MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 4 26.03.2008 r

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg O – centrum grawitacji P – element masy dm Potencjał w punkcie Q: z y x P dm θ Q Niech PO=r, QO=R wtedy: i wyrażenie na potencjał przyjmuje postać:

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg Ponieważ R>>r więc możemy wyrażenie podcałkowe rozwinąć wykorzystując uogólnienie dwumianu Newtona: gdzie: z y x P dm θ Q

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg czyli: z y x P dm θ Q

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg które po przekształceniu i uporządkowaniu ze względu na kolejne potęgi r/R daje: z y x P dm θ Q gdzie Pn(cosθ) są wielomianami Legendre’a

Pole grawitacyjne i potencjał Wielomiany Legendre’a Wielomiany Legendre’a stanowią zbiór funkcji ortogonalnych na odcinku (-1,1). Są zdefiniowane za pomocą tzw. wzoru Rodriguesa: Jak było pokazane wcześniej w. Legendre’a mają funkcję tworzącą postaci:

Pole grawitacyjne i potencjał Wielomiany Legendre’a kilka początkowych wielomianów:

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg Wyznaczmy kilka kolejnych wyrazów rozwinięcia potencjału: z y x P dm θ Q Pierwszy czynnik daje potencjał masy punktowej:

Pole grawitacyjne i potencjał Środek masy z y x (xi,yi,zi) ri (xc,yc,zc) rc

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg Drugi czynnik: z y x P dm θ Q (x0,y0,z0) Iloczyn skalarny wektorów PO i PQ daje: (x,y,z) wtedy: Ponieważ początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy, więc wszystkie trzy całki są równe 0.

Pole grawitacyjne i potencjał Tensor momentu bezwładności Tensor momentu bezwładności wiąże moment pędu ciała z jego prędkością kątową: pozwala liczyć moment bezwładności ciała w przypadku obrotu wokół dowolnej osi. momenty główne: momenty dewiacyjne:

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg Trzeci wyraz: Pamiętając, że: są momentami bezwładności względem osi układu współrzędnych.

Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg oraz momenty odśrodkowe względem par płaszczyzn xy i zx, xy i yz oraz xz i zy: są równe 0 w przypadku gdy osie układu pokrywają się z osiami bezwładności, możemy napisać:

Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 4769 Castalia Werner, R., Scheeres, D. 1997, CeMDA 65, 313 CeMDA – Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy

Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia Rozmiary planetoidy: rmax 800 m rmin 300 m rśr 543 m gęstość 2.1 g/cm3 masa 1.4x1012 kg Model planetoidy składa się z 3300 elementów powierzchni tworzących wielościan. Oznacza to, że dokładność odtworzenia powierzchni (rozdzielczość przestrzenna) sięga około 60m

Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: model potencjału Korzystając z prawa Gaussa można wyznaczyć natężenie pola grawitacyjnego przez powierzchnię planetoidy przy założeniu stałej gęstości.

Pole grawitacyjne i potencjał Prawo Gaussa Strumień natężenia pola g przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez -4πG

Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: model potencjału Potencjały związane z miejscami „zszycia” wielokątów są liczone tak jak w przypadku pręta.

Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: model potencjału

Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: natężenie pola grawitacyjnego Już w odległości rzędu 200 m od powierzchni dobrym przybliżeniem potencjału jest potencjał pręta (powierzchnie ekwipotencjalne są elipsami)

Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: porównanie z metodą szeregów natężenie pola grawitacyjnego potencjał

Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Bartczak, P., Breiter, S. 2003, CeMDA 86, 131

Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Potencjał od dwóch prostopadłych prętów: gdzie: oraz:

Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Potencjał elipsoidy postaci: porównywany był z trzema modelami: P2 – rozwinięcie potencjału w szereg DR – przybliżenie pojedynczym prętem BB – dwa prostopadłe pręty

Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Fobos Ida

Zagadnienie dwóch ciał

Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu Dwa punkty o masach m1 i m2 odległe o r Działają na siebie siłą o wartości: z y x m1(x1,y1,z1) Równania ruchu tych punktów: m2(x2,y2,z2) Otrzymujemy układ sześciu równań różniczkowych drugiego rzędu (czyli układ dwunastego rzędu).

Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu Na początek dodajemy stronami oba równania: a następnie całkujemy dwukrotnie: i otrzymujemy pierwszych sześć całek i sześć stałych całkowania. z y x m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2)

Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu Z def. środka masy: zastosowanego dla układu dwóch punktów mamy: z y x m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2) Oznaczmy M=m1+m2, wtedy:

Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu Wtedy równanie: przyjmuje postać: To równanie określa nam zachowanie środka masy (barycentrum). Dla t=0 znajduje się ono w punkcie B/M. Po zróżniczkowaniu tego równania otrzymujemy, że barycentrum porusza się ze stałą prędkością równą A/M z y x m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2)

Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu względnego z y x m1(x1,y1,z1) wprowadźmy: m2(x2,y2,z2) czyli:

Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu względnego oznaczmy: wtedy r-nie ruchu względnego przyjmuje ostatecznie postać: z y x m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2) W ten sposób układ sześciu równań drugiego rzędu został zredukowany do układu trzech równań drugiego rzędu. Jego rozwiązanie polega na znalezieniu sześciu stałych.

Zagadnienie dwóch ciał Całki pól z y x Mnożymy obustronnie przez (wektorowo) i otrzymujemy: po całkowaniu: - moment pędu na jednostkę masy , (stała ruchu) m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2)

Zagadnienie dwóch ciał Całki pól Rozpatrzmy dwa przypadki: 1. Ponieważ r musi być prostopadłe do c więc ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do c. z y x m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2) 2. Ponieważ: więc mamy: co oznacza, że ruch odbywa się po prostej przechodzącej przez centrum grawitacji

Zagadnienie dwóch ciał II prawo Keplera Ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu. Jeśli wybierzemy płaszczyznę xy jako pokrywającą się z płaszczyzną ruchu i wprowadzimy współrzędne biegunowe to: z y x m1(x1,y1,z1) m2(x2,y2,z2) wtedy:

Zagadnienie dwóch ciał II prawo Keplera Powierzchnia zakreślona przez wektor wodzący: stąd: t=δt r+δr m1 δθ δA Pamiętając, że: otrzymujemy: czyli drugie prawo Keplera r t=0 m2

Zagadnienie dwóch ciał I prawo Keplera Rozpatrzmy cząstkę o masie m poddanej działaniu siły centralnej f(r). Siła jest skierowana od cząstki do początku układu współrzędnych. Równanie ruchu cząstki: mnożymy je obustronnie przez (skalarnie) i otrzymujemy: W przypadku oddziaływania grawitacyjnego mamy: Całkujemy:

Zagadnienie dwóch ciał I prawo Keplera Ostatecznie otrzymujemy tzw. całkę sił żywych: która wyraża zachowanie energii w układzie. h jest energią całkowitą. Przechodząc do współrzędnych biegunowych otrzymujemy: czynnik związany z działaniem siły odśrodkowej energia potencjalna

Zagadnienie dwóch ciał I prawo Keplera Wprowadźmy tzw. potencjał efektywny: E r Potencjał efektywny w łatwy sposób tłumaczy kształty orbit: kołowa – minimum energii planety eliptyczna – planeta zmienia odległość między dwoma skrajnymi wartościami paraboliczna – zerowa energia (ciało nadlatuje z nieskończonosci) hiperboliczna– energia większa od 0