej, termodynamicznej definicji temperatury; zgodność obu wyników świadczy o zgodności dwóch różnie zdefiniowanych skal temperatur; kinetycznej i termodynamicznej

Zastosowania; gaz fotonowy, prawo Stefana - Boltzmanna Co wynika z relacji dla gazu fotonów? Inaczej niż dla gazu doskonałego, dla światła U zależy i od temperatury i od objętości. Dla wnęki o większej objętości rośnie proporcjonalnie liczba fotonów we wnęce. Wnęka – sześcian o boku a i jeden foton. Ścianki idealnie odbijające światło. Ciśnienie od jednego fotonu, skierowanego w stronę wybranej ścianki wyniesie: p Dla fotonów, z ogólnego wyrażenia dla dowolnej cząstki: a mamy: i ciśnienie od jednego fotonu , a dla wyniesie

Z relacji i ze wzorów: i otrzymamy: czyli: Mamy wówczas na strumień energii wypływającej przez otwór z wnęki z promieniowaniem w równowadze termodynamicznej ze ściankami o temperaturze T: prawo Stefana - Botzmanna gdzie σ jest stałą Stefana – Boltzmanna, σ = k4π2/60(h/2π)3c2 = 5,67×10-8 W/m2K4 http://aneksy.pwn.pl/podstawy_fizyki/?id=805 wyprowadzenie prawa Stefana Botzmanna

Zastosowania; „gumkowy silnik Feynmana” Rozciągana guma ogrzewa się przy rozciąganiu (oddaje ciepło); ochładza się (przyjmuje ciepło) gdy pozwolimy się jej skurczyć (proces odwracalny). Można w takim razie oczekiwać, że podgrzanie gumki (dostarczenie gumce ciepła) spowoduje jej kurczenie, czyli stwarza możliwość wykonania przez nią pracy (podniesienie ciężarka na pewną wysokość), rysunek obok. Copyright © 1963, California Institute of Technology, Polish translation by permission of Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA Zaproponowany przez Feynmana*) silnik z gumkami, wykorzystujący opisane własności gumy, rysunek obok. *) Feynmana wykłady z fizyki, t. I, cz. 2, rozdz. 44 Copyright © 1963, California Institute of Technology, Polish translation by permission of Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA

Dla pracującej (rozciąganej, lub podnoszącej ciężarek) gumki: ze znakiem plus, gdyż dla rosnącego ΔL praca jest wykonywana nie przez gumkę ale na gumce (ciężarek rozciąga gumkę). Porównując z: widzimy, że należy zastąpić p przez – F i ΔV przez ΔL. Mamy wówczas z równania: otrzymanego poprzednio z II zasady, po podstawieniu, następujące równanie: które mówi nam jaki jest związek pomiędzy wzrostem napięcia podgrzewanej gumki jeśli jej długość się nie zmienia, a ilością ciepła potrzebną do utrzymania stałej temperatury, gdy gumkę trochę rozciągniemy. Zdobyliśmy o zjawisku pewną wiedzę, w postaci ilościowego związku, bez modelu mikroskopowego, tylko na podstawie ogólnych zasad termodynamiki.