Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 5: Wprowadzenie do MES. Przykłady Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.co Literatura: [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw –Hill, 2 nd , Oxford, 1951 [2] Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, , PWN, Warszaw-Kraków, 1980 [3] Rakowski G., Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa, 1979 [4] Bower A., Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering     Brown University Spring 2005, [5] Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific, 2010 [6] Chodor L., publikacje własne - różne. [7] Strony www [dostępne luty-kwiecień 2011] - różne Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 1

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Kanononiczne równanie metody Ritza (33) jest też fundamentalnym równaniem MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 2

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 3

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 4

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 5

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 6

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 7

Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 8

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 1 (pomocnicze) Określić funkcje kształtu elementu (e) pręta prostego bez uwzględnienia wpływu przemieszczeń poziomych na kąty obrotu i ugięcia elementu Pole przemieszczeń u(x) wewnątrz elementu skończonego, zgodnie z fundamentalnym założeniem metody elementów skończonych przyjmuje się w postaci: (49) Gdzie – [N] macierz kształtu elementu, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 9

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (50) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 10

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Przemieszczenia pokazane na Rys.1. można uzyskać z rozwiązania równania różniczkowego linii ugięcia przy braku obciążenia na pręcie: (50) Ogólne rozwiązanie tego równania jest funkcją: Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych: Otrzymujemy stąd równanie macierzowe: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 11

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Stąd [C] (51) Podstawiając wartości stanu uzyskamy kolejne wyrazy macierzy [N] Na przykład dla : . Pozostałe wyrazy znajdziemy analogicznie. Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 12

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 2 (pomocnicze) Obliczyć macierz sztywności dla elementu pręta z poprzedniego zadania. Wprowadźmy pojęcia uogólnionych naprężeń oraz odkształceń , które występują na poziomie przekroju pręta. Za naprężenia uogólnione przyjmiemy siły przekrojowe, natomiast odkształcenia uogólnione odpowiadają wielkościom, których iloczyn z naprężeniami określa pracę wewnętrzną. W przypadku zginania z rozciąganiem naprężenia uogólnione, to momenty zginające M i siły osiowe N. Natomiast odkształcenia uogólnione, to krzywizna w” i wydłużenie względne u’. Znane zależności (52) stanowią związki fizyczne. Znak (+) wystąpił wobec przyjętego układu współrzędnych. Związki te zapisaliśmy w zwartej formie spójnej z definicjami przyjętymi przy rozwiązaniu ZBTS metodą Ritza: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 13

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (51) skąd otrzymujemy wyrażenia na podstawowe macierze metody: macierz Hooke’a i macierz operatorów różniczkowania wektor naprężeń i przemieszczeń (53) Macierz zgodności geometrycznej [B] obliczymy z definicji , (54) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 14

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (51) Macierz sztywności elementu (e) otrzymamy z definicji. Macierz sztywności określa siły przywęzłowe w funkcji przemieszczeń węzłów. Zależności te są znane w mechanice budowli pod nazwą wzorów transformacyjnych dla elementu sztywno-sztywnego (55) (55)’ , (56) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 15

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 3 (pomocnicze) Obliczyć macierz sztywności dla prostoliniowego, jednorodnego elementu, obciążonego ściskającą siłą osiową. Ogólne równanie różniczkowe dla jednego elementu skończonego ma postać , Macierz sztywności można określić, znając zależność pomiędzy siłami węzłowymi Rys.2 Pręt ściskany siłą P a przemieszczeniami węzłowymi . Zależności te dla zadanego zagadnienia (Rys.2) , określimy poprzez rozwiązania równania różniczkowego pręta ściskanego bez obciążenia pomiędzy węzłami (57) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 16

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Po wprowadzeniu zmiennych (57a) , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 17

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Ponieważ (58) , itd. ... Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 18

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Szczególnie użyteczne formuły znajdziemy dla (59) gdzie: , krytyczne obciążenie „eulerowskie” Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 19

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (60) , Linearyzacja funkcji Macierz geometryczna 1 rzędu (quasiliniowa) Liniowa Macierz sztywności Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 20

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Ostatecznie w celu uwzględnienia związku obciążeń podłużnych od przemieszczeń poziomych węzłów, uzupełnimy macierz sztywności o uzyskane wyniki i otrzymamy Macirz sztywności pręta zginanego i ściskanego , (61) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 21

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 4 (pomocnicze) Obliczyć obciążenie węzłowe, gdy na pręt prosty (ogólnie na krawędź elementu) elementu), działa obciążenie ciągłe pomiędzy węzłami. obciążonego ściskającą siłą osiową .  Obciążenie międzywęzłowe wyznaczymy z definicji , gdzie zgodnie z Rys.3. , a macierz kształtu (zadanie pomocnicze1 - wynosi Rys.3. Obciążenie międzywęzłowe p(x) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 22

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Z definicji dla mamy: (62) , Analogicznie można znaleźć obciążenie węzłowe przy innych postaciach obciążenia między węzłami, np. dla (63) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 23

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 5 (pomocnicze) Określić wektor równoważników węzłowych dla elementu belki spoczywającej na sprężystym podłożu Winklera ze współczynnikiem sprężystości podłoża Z definicji sprężystego podłoża winklerowskiego, znamy jego odpór: (63) Ponieważ , Dla belki zginanej mamy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 24

Przykład belki na sprężystym podłożu Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Po wykonaniu przypisanych działań i po obliczeniu całki oznaczonej (w granicach od 0do l), mamy: , (64) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 25

Teoria sprężystości Przykład liczbowy 1 Zadanie 6 (przykład liczbowy) Znależć ugięcie i kat obrotu końca wspornika metodą MES. , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 26

Teoria sprężystości Przykład liczbowy 1 po rozpisaniu układ kanoniczny przyjmie postać: Warunki brzegowe: , uwzględniamy przez odpowiednią modyfikację równania kanonicznego Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 27

Teoria sprężystości Przykład liczbowy 1 w rezultacie modyfikacji: , Rozwiązanie tego układu równań daje: Uwaga: dla stałej sprężystości podpory K=oo otrzymamy rozwiązanie dla wspornika idealnie utwierdzonego, dldla K=0 ustrój jest mechanizmem. Świadczy o tym fakt, = że wyznacznik układu=0 i równanie kanoniczne staje się nieoznaczone Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 28

Teoria sprężystości Przykład liczbowy 2 Zadanie 7 (przykład liczbowy) Metoda MES obliczyć siłę krytyczną belki-słupa Macierz sztywności układu 1-no elementowego złożona z macierzy liniowej i geometrycznej , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 29

Teoria sprężystości Przykład liczbowy 2 Warunki brzegowe: w1=f1=0.uwzględniamy poprzez modyfikację macierzy sztywności, czyli: wykreślenie wierszy i kolumn odpowiadających odebranym stopniom swobody. , Z kryterium stateczności Det[k]=0, mamy Ścisłe rozwiązanie tego zagadnienia, to: . Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 30

Płaski stan naprężenia Teoria sprężystości Przykład tarczy Płaski stan naprężenia , Płaski stan naprężenie to taki, w którym składowe tensora naprężenia są niezerowe tylko w dwóch kierunkach na płaszczyźnie. Taki stan naprężenia nazywamy stanem tarczowym, choć od razu należy podkreślić, że towarzyszy mu przestrzenny stan odkształceń Płaski stan odkształcenia . Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 31

Teoria sprężystości Przykład tarczy Funkcja kształtu dla elementu tarczy Załóżmy, że przemieszczenia wewnątrz elementu są liniową funkcją przemieszczeń węzłowych, co można zapisać w postaci: , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 32

Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz węzłowych funkcji kształtu wyznaczymy z formuły MES Stąd po uwzględnieniu |u| uzyskamy wyrażenie na funkcję kształtu elementu [N] , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 33

Teoria sprężystości Przykład tarczy Formuła ta rozważanego przypadku przyjmie dla węzłów i,j,k: , Ponieważ (podwojone pole trójkąta) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 34

Teoria sprężystości Przykład tarczy Formuła ta rozważanego przypadku przyjmie dla węzłów i,j,k: , Ponieważ (podwojone pole trójkąta) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 35

Teoria sprężystości Przykład tarczy Stąd funkcja kształtu: ,, , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 36

Teoria sprężystości Przykład tarczy Funkcję kształtu można zapisać w postaci macierzowej: , ,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 37

Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz odkształceń i naprężeń dla elementu tarczy , ,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 38

Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz zgodności geometrycznej , ,, Macierz Hooke’a d;lla płąskiego stanu naprężeń Macierz naprężeń Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 39

Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz sztywności elementu tarczy t- grubość elementu tarczowego, a -pole powierzchni elementu , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 40

Teoria sprężystości Przykład tarczy Wektor sił węzłowych od sił objętościowych P Wektor sił węzłowych od sił powierzchniowych , Obciążenie (V,H) skupione w punkcie możemy zapisać w postaci gdzie operator Diraca Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 41

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 42

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu A węzeł 1(=i): węzeł 2=j): węzeł 3=k): Zmienne pomocnicze , , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 43

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu A , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 44

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu B węzeł 1(=i): węzeł 2=j): węzeł 3=k): , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 45

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności układu , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 46

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności układu , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 47

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 48

Tarcza –przykład liczbowy Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Modyfikacja macierzy sztywności Modyfikację dokonamy przez wykreślenie z macierzy sztywności [K] wierszy i kolumn odpowiadających tym stopniom swobody, a także na usunięciu z wektora równoważników węzłowych wykreśla się elementy odpowiadające usuniętym stopniom z macierzy sztywności. W ten sposób eliminuje się z rozwiązania znane równania- w tym przypadku mamy osiem takich równań. Siły węzłowe , Przemieszczenia węzłowe W wyniku rozwiązania tego liniowego układu 24. równań, otrzymano Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 49

Tarcza –przykład liczbowy = Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Rozwiązanie równania kanonicznego , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 50

Tarcza –przykład liczbowy = Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Wyznaczenie reakcji Równania usunięte w trakcie modyfikacji macierzy [K] stanowią podstawę do wyznaczenia reakcji, np. Równanie 25 , Wyznaczenie odkształceń Dla elementu (1)mamy: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 51

Zgięciowy płaski stan naprężenia Teoria sprężystości Przykład płyty Zgięciowy płaski stan naprężenia , Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiźnie. Odległość między powierzchniami ograniczającymi to grubość płyty t. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Płyty są cienkie jeśli jeden wymiar (grubość) jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych t<l/10, t<d/5, gdzie l- długość krótszego boku, d- średnica płyt Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 52

Teoria sprężystości Przykład płyty Analizę płyt przeprowadzimy przy następujących założeniach Z1 Kirchoffa: „płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,- punkty płyty położone na normalnej do płaszczyzny środkowej pozostają na niej również po odkształceniu,(odcinek prostopadły do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej)” Z2 o małych przemieszczeniach , Z3 Jedynym niezależnym przemieszczeniem jest w=u3, czyli płyta znajduje się w stanie zgięciowym Z4 Naprężenie – płyta pracuje w płaskim stanie naprężenia , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 53

Siły płytowe, przemieszczenia, odkształcenia Teoria sprężystości Przykład płyty Siły płytowe, przemieszczenia, odkształcenia , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 54

Teoria sprężystości Przykład płyty Naprężenia , Macierz Hooke’a dotyczy płaskiego stanu naprężeń i izotropowych płyt. Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 55

Współrzędne powierzchniowe (naturalne) Teoria sprężystości Przykład płyty Współrzędne powierzchniowe (naturalne) , Współrzędne naturalne pozwalają: 1.11. opisać położenie punktu w obszarze elementu za pomocą wielkości bezwymiarowych z przedziału<0,1>, przy czym 1 występuje tylko w węzłach elementu. 2. geometria elementu odniesiona jest do wielkości lokalnych związanych z węzłami, niezależnie od ich orientacji położenia w przestrzeni, 3. stosowanie współrzędnych naturalnych pozwala na proste oblcizanie całek niezależnie od kształtu elementu. Dla elementu trójkątnego przyjmiemy na mocy definicji Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 56

Teoria sprężystości Przykład płyty Współrzędne powierzchniowe czynią zadość warunkom: , Operator różniczkowania po współrzędnych naturalnych , Formuła całkowania po polu trójkąta Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 57