Komputerowa analiza sieci genowych (GRN)

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Niezawodności sieci telekomunikacyjnych
Advertisements

Topology of the World Trade Web. Świat jako twór stawiający wysokie wymagania Świat staje się globalną wioską- global village Ogromne znaczenie handlu.
DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska.
Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G)
Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania
Grafy inaczej, czyli inne modele grafów
ELEMENTY TEORII GRAFÓW
Wykład 6 Najkrótsza ścieżka w grafie z jednym źródłem
Minimalne drzewa rozpinające
Algorytm Dijkstry (przykład)
Małgorzata Gozdecka Dominika Rudnicka
WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy
WYKŁAD 2. Kolorowanie wierzchołków
WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa
WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.
WYKŁAD 4. Skojarzenia Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych konców). Skojarzenie M w G traktujemy jak podgraf.
WYKŁAD 8. Siła spójności Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy.
WYKŁAD 8. Siła spójności A,B – dowolne podzbiory V(G)
WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne
GRAFY PLANARNE To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się (poza swoimi końcami). Na przykład K_4, ale nie K_5.
WYKŁAD 4. Skojarzenia Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych konców). Skojarzenie M w G traktujemy jak podgraf G.
Dariusz Odejewski Krzysztof Wójcik
Inteligencja Obliczeniowa Klasteryzacja i uczenie bez nadzoru.
Macierz incydencji Macierzą incydencji grafu skierowanego D = (V, A), gdzie V = {1, ..., n} oraz A = {a1, ..., am}, nazywamy macierz I(D) = [aij]i=1,...,n,
Algorytmy grafowe Reprezentacja w pamięci
Sieci Hopfielda.
Komputerowa analiza sieci genowych (GRN)
Komputerowa analiza sieci genowych (GRN) Agnieszka Marmołowska Jacek Ławrynowicz Promotor: prof. Krzysztof Giaro.
Paweł Stasiak Radosław Sobieraj Michał Wronko
Komputerowa analiza sieci genowych (GRN) Agnieszka Marmołowska Jacek Ławrynowicz Promotor: prof. Krzysztof Giaro.
Komputerowa analiza sieci genowych (GRN) Agnieszka Marmołowska Promotor: prof. Krzysztof Giaro.
Komputerowa analiza sieci genowych
Analiza sieci genowych Agnieszka Marmołowska Jacek Ławrynowicz.
Komputerowa analiza sieci genowych (GRN) Agnieszka Marmołowska Jacek Ławrynowicz Promotor: prof. Krzysztof Giaro.
Komputerowa analiza sieci genowych
WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja.
TRANSAKCJE TYLKO ODCZYT TYLKO ZAPIS
Minimalne drzewa rozpinające
Przepływy w sieciach. Twierdzenie minimaksowe.
SKIEROWANE Marek Bil Krzysztof Fitrzyk Krzysztof Godek.
IV OTWARTE MISTRZOSTWA OPOLA W PROGRAMOWANIU ZESPOŁOWYM
Graf - jest to zbiór wierzchołków, który na rysunku przedstawiamy za pomocą kropek oraz krawędzi łączących wierzchołki. Czasami dopuszcza się krawędzie.
Algorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych
Komputerowe metody przetwarzania obrazów cyfrowych
na podstawie materiału – test z użyciem komputerowo generowanych prób
Rodzaje, przechodzenie grafu
Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci: Ø      m- węzłów,
Podstawy statystyki, cz. II
VII EKSPLORACJA DANYCH
Jacek Wasilewski Politechnika Warszawska Instytut Elektroenergetyki
Algorytmy i Struktury Danych
Rozwiązywanie układów równań liniowych różnymi metodami
Algorytmy- Wprowadzenie do programowania
Komputerowa analiza sieci genowych (GRN) Agnieszka Marmołowska Jacek Ławrynowicz Promotor: prof. Krzysztof Giaro.
PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP. Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak,
Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych
Szachy a grafy. Powiązanie szachownicy z grafem Szachownicę można przedstawić jako graf. Wierzchołek odpowiada polu, a krawędzie ruchowi danej figury.
GRA CHOMP. Czym jest chomp? Jest to gra dla dwóch osób, rozgrywana na prostokątnej tablicy, zwanej „tabliczką czekolady”
Grafy.
Modelowanie matematyczne – złożoność obliczeniowa, teoria a praktyka
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów
Analiza Sieci Społecznych
Modele sieci społecznych
Metody Badań Operacyjnych Michał Suchanek Katedra Ekonomiki i Funkcjonowania Przedsiębiorstw Transportowych.
Zagadnienia transportowe Katedra Ekonomiki i Funkcjonowania Przedsiębiorstw Transportowych.
Wybór nazwy lub słów kluczowych dla interesującego nas szeregu czasowego. Opcjonalnie – ustawienie innych dostępnych atrybutów szukania.
Metoda klasyczna (wg książki Sasao)
Algorytmy i struktury danych
Analiza współzależności zjawisk
Zapis prezentacji:

Komputerowa analiza sieci genowych (GRN) Agnieszka Marmołowska Jacek Ławrynowicz Promotor: prof. Krzysztof Giaro

Przypomnienie Gene regulatory network – sieć genów komórki, które wpływają na siebie

Wyewoluowane sieci Grafy

Wyewoluowane sieci Dane Wierzchołki – 14 Krawędzie – 128 Gęstość – 1,41 Sieć 2 Wierzchołki – 48 Krawędzie – 1082 Gęstość – 0,

Struktruty społeczne Występowanie grup wierzchołków gęściej połączonych między sobą niż z wierzchołkami spoza grupy. Jakie mogą być moduły? Skąd wiadomo czy sieć posiada moduły?

Selektywność (assortativity) Parametr określający, czy wierzchołki o wysokich stopniach „lubią” łączyć się z ze sobą Różne wzory Różny zakres wartości

Selektywność Ilustracja Brak korelacji A = 0 A = 0.26 A = 0.43 Maksymalna (dla sieci o takim rozkładzie stopni) korelacja A = 0.62

Selektywność Neighbour connectivity Wzór funkcji Funkcja rosnąca – assortative network Funkcja malejąca – disassortative network

Neighbour connectivity Przykład Assortative

Neighbour connectivity Przykład Steel assortative

Neighbour connectivity Przykład Disassortative

Współczynnik selektywności Pearson correlation coefficient Wzór Sumy po wszystkich krawędziach ji i ki – stopnie wierzchołków, które łączy i-ta krawędź r jest znormalizowane

Współczynnik selektywności Przykład

Współczynnik selektywności Przykład

Współczynnik selektywności Sieci z życia Sieci społeczne – assortative Sieci techniczne/biologiczne – disassortative Sieci wyewoluowane A(1) – -0,0234 A(2) - -0,1945 Dlaczego tak jest?

Współczynnik klasteryzacji Wzór u – wierzchołek k – stopień wierzchołka u e – ilość krawędzi łączących k sąsiadów u C – średni współczynnik klasteryzacji dla wszystkich wierzchołków C(k) – średni współczynnik klasteryzacji dla wierzchołków o stopniu k

Współczynnik klasteryzacji Zbadano: Sieci metabolicznych 43 organizmów Sieci interakcji białek (S. cerevisiae, H. pylori, E. coli, C. elegans) Regulacyjnych sieci genowych (S. Cerevisiae) C(k)~k-1 Wnioski: Pojedyncze moduły składają się z gęsto zgrupowanych wierzchołków o relatywnie niskim stopniu Moduły są połączone przez centralne wierzchołki o wysokim stopniu

Współczynnik klasteryzacji Wyewoluowana sieć n = 14, m = 128 C = 0,335 C(k)~k-1?

Współczynnik klasteryzacji Wyewoluowana sieć n = 48, m = 1028 C = 0,327 C(k)~k-1?

Współczynnik klasteryzacji Dlaczego? Sieć jest grafem: skierowanym dopuszcza krawędzie wielokrotne Spróbujmy z grafem prostym

Współczynnik klasteryzacji Wyewoluowana sieć – graf prosty n = 14, m = 138 C = 0,405

Współczynnik klasteryzacji Wyewoluowana sieć – graf prosty n = 48, m = 1206 C = 0,336

Algorytmy wykrywania modułów Klasteryzacja hierarchiczna Algorytm Girvan–Newman Maksymalizacja Modularity Filtracja klik (Clique percolation) Minimalne rozdzięcie

Klasteryzacja hierarchiczna Dwa rodzaje: Agglomerative – bottom-up, każdy wierzchołek w oddzielnym klastrze Divisive – top-down, wszystkie wierzchołki w jednym klastrz Zarys algorytmu: Każdej krawędzi przypisywana jest waga (edge betweeness centrality ) Wierzchołki są łączone według malejącej wagi (rozdzielane według malejącej wagi) Złożoność O(mn + m) = O(mn) (O(n2))

Girvan–Newman Usuwanie krawędzi Zarys algorytmu: Złożoność Wszystkie wierzchołki w jednym klastrze Każdej krawędzi przypisywana jest waga (edge betweeness) Usuwana jest krawędź o najwyższej wadze Wagi przeliczane są na nowo Złożoność O(nm2) (O(n3))

Maksymalizacja Modularity Przeszukiwanie możliwych podziałów na klastry i wybór najlepszego Miara dobroci podziału (modularity) eij – ilość krawędzi między i-tym i j-tym klastrem Przeszukanie wszystkich możliwości – bardzo nieoptymalne

Maksymalizacja Modularity Zarys algorytmu zachłannego: Każdy wierzchołek jest w oddzielnym klastrze, tworzona jest macierz E Krok algorytmu (n-1 razy): Obliczenie dla każdej krawędzi - O(m) Wybór krawędzi o największym Poprawienie macierzy E – O(n) Złożoność O((m+n)n) (O(n2))

Przedstawienie wyników Wyniki algorytmów klasteryzacji hierarchicznej (divisive), GN oraz Maksymalizacji można przedstawić jako dendrogram Umożliwia on wybranie odpowiedniej ilości grup, wyodrębnienie podgrup... Dendrogram wytworzony przez algorytm maksymalizacji dla sieci społecznej klubu karate

Ocena wyniku Przedstawione algorytmy zawsze tworzą jakiś podział – niezależnie od tego czy taki podział w rzeczywistości istnieje. Jak sprawdzić jakość podziału? Modularity

Filtracja klik k-klika – podgraf pełny o k wierzchołkach k-kliki sąsiadujące – kiedy mają przynajmniej k-1 wspólnych wierzchołków

Filtracja klik Kliki sąsiadujące Wykrywanie zbiorów sąsiadujących k-klik: Szablon k-kliki – umieścić w grafie Jeden z wierzchołków szablonu przenieść na inny wierzchołek grafu z zachowaniem kliki Łańcuch połączonych w ten sposób klik staje się modułem

Filtracja klik Przykład Moduły k-klik dla k=4 Na czerwono oznaczone są „overlapps”

Filtracja klik Problemy Szukanie k-kliki w grafie – wielomianowe Szukanie maksymalnej k-kliki w grafie NP-trudne Czy wystarczy szukanie k-klik dla ustalonego k?

Filtracja klik Rozwiązanie Sieć modułów wyodrębnionych za pomocą filtracji klik dla k=4 Węzły – moduły, wielkość węzła odpowiada ilości wierzchołków Krawędzie – połączenia między modułami, grubość krawędzi odpowiada ilości połączeń między modułami

Filtracja klik Rozwiązanie Moduły odpowiadają rzeczywistości Wartość k miedzy 4 a 6 wystarcza dla wyodrębnienia rzeczywistych modułów