GRA CHOMP

Czym jest chomp? Jest to gra dla dwóch osób, rozgrywana na prostokątnej tablicy, zwanej „tabliczką czekolady”

Zasady gry: Lewy dolny róg jest uważany za zatruty. Gracz wybiera pole o współrzędnych (i,j), które automatycznie znika z tablicy wraz ze wszystkimi polami znajdującymi się na prawo oraz powyżej. Gracz który jest zmuszony wybrać zatrute pole przegrywa. UWAGA!: alternatywnie: prawy góry zatruty, wszystko na lewo i poniżej znika.

Przykładowy schemat grania: PoczątekGracz I Gracz II Gracz I Gracz II

Grafy skierowane Jądro a strategia gry

Graf skierowany Grafem skierowanym lub inaczej digrafem nazywamy uporządkowana parę G:=(V,A)gdzie: V- jest zbiorem wierzchołków A jest zbiorem uporządkowanych par różnych wierzchołków ze zbioru V, zwanych krawędziami skierowanymi Przyjmuje się, że krawędź e:=(x,y) jest skierowana z x do y, czyli wychodzi z x i wchodzi do y.

Jądro grafu skierowanego: Zbiór wierzchołków K w grafie skierowanym G nazywa się jądrem, jeżeli:  żadne dwa wierzchołki w K nie są połączone krawędzią  Każdy wierzchołek v nie należący do K ma krawędź skierowaną z v do pewnego wierzchołka w K. Warunki odpowiadają definicjom zbioru niezależnego i dominującego w grafie nieskierowanych.

Naturalnym przedstawieniem gry będzie właśnie graf skierowany. Wierzchołki reprezentują pozycje(tzw. stany w grze),a krawędzie ruchy. Krawędź skierowaną z wierzchołka v i do wierzchołka v j istnieje wtedy i tylko wtedy, jeżeli w grze można przejść z pozycji v i stanu v j za pomocą jakiegoś ruchu dopuszczalnego przez reguły gry.

Rozpatrzmy przykładowy graf dla planszy: 2x3

Każda droga skierowana z wierzchołka początkowego do wierzchołka końcowego reprezentuje jeden pełen przebieg gry. Oznaczmy wierzchołek jako wygrany, jeżeli wszystkie jego następniki są oznaczone jako przegrane, a jako przegrany, jeżeli przynajmniej jeden z jego następników jest oznaczony jako wygrany.

Istnienie jądra: Zauważmy, że przedstawiony graf gry, jest acykliczny, spójnym grafem skierowanym. To spostrzeżenie umożliwia nam skorzystanie z twierdzenia: „Każdy a cykliczny graf skierowany ma dokładnie jedno jądro”.

Jądro gry a strategie : Twierdzenie: „Jeżeli w grafie skierowanym gry wierzchołek początkowy nie jest w jądrze K, to gracz A ma zapewnione zwycięstwo i może zwyciężyć wybierając wierzchołki z K”. Wniosek: Jeżeli wierzchołek początkowy jest w jądrze, to drugi gracz B ma strategie wygrywającą i B może wygrać wybierając zawsze wierzchołki w jądrze.

Wyznaczenie jądra naszego grafu: