W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock 27.01.2012

Naturalna analogia? ZBIÓR PRZESTRZEŃ LINIOWA PODZBIÓR PODPRZESTRZEŃ MOC WYMIAR

Ile tego jest? Podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało rzędu q

Ile tego jest? Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało rzędu q - niezależne Na ile sposobów? . . .

Ile tego jest? F – skończone ciało rzędu q - niezależne Na ile sposobów? Ile mają baz?

Ile tego jest? Podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało q elementowe

Ile tego jest? - Współczynnik dwumianowy Newtona Isaac Newton 1643-1727 - Współczynnik dwumianowy Newtona Carl Friedrich Gauss 1777-1855 - Współczynnik dwumianowy Gaussa Do znalezienia formuły na sumy Gaussa

Ile tego jest? Jako funkcja zmiennej q

Ile tego jest? - niezależne Donald Knuth 1938 ZREDUKOWANA POSTAĆ SCHODKOWA elementarne operacje na wierszach pierwszy niezerowy element od lewej w każdym wierszu to 1 wszystkie pozostałe elementy w kolumnie, w której jest jedynka wiodąca to zera w każdym wierszu jedynka wiodąca pojawia się na prawo od jedynki wiodącej w poprzednim wierszu JEŻELI DWIE MACIERZE W TEJ POSTACI GENERUJĄ WIERSZOWO TĘ SAMĄ PRZESTRZEŃ, TO SĄ RÓWNE

Ile tego jest? Donald Knuth 1938

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki

Ile tego jest? k Donald Knuth 1938 Podprzestrzeni k-wymiarowych n-k Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej jest tyle samo, co takich obrazków w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki zamień wszystkie pozostałe elementy na *

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! 1 ,

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! * * * 1 1 * * * * 1

Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! * * * 1 dowolnie * * 1 * * 1

Ile tego jest? 1 2 1 1 3 1 1 1 Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie na 1 2 1 1 3 1 1 1 liczba * dowolnie na sposobów

Ile tego jest? 1 2 1 1 3 1 1 1 Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie na 1 2 1 1 3 1 1 1 dowolnie na sposobów

Ile tego jest? Donald Knuth 1938

* Ile tego jest? a1 a2 Donald Knuth 1938 a3 Diagram Ferrersa n=a1+a2+…+ak ai – nierozróżnialne

* Ile tego jest? a1 n - kresek a2 k – kresek poziomych n-k Donald Knuth 1938 * a1 k n-k n - kresek a2 k – kresek poziomych a3 – ścieżek

Twierdzenie Ramseya Kolorując dowolnie dwoma kolorami krawędzie grafu pełnego K6 znajdziemy jednokolorową indukowaną klikę K3.

Twierdzenie Ramseya

Twierdzenie Ramseya Ponadto ?

Najmniejsze takie n oznaczamy przez R(k) Twierdzenie Ramseya Dla każego k istnieje taka liczba n, że przy dowolnym dwukolorowaniu krawędzi grafu pełnego Kn znajdziemy jednokolorową indukowaną klikę Kk. Najmniejsze takie n oznaczamy przez R(k) (k-ta liczba Ramseya ) Frank Ramsey (1903 – 1930)

Liczby Ramseya R(2) = 2 R(3) = 6 R(4) = 18 Graf Paleya

Twierdzenie Ramseya Frank Ramsey (1903 – 1930) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

Twierdzenie Ramseya {1,2} {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} Gian-Carlo Rota (1932-1999) {1,2} {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1} {2} {3} {4} { } Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

Twierdzenie Ramseya {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2} Gian-Carlo Rota (1932-1999) {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1} {2} {3} {4} { } Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

Twierdzenie Ramseya {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2} Gian-Carlo Rota (1932-1999) {1,2,3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1} {2} {3} {4} { } Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota (1932-1999) krata podzbirów zbioru n-elementowego dowolna krata geometryczna krata podprzestrzeni przestrzeni wektorowej Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota (1932-1999) krata podzbirów zbioru n-elementowego dowolna krata geometryczna krata podprzestrzeni przestrzeni wektorowej Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

Twierdzenie Ramseya

Twierdzenie Ramseya Kostki kombinatoryczne 111 011 110 010 001 101 100 000 trzy wymiary jeden wymiar 1 dwa wymiary 00 10 11 01 itd… cztery wymiary? 1 – kostki (różnią się na jednej współrzędnej)

zawsze znajdziemy czerwoną s-kostkę, lub niebieską t-kostkę. Twierdzenie Ramseya Dla dowolnych liczb naturalnych k,s,t istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego dwukolorowania k-kostek w przestrzeni n-wymiarowej zawsze znajdziemy czerwoną s-kostkę, lub niebieską t-kostkę.

Twierdzenie Ramseya Nagroda Pólyi 1971

Twierdzenie Ramseya Dla dowolnych liczb naturalnych s,t,k istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego k-kolorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestezeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, której wszystkie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne.

Liczby Ramseya Jak to szacować? Dla dowolnych liczb naturalnych s,t,k istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego k-kolorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestezeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, której wszystkie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne.

Liczby Ramseya Jak to szacować? Największa liczba na świecie

Jak być innym Kwadraty łacińskie 1 2 3 4

Jak być innym 1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 Kwadraty łacińskie Ronald Fisher (1890-1962) i tablica-okno ku jego pamięci Caius College w Cambridge Leonard Euler (1707 – 1783) 1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1

Czasem więcej, znaczy mniej Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1 2 3 4 4 1 2 3 n 3 4 1 2 2 3 4 1 n

Czasem więcej, znaczy mniej Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1 2 3 4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 4 1 2 3 n 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 3 4 1 2 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 2 3 4 1 n

Czasem więcej, znaczy mniej Niespodziewany problem Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 W każdym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb może być więcej niż n 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n Niespodziewany problem 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2 2,3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n 1,2 2,3

Czasem więcej, znaczy mniej Niespodziewany problem Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 W każdym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb może być więcej niż n 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n Niespodziewany problem 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1 3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n 1,2 2,3

Czasem więcej, znaczy mniej Niespodziewany problem Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 W każdym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb może być więcej niż n 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n Niespodziewany problem 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1 3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n ? 2 2,3

Czasem więcej, znaczy mniej Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n ? 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 2 3 1 1 1,2 2,3 3 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 n ? ? 2 2 2,3 2,3

Czasem więcej, znaczy mniej Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej Hipoteza Dinitza (1978) 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n ? 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 n TAK! - Fred Galvin 1994 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 Jeff Dinitz n

Jak być innym n n Prostszy przypadek Czy zawsze da się skonstruować 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n, przy czym wszystkie listy w tym samym wierszu są jednakowe? 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 n 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 n

Jak być innym 1 2 3 4 4 5 6 7 2 4 5 6 1 2 4 6 Prostszy przypadek 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1 2 3 4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4 5 6 7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2 4 5 6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1 2 4 6

Jak być innym 1 2 3 4 4 5 6 7 2 4 5 6 6 2 4 1 Prostszy przypadek 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1 2 3 4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4 5 6 7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2 4 5 6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 6 2 4 1

Jak być innym R1 R1 R2 R3 Rn R4 1 2 3 4 5 6 7 Prostszy przypadek 1 2 3 Koning: ..

Jak być innym Prostszy przypadek R1 1 2 3 4 R1 R2 R3 R4 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 2 4 5 6 Rn 1 2 4 6 Koning: ..

Jak być innym Prostszy przypadek R1 1 3 2 4 R1 R2 R3 R4 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 2 4 5 6 Rn 6 2 4 1 Koning: ..

Jak być niezależnym B1 Bn V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa Bi- bazy przestrzeni V Hipoteza: Da się przepermutować elementy w każdym wierszu w taki sposób, żeby w każdej kolumnie otrzymać bazę V

Jak być niezależnym B1 Bn C1 Cn V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa Bi- bazy przestrzeni V Hipoteza: Da się przepermutować elementy w każdym wierszu w taki sposób, żeby w każdej kolumnie otrzymać bazę V Bn Gian-Carlo Rota (1932-1999) C1 Cn bazy?

L nxn [n] 1 2 3 4 L – parzysty, jeżeli L – nieparzysty, jeżeli

Jak być niezależnym L nxn [n] 1 2 3 4 n - nieparzyste le(n)– liczba parzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n 1 2 3 4 lo(n)– liczba nieparzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n n - nieparzyste Kwadrat nieparzysty otrzymujemy z parzystego (i odwrotnie) zamieniając miejscami dwa wiersze, lub dwie kolumny.

Jak być niezależnym L nxn [n] 1 2 3 4 Hipoteza: Dla parzystych n liczba parzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n jest różna od liczby nieparzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n. 1 2 3 4 Noga Alon Michael Tarsi

Hipoteza Alona - Tarsiego Jak być niezależnym Hipoteza Alona - Tarsiego Hipoteza Roty

Jak być niezależnym B1 Bk Jest prawdziwa: Słabsza wersja: Dla n=2,3,4,6,8 - Marini Obecnie dla n<26 Dla n=p+1 (p-liczba pierwsza) – A.A. Drisko Hipoteza Alona-Tarsiego Dla n=p-1 (p-liczba pierwsza) – D.G. Glynn Słabsza wersja: V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa B1 Bk Bi- bazy przestrzeni V Możemy tak spermutować elementy w wierszach, żeby kolumny były zbiorami niezależnymi, jeżeli: - J. Geelen, K. Webb

Dziękuję za uwagę