równanie ciągłości przepływu, równanie Bernoulliego. Wykład 6 równanie Eulera, równanie ciągłości przepływu, równanie Bernoulliego.

1. Równanie Eulera W poruszającym się płynie oddziaływują następujące siły: siły masowe, siły powierzchniowe, siły bezwładności. Siły masowe i powierzchniowe działające na element płynu

Siły powierzchniowe działające w kierunku osi x będą równe: analogicznie dla osi y, z

składowe sił masowych ponieważ płyn porusza się to składowe wektora sił bezwładności (d’Alemberta) przedstawiają się następująco

Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd po uproszczeniu otrzymamy

lub po podzieleniu przez ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą

otrzymamy są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać

2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego

Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi a wypływającego przez przekrój 2-2: Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu. Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy

lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli

Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równanie równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równanie równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego Z równań wynika, że Jeśli w polu o przekroju A prędkość nie jest jednakowa, to wówczas w równaniach ciągłości przepływu występuje prędkość średnia vśr równa

3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)

Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe

Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli Porównując równanie (32) z sumą równań (29-31) otrzymamy po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego

Zapis równania (35) można uprościć stosując pojęcie dywergencji Czyli otrzymamy równanie (35) w postaci Dla płynu nieściśliwego =const stąd a zatem równanie ciągłości jest równe lub

4. Równanie Bernoulliego Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.

energii kinetycznej masy , poruszającej się z prędkością , czyli Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1-1 i 2-2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt. W czasie dt ciecz z przekroju 1-1 przemieści się o do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2-2 o do 2’-2’. Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1-1 w czasie dt składa się z: energii potencjalnej położenia energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły powierzchniowej i przesunięcia , czyli energii kinetycznej masy , poruszającej się z prędkością , czyli

Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi (43) a przez przekrój 2-2 (44) Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to: (45) zatem (46)

Po podzieleniu równania (46) obustronnie przez otrzymamy: (47) Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci: (48) z

Po pomnożeniu równań (47-48) obustronnie przez g otrzymamy: (49) (50) gz

Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego