Anizotropowy model uszkodzenia i odkształcalności materiałów kruchych Janusz Dębiński Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Prof. Andrzej Litewka Universidade da Beira Interior, Covilhā, Portugalia

Plan 1. Cele pracy 2. Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia 3. Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Równanie ewolucji uszkodzenia Doświadczalna identyfikacja stałych materiałowych 4. Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężenia Równania konstytutywne Weryfikacja doświadczalna 5. Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Równania konstytutywne Weryfikacja doświadczalna 6. Podsumowanie

Cele pracy 1. Przeprowadzenie własnych badań doświadczalnych nad akumulacją zorientowanego uszkodzenia. 2. Sformułowanie fenomenologicznego modelu teoretycznego bazującego na metodach mechaniki uszkodzenia i teorii reprezentacji funkcji tensorowych. 3. Przeprowadzenie weryfikacji doświadczalnej modelu teoretycznego przy zastosowaniu wyników badań własnych oraz dostępnych wyników badań betonu i skał poddanych złożonemu stanowi naprężenia.

Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia Próbka z betonu zwykłego B20

Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia Konfiguracja główna Konfiguracja pomocnicza

Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia Liczba próbek: Seria I - 4 próbki Seria II - 7 próbek Seria III - 8 próbek Razem: 19 próbek

Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia Seria I Konfiguracja główna

Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia Seria II oraz III Konfiguracja pomocnicza Konfiguracja główna

Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Tensorowa zmienna opisująca aktualny stan materiału Onat i Leckie ( 1981 ) Chaboche ( 1982 ) Liczba tensorów, a także ich rząd uzależnione są od geometrii rozkładu mikropęknięć i powinny być dobrane aby opisywały w sposób wystarczający zachowanie się materiału. Geometria oraz gęstość mikropęknięć zależą bezpośrednio od tensora naprężeń. Stwierdzono, że osie symetrii układu mikropęknięć pokrywają się z kierunkami naprężeń głównych.

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Tensor uszkodzenia Mając na uwadze fakt pokrywania się osi symetrii mikropęknięć z kierunkami naprężeń głównych założono, że aktualny stan materiału może być opisany przez jedną zmienną w postaci tensora symetrycznego drugiego rzędu nazywanego tensorem uszkodzenia. Kierunki główne tensora uszkodzenia pokrywają się kierunkami głównymi tensora naprężenia

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Wartości W1 W2 W3 oblicza się jako stosunek pola mikropęknięć do pola powierzchni w stanie nieuszkodzonym.

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Równanie ewolucji uszkodzenia zbiór n zmiennych opisujących aktualny stan struktury materiału. Równanie ewolucji uszkodzenia dla jednej zmiennej w postaci tensora uszkodzenia ma postać Jeżeli pominie się wpływ temperatury i wzmocnienia równanie ewolucji uszkodzenia ma postać

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny W rozpatrywanym przypadku uszkodzenia materiałów kruchych czynnik czasu nie jest analizowany celowym więc jest przyjęcie równania ewolucji uszkodzenia w postaci stanowiącej funkcję tensorową tylko jednej zmiennej niezależnej jaką jest tensor naprężenia. Tensor uszkodzenia nie występuje jako zmienna niezależna, ponieważ uszkodzenie pojawia się dopiero po przyłożeniu obciążenia.

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Równania konstututywne materiału z uszkodzeniem Materiał anizotropowy Z chwilą pojawienia się w materiale mikrouszkodzeń wartości stałych sprężystości ulegną zmianie gdzie Materiał pierwotnie izotropowy

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Tensor efektu uszkodzenia Symetria układu mikropęknięć odpowiada przypadkowi ortotropii, którą można opisać za pomocą symetrycznego tensora rzędu drugiego. Jednakże nie jest on tożsamy z tensorem uszkodzenia. W miejsce tensora uszkodzenia należy podstawić nowy tensor efektu uszkodzenia.

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Równanie konstytutywne dla materiału ortotropowo uszkodzonego ma postać Równanie to wraz z równaniem ewolucji uszkodzenia jednoznacznie opisuje właściwości mechaniczne materiału z uszkodzeniem

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Izotropową funkcję tensorową można przedstawić w postaci reprezentacji funkcji tensorowej jako zbiór generatorów tensorowych dla rozpatrywanego zbioru zmiennych tensorowych skalarne funkcje niezmienników podstawowych

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Dla funkcji tensorowej dwóch zmiennych tensorowych s i D zbiór generatorów obejmuje elementy Reprezentacja funkcji tensorowej będzie miała postać

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Dla sformułowania równań sprężystości dla materiałów uszkadzających się istotne znaczenie ma znalezienie reprezentacji dla funkcji tensorowej której argumentem jest tensor czwartego rzędu. Reprezentację taką podał Rivlin i Ericsen ( 1955 ) i ma ona postać Właściwości sprężyste materiału można opisać za pomocą uproszczonej wersji reprezentacji, w której pominięto człony zawierające tensor Dij w potędze większej niż jeden.

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Uwzględniając symetrię tensora Aijkl reprezentacja będzie miała postać Materiał izotropowy

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Równanie ewolucji uszkodzenia ma postać Reprezentacja tej funkcji tensorowej ma postać a1 a2 dewiator tensora naprężenia a3 = 0

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Reprezentacja tensora Aijkl ma postać Czyli równanie konstytutywne będzie miało postać

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Przedstawione tutaj równania mają charakter ogólny w tym sensie, że zachowują swoją ważność dla przypadków trójosiowego stanu obciążenia wzrastającego monotonicznie od zera aż do granicy wytrzymałości materiału odpowiadającej danemu stanowi naprężenia. Model ten w obecnej postaci nie daje możliwości opisu procesów odciążania a także obciążeń cyklicznych.

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Identyfikacja stałych materiałowych A, B, C, D

Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Stała F została obliczona na podstawie danych eksperymentalnych dla trójosiowego stanu naprężenia Parametr H został obliczony na podstawie analizy przypadku hydrostatycznego ściskania W takim przypadku nie następuje uszkodzenie materiału, czyli Dla tego przypadku zależność między naprężeniem a odkształceniem jest liniowa

Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężenia Stan naprężenia opisuje się za pomocą tensora który można przedstawić graficznie

Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężenia Równania konstytutywne mają postać

Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężenia Beton Green S. J., Swanson S. R.

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Stan naprężenia opisuje się za pomocą tensora który można przedstawić graficznie

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Równania konstytutywne mają postać

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Beton 1 Kupfer H.

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Stan naprężenia dla osiowego ściskania opisuje się za pomocą tensora który można przedstawić graficznie

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Równania konstytutywne mają postać

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Równania powalające na obliczenie stałych materiałowych

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia

Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia

Podsumowanie Zastosowanie metod mechaniki uszkodzenia w połączeniu z teorią reprezentacji funkcji tensorowych umożliwiło stworzenie modelu teoretycznego służącego do opisu zachowania się materiałów kruchych poddanych złożonym stanom naprężenia. Własne badania przeprowadzone dla betonu osiowo ściskanego posłużyły do wyznaczenia akumulacji zorientowanego uszkodzenia. Pierwotnie izotropowy beton pod wpływem obciążenia stał się materiałem wykazującym izotropię transwersalną. Wykorzystując dostępne wyniki badań doświadczalnych dla materiałów kruchych w płaskim i przestrzennym stanie naprężenia zweryfikowano poprawność zaproponowanego modelu.