MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 3 19.03.2008 r

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny Pole, w którym praca przy przesunięciu punktu z A do B nie zależy od drogi po jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy polem potencjalnym (zachowawczym). W polu potencjalnym praca wykonana po dowolnej linii zamkniętej jest równa zero. W związku z tym praca jest tylko funkcją współrzędnych: Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem M A B Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnej na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty sposób wyznaczyć składowe siły grawitacyjnej: W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnień mechaniki nieba) siła F zależy tylko od odległości od środka pola, wtedy:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny α,β,γ – kąty jakie kierunek OA tworzy z osiami układu współrzędnych z y x składowe siły: A(x,y,z) r γ Pamiętając, że: β α O otrzymujemy:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny Wprowadźmy funkcję: z y x wtedy dla składowej x: i analogicznie dla y oraz z: A(x,y,z) r γ β α O

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny Wynika stąd, że funkcja : jest potencjałem. z y x W polu grawitacyjnym (punkt m1 przyciąga punkt m2): a więc: m2 r O m1

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał grawitacyjny Praca wykonana przy rozsunięciu punktów m1 i m2 od r do r1 jest równa różnicy: z y x m2 r Jeżeli punkt m2 odsuniemy do nieskończoności (r1->∞), to: otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną. O m1

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał układu punktów Suma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas: Wyznaczmy potencjały dla kilku prostych przypadków… z y x M mi (xi,yi,zi) Q(x,y,z)

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał na osi pierścienia Potencjał od elementu δM: Całkując dostajemy: Ta funkcja zależy tylko od z. Aby otrzymać natężenie pola musimy policzyć pochodną:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał na osi jednorodnego dysku Potencjał dysku jest sumą potencjałów pochodzących od elementarnych pierścieni:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał na osi jednorodnego dysku W przypadku dużych z, możemy rozwinąć wyrażenie w nawiasie korzystając z uogólnienia dwumianu Newtona na dowolne potęgi. Otrzymujemy:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał od jednorodnego pręta Pręt o gęstości σ Potencjał w punkcie P, pochodzący od elementu δx: r δx δθ θ 2L P Sumaryczny potencjał dostajemy całkując:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał od jednorodnego pręta Gdy r1 i r2 są duże możemy założyć: wtedy: r δx δθ θ 2L Dla r>>L możemy logarytmy rozwinąć w szereg Maclaurina. Otrzymujemy: czyli potencjał masy punktowej.

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał od jednorodnego pręta r δx δθ θ 2L W niewielkich odległościach od pręta powierzchnie ekwipotencjalne są elipsami (r1+r2=2a) o wielkich półosiach równych:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał dowolnej masy Suma pól potencjalnych pochodzących od różnych mas jest również polem potencjalnym. Potencjał tego pola jest sumą potencjałów poszczególnych mas: z y x M mi (xi,yi,zi) Q(x,y,z) gdzie:

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał dowolnej masy Pochodne potencjału (podobnie dla y i z): z y x M mi (xi,yi,zi) Q(x,y,z) Można pokazać, że: które jest równaniem Laplace’a

Pole grawitacyjne i potencjał Potencjał dowolnej masy Ogólnie: Potencjał w punkcie leżącym na zewnątrz masy przyciągającej spełnia r-nie Laplace’a: Potencjał w punkcie leżącym wewnątrz masy przyciągającej spełnia r-nie Poisson’a: z y x M mi (xi,yi,zi) Q(x,y,z)