REAKCJA DYNAMICZNA PŁYNU MECHANIKA PŁYNÓW 7. Maja 2009 r. Mechanika i budowa maszyn Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska

Elementy hydrauliki

Elementy hydrauliki (1) gdzie: Poruszający się płyn napotykając na drodze przeszkodę w postaci ciała sztywnego wywołuje na jego powierzchni reakcję dynamiczną jako wypadkową pola ciśnień. Przez dS z jaką płyn działa na sztywną ścianę wynosi: (1) gdzie: τ – jest naprężeniem stycznym, przy uwzględnieniu lepkości płynu, - jest wersorem stycznym do powierzchni S

Elementy hydrauliki Siła przeciwnie skierowana = - nazywa się reakcją dynamiczną strumienia. Wektor główny sił powierzchniowych działających w obszarze V określony jest wzorem : (2)

Elementy hydrauliki Wektor główny sił statycznych, wywołanych polem ciśnień, określa zależność: (3) Równanie równowagi kinetostatycznej przepływu płynu zgodnie z zasadą pędu ma postać: (4) gdzie jest składową normalną wektora prędkości do powierzchni S.

Elementy hydrauliki Reakcję dynamiczną strumienia swobodnego, przy pominięciu sił powierzchniowych i masowych, określa zależność: (5) gdzie jest elementarnym natężeniem przepływu przez powierzchnię ds. Jeżeli przyjmiemy jednorodne pole prędkości dla strugi, to całka we wzorze (5) jest równa różnicy wektorów pędów: (6) gdzie:

Elementy hydrauliki Korzystając z zależności geometrycznych (rys.1) można wyznaczyć moduł reakcji dynamicznej przy jednakowych natężeniach przepływów: (7) gdzie:

Elementy hydrauliki R Rys. 1. Rozkład reakcji strumienia

Elementy hydrauliki Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczono również wartość reakcji R: (8)

Elementy hydrauliki Zakładając różne pola przekrojów przewodów oraz różne prędkości przepływów , można z zależności geometrycznych ustalić wartość wypadkowej reakcji: (9) gdzie:

Elementy hydrauliki W szczególności dla kąta α = : gdzie: jest ilorazem pól przekrojów poprzecznych przewodów.

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju Rozpatrzmy przepływ płaski płynu przez nieprostoliniowy przewód o zmiennym przekroju (Rys.2): Rys.2. Rozkład obciążeń przewodu

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju Na wejściu przewodu o polu przekroju płyn posiada prędkość , natomiast na wyjściu o polu przekroju prędkość . W przekrojach A, B przewodu płyn idealny określony jest wektorami pędów: (10)

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju Różnica wektorów pędów jest równa reakcji dynamicznej strumienia: (11) Z uwagi na prawo ciągłości przepływu zachodzi warunek: (12)

Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju Wypadkowa reakcja dynamiczna strumienia jest przyłożona w punkcie A określonym przez przecięcie kierunku wektora pędu z konturem przewodu ilustruje (Rys.3) wraz z wyznaczonym kierunkiem reakcji , który jest przesunięty równolegle do punktu A. Wektor reakcji dynamicznej rozkładamy następnie na składowy wektor poziomy i pionowy w kierunku osi x, y, układu współrzędnych. Wartość reakcji dynamicznej można obliczyć ze wzorów (9) i (10)

Rys.3. Rozkład obciążeń przewodu Reakcja dynamiczna strumienia w przewodzie nieprostoliniowym o zmiennym przekroju Rys.3. Rozkład obciążeń przewodu

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 1 Wyznaczyć wartość i kierunek reakcji dynamicznej działającej na przewód z dwoma rozgałęzieniami pod kątem α (rys. 4). Natężenie przepływu w przewodzie wejściowym 0-1 wynosi Q. Ciśnienie płynu w przekroju 0 wynosi . Rys.4. Rozkład obciążeń przewodu hydraulicznego

PRZYKŁAD 1 ROZWIĄZANIE: Z prawa ciągłości przepływu wynika wzór: (a) gdzie:

PRZYKŁAD 1 Korzystając z bilansu energii kinetycznej dla przewodów: gdzie: (b)

PRZYKŁAD 1 Rozwiązując układ równań (a) i (b) obliczono wartości prędkości , w przewodach rozgałęźnika: (c)

PRZYKŁAD 1 gdzie:

PRZYKŁAD 1 Reakcje dynamiczne w odcinkach przewodu posiadają wartości: Wektory tych reakcji zaznaczono na rys.5.

PRZYKŁAD 1 Rys.5. Rozkład obciążeń przewodu hydraulicznego

PRZYKŁAD 1 Ich suma daje wektor reakcji strumienia R. Przecinając kierunek reakcji ze ścianką przewodu 0-1 wyznaczono punkt A zaczepienia siły wypadkowej R. Wartość reakcji wynosi przy tym: (f) natomiast reakcji wypadkowej R: (g)

PRZYKŁAD 1 gdzie: oraz

REAKCJA PRZY UDERZENIU STRUMIENIA O PRZEGRODĘ

Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę Zagadnienie to należy rozpatrzyć oddzielnie jako: Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny

Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę Założono, że struga płynu porusza się poziomo i uderza o nieruchomą przeszkodę w postaci płaskiej pionowej ściany ustawionej prostopadle (Rys.6), Rys.6. Rozkład obciążeń strumienia przy uderzeniu o ścianę nieruchomą ustawioną prostopadle

Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę Pole powierzchni ściany jest znacznie większe od pola przekroju S strugi. Struga uderzając w ścianę ustawioną prostopadle rozpływa się na powierzchni ściany. Pęd strugi określa reakcję dynamiczną po przemnożeniu przez natężenie przepływu Q: (13) Nie występuje przy tym reakcja styczna do ściany.

Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę lub ukośnie, pod kątem α do poziomu (rys.7). Rys.7. Rozkład obciążeń strumienia przy uderzeniu o ścianę nieruchomą ustawioną ukośnie

Reakcja dynamiczna przy uderzeniu o nieruchomą przegrodę W przypadku uderzenia strugi o ścianę pochyłą reakcja dynamiczna posiada kierunek prostopadły do ściany o wartości odpowiadającej rzutowi wektora pędu: (14) Składowa styczna reakcji: (15)

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Założono, że struga o polu przekroju S z prędkością ν uderza w przegrodę, przemieszczającą się z prędkością u (rys.8). Rys.8. Rozkład oddziaływań na ścianę zakrzywioną ruchomą

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Reakcja strumienia o natężeniu przepływu Q posiada wartość: (16) gdzie: jest prędkością względną.

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Z prawa ciągłości przepływu wynika równość: (17) stąd (18) Podstawiając (18) do równości (16) określono reakcję dynamiczną strumienia. (19)

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Maksymalna wartość reakcji występuje dla i wynosi: Moc strumienia wynosi: (20)

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny W drugim przypadku rozpatrzono uderzenie strumienia cieczy o ścianę zakrzywioną, stanowiącą model łopatki turbiny (Rys.9) Rys.9 Rozkład oddziaływań na ścianę zakrzywioną

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Reakcję dynamiczną strumienia wyznaczono z zasady pędu strumienia i stanowi ona wektor: (21) gdzie: (22) Składowe wektora prędkości w układzie współrzędnych (x, y) wynoszą: (23)

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Na tej podstawie wyznaczono składowe reakcji dynamicznej: (24) Moduł reakcji dynamicznej wynosi: (25) (26)

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Wektor reakcji jest nachylony do poziomu pod kątem: (27) Moc reakcji strumienia przy uderzeniu o łopatkę wynosi: (28) Składowa pionowa posiada moc równą zero.

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Maksymalna wartość reakcji strumienia występuje dla kąta α=180˚ i wynosi: (29) Przyjmując prędkość otrzymano maksymalną wartość reakcji i mocy strumienia dla kąta α = 180˚: (30)

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Rozwiązaniem technicznym, wykorzystującym maksymalną moc strumienia przepływu, jest turbina Eltona, w której kąt rozwarcia łopatki jest jednak mniejszy niż 180˚ (rys.10). Rys.10. Rozkład obciążeń dla łopatki Peltona

Reakcja dynamiczna strumienia o ruchomą ścianę i łopatkę turbiny Turbina wodna Eltona jest złożona z dwóch łopatek, tworząc figurę symetryczną. Łopatka ta znalazła dość szerokie zastosowanie w urządzeniach technicznych związanych z turbiną Peltona. Rys.11. Turbina wodna Peltona

PRZYKŁAD 2

PRZYKŁAD 2 Obliczyć reakcję dynamiczną strumienia wody przepływającego przez kołowy otwór w ścianie nachylonej do poziomu pod kątem α do przewodu o średnicy d, jeżeli prędkość strumienia wynosi ν (rys.12) Rys.12. Rozkład obciążeń strugi

PRZYKŁAD 2 ROZWIĄZANIE: Natężenie przepływu: Reakcje strumienia wody wpływającej do otworu oraz wypływającej są równe i wynoszą: Całkowita reakcja strumienia jest różnicą obydwu wektorów:

PRZYKŁAD 2 Składowe reakcji w kierunkach osi x, y wynoszą : Całkowita reakcja strumienia posiada wartość:

PRZYKŁAD 2 Maksymalna wartość reakcji: dla α = 180˚ dla α = 0 Minimalna wartość reakcji: dla α = 0 Obliczono moc strumienia:

PRZYKŁAD 2 oraz moc maksymalną: dla α = 180˚ Reakcja jako wypadkowa posiada położenie zaznaczone na rys.13. Rys.13. Rozkład obciążeń strugi