WYKŁAD 2 I. WYBRANE ZAGADNIENIA Z KINEMATYKI II. RUCH KRZYWOLINIOWY Ruch jednowymiarowy. Ruch jednostajnie przyspieszony. Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym. Wektory. II. RUCH KRZYWOLINIOWY Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym. Omówienie rodzajów rzutów i wyprowadzenie odpowiednich wzorów: spadek swobodny, rzut pionowy w górę. Porównanie ruchu postępowego z ruchem obrotowym; związki. III. OSIĄGNIĘCIA WSPÓŁCZESNEJ FIZYKI UHONOROWANE NAGRODAMI NOBLA

Ruch jednowymiarowy Prędkość Prędkość stała Zajmiemy się opisem ruchu rozumianym jako zmiany położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy układem odniesienia. Zwróć uwagę, że to samo ciało może poruszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem innego. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym. Prędkość Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu. Prędkość stała Jeżeli ciało, które w pewnej chwili t0 znajdowało się w położeniu x0, porusza się ze stałą prędkością v to po czasie t znajdzie się w położeniu x danym związkiem x-x0 = v(t  t0) czyli (1) Interpretacja graficzna: prędkość to nachylenie prostej x(t)

Prędkość chwilowa Jeżeli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybkościomierza nie zgadzają się z wyrażeniem (1) chyba, że weźmiemy bardzo małe wartości x  x0 (x) czyli również bardzo małe t ‑ t0 (t). Stąd prędkość chwilowa: Tak definiuje się pierwszą pochodną, więc (2) Prędkość chwilowa  przejście od siecznej do stycznej. Nachylenie stycznej to prędkość chwilowa (w chwili t odpowiadającej punktowi styczności).

Wykresy zależności: a) drogi, b) prędkości, c) przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Przyspieszenie to tempo zmian prędkości. Przyspieszenie jednostajne i chwilowe Prędkość zmienia się jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie jest stałe: (3) Gdy przyspieszenie zmienia się z czasem musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości v w bardzo krótkim czasie t (analogicznie do prędkości chwilowej). Odpowiada to pierwszej pochodnej v względem t. (4)

Ruch jednostajnie zmienny Często chcemy znać zarówno położenie ciała jak i jego prędkość. Ze wzoru (3) mamy v = v0 + at. Natomiast do policzenia położenia skorzystamy ze wzoru: x = x0 + vśrt Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v0 do v więc prędkość średnia wynosi: vśr = (v0 + v)/2 Łącząc otrzymujemy: x = x0 + (1/2) (v0 + v)t gdzie za v możemy podstawić v0 + at. Wtedy x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] t więc ostatecznie (5)

Wykresy: a) drogi, b) prędkości, c) przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym (górne rysunki a>0) i jednostajnie opóźnionym (dolne rysunki a<0)

Ruch na płaszczyźnie Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor v; przyspieszenie wektor a. Wektory r, v, a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić (za pomocą wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci:

Ruch jednostajnie zmienny RUCHY PROSTOLINIOWE Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym Ruch jednostajnie zmienny Ruch jednostajny Przyspieszenie Def.: a=const.; a≠0 a>0 ruch przysp. a<0 ruch opóźn. a=0 Prędkość chwilowa Prędkość jest liniową funkcją czasu Def.: v=v0=const.≠0

Ruch jednostajnie zmienny RUCHY PROSTOLINIOWE Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym - ciąg dalszy Ruch jednostajnie zmienny Ruch jednostajny Prędkość średnia Droga Droga jest kwadratową funkcją czasu Równanie ruchu

Skalary i wektory Dodawanie wektorów Wektor jest wielkością matematyczną, która ma zarówno wartość bezwzględną jak i kierunek. Dodawanie wektorów metoda geometryczna (reguła wieloboku)

Skalary i wektory Dodawanie wektorów metoda analityczna składowe: ax = a cos; ay = a sin długość: wektor: analogicznie: , dodawanie wektorów: c = a + b cx = ax + bx cy = ay + by Każda składowa sumy dwóch wektorów jest równa sumie odpowiednich składowych tych dwóch wektorów.

Skalary i wektory Mnożenie wektorów - skalarne: iloczyn dwóch wektorów jest skalarem (liczbą) gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a, b. , - wektorowe: długość wektora c: c = ab sin gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a, b

Skalary i wektory Mnożenie wektorów - wektorowe: długość wektora c: c = ab sin gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a, b Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny utworzo-nej przez wektory a i b, tzn. prostopadły do tych wektorów. Zwrot wektora c wyznacza reguła śruby prawoskrętnej ,

Skalary i wektory Wektorami są np.: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, moment pędu, pole elektryczne, pole magnetyczne, gęstość prądu. Wielkości skalarne np.: odległość, pole, objętość, gęstość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, masa, praca, potencjał pola elektrostatycznego lub grawitacyjnego. Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest wyraźna różnica: wielkości skalarne są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość. ,

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch po okręgu Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego płaskiego. Obierzmy układ współrzęd-nych tak, by początek układu znajdował się w środku koła o promieniu r. Położenie punktu P na okręgu można jednoznacznie określić za pomocą kąta φ. Kąt φ nosi nazwę drogi kątowej i wyraża się w radianach. Drogę liniową s przebytą przez ciało po łuku można wyrazić za pomocą drogi kątowej φ następująco:

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch po okręgu więc: Jednostką prędkości kątowej jest rad s-1 Jeśli prędkość kątowa w ruchu po okręgu jest stała, to taki ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu. Różniczkując względem czasu obie strony równania, otrzymujemy: ale: prędkość kątowa prędkość liniowa

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch po okręgu To przyspieszenie związane ze zmianą kierunku prędkości, nazywa się przyspieszeniem dośrodkowym an. ale: więc, po podstawieniu: Przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowane do środka okręgu (ogólniej – do środka toru ruchu). Mimo, że v jest stałe, to wektor v nie jest stały, ponieważ ciągle zmienia kierunek (rys. a). Zmianą wektora v jest wektor Δv, który nie równa się zeru, a zatem przyspieszenie wektorowe, dv/dt, musi być różne od zera (rys. b).

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch po okręgu Znane jest również pojęcie siła odśrodkowa i przyspieszenie odśrodkowe. Taka siła lub przyspieszenie występują tylko wtedy, gdy obserwator znajduje się w obracającym się układzie odniesienia (obserwator podlega przyspieszeniu). Ograniczając nasze rozważania do inercjalnych układów odniesienia (obserwator jest w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej) nie będziemy nigdy mieć do czynienia z przyspieszeniem odśrodkowym.

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch po okręgu W ruchu po okręgu wektor przyspieszenia a jest sumą dwóch wektorów: wektora przyspieszenia dośrodkowego (normalnego): stycznego (równoległego):

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch jednostajny po okręgu W ruchu jednostajnym po okręgu mamy: , więc W tym przypadku występuje tylko przyspieszenie normalne. Jego występowanie wiąże się z tym, że podczas tego ruchu zmienia się kierunek prędkości, chociaż jej wartość bezwzględna pozostaje stała. W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia sie zarówno wartość, jaki kierunek prędkości.

Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym Ruch jednostajny po okręgu Okres ruchu Czas T potrzebny na przebycie drogi kątowej φ = 2π nazywamy okresem. Dla ω = const i φ = 0, gdy t = 0 otrzymujemy: stąd dla φ = 2π i t = T mamy: Częstotliwość Częstotliwością f ruchu po okręgu nazywamy liczbę obiegów punktu po okręgu na jednostkę czasu, zatem: Jednostką jest s-1, zwana hercem (Hz).

Ruch prostoliniowy i obrotowy Ruch obrotowy Droga liniowa s Droga kątowa j Prędkość liniowa v = ds/dt Prędkość kątowa w = dj/dt Przyspieszenie liniowe a = dv/dt = d2s/dt2 Przyspieszenie kątowe a = dw/dt = d2j/dt2 Masa [kg] m Moment bezwładności [kg m2] I 1. pktu: i =mr2 2. ciała: I =Σi = = Σmr2 Pęd [kg m/s] p = m v Moment pędu (kręt) [kg m2/s] L 1. pktu: k = rmv = = w mr2 2. ciała: L =Σk= =w Σi = wI

Ruch prostoliniowy i obrotowy Ruch obrotowy Siła [N] F Moment siły M = ± rF Zasada zachowania pędu ΣFzewn=0 => p=const. Zasada zachowania momentu pędu ΣMzewn=0 => L=const. II zasada dynamiki F = ma F = dp/dt M = Ia M = dL/dt Praca [J] W = F s W = M j Energia kinetyczna [J] Ek = = ½mv2 Ek = ½Iw2