Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre. Euler używał ich intensywnie do badania problemów z teorii liczb. Def. Funkcją tworzącą ciągu liczbowego (pj), j=0,1,… nazywamy funkcję : , jeśli tylko powyższy szereg potęgowy jest zbiezny w niepustym przedziale (-a,a). Gdy X jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych i o rozkładzie P(X = j) = pj , j=0,1,… to funkcję tworzącą ciągu (pj) nazywamy funkcją tworzącą zmiennej losowej X i oznaczamy gX. Z definicji wynika natychmiast, że gX(s)=EsX. Oczywiście funkcja tworząca zależy tylko od rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

Funkcja tworząca jest dobrze określona co najmniej dla , bowiem z oszacowania : wynika wtedy bezwględna zbieżność szeregu (1). Dla |s| < 1 pierwsze dwie pochodne wynoszą : a ogólnie : Stąd dla s = 0 mamy :

Udowodniliśmy zatem następujące : Twierdzenie : Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą. Powróćmy do wzoru (2). Jeśli EX < N, to szereg definiujący pierwszą pochodną jest zbieżny dla s = 1. Na mocy twierdzenia Abela mamy wtedy : Jeśli EX = N, to szereg jest rozbieżny, ale i Można zatem przyjąć dopuszczając wartość N. Otrzymujemy wtedy po prostu : Podobnie :

Jeżeli EX2 < N, to z (3) i (4) otrzymujemy : Przykład : Niech X ma rozkład geometryczny P(X = j) = qj p , gdzie j = 0,1… Wtedy : Stąd : i

Funkcja tworząca sumy niezależnych składników Z zależności gX(s) = EsX wynika następujące : Twierdzenie : Jeżeli X1, X2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g1, g2, …, gn, to suma X1 + X2 + … + Xn ma funkcję tworzącą : D o w ó d. Ponieważ X1, X2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zmienne losowe sXi , i = 1,2,...,n są niezależne i g X1 + X2 + … + Xn (s) = EsX1 + X2 + … + Xn = ,ale gXi(s) = EsXi , zatem g X1 + X2 + … + Xn (s) =

Twierdzenie : Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g1, g2 , , to P(X-Y = k) jest równe współczynnikowi przy sk w funkcji g1(s)g2(1/s). D o w ó d. Mamy Obliczmy wyraz z sk. Dla k >= 0 ma on postać : Dla k < 0 rachunki są podobne.

Przykład. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba całkowita wylosowana ze zbioru liczb od 000000 do 999999 będzie miała sumę pierwszych trzech cyfr równą sumie ostatnich trzech cyfr. Jeśli X = X1 + X2 + X3 będzie sumą pierwszych trzech cyfr, a Y = Y1 + Y2 + Y3 będzie sumą ostatnich trzech cyfr, to gx(s)gy(1/s) = 10-6s-27(1-s10)6(1-s)-6 . Zatem współczynnik przy s0 jest równy :