Zapis informacji Dr Anna Kwiatkowska

Systemy liczenia Istnieje wiele różnych systemów liczenia Każdy system liczenia posiada zbiór symboli (tzw. alfabet) oraz określone reguły kodowania, tworzenia i przetwarzania liczb Systemy liczenia można podzielić na pozycyjne i niepozycyjne.

Niepozycyjne systemy liczenia W tych systemach reguły tworzenia i kodowania liczb są na ogół trudniejsze do przedstawienia za pomocą ogólnego wzoru Przykładem niepozycyjnego systemu liczenia może być system rzymski zawierający między innymi w swoim alfabecie symbole: I V X L C M, za pomocą których przedstawiane są liczby.

Niepozycyjne systemy liczenia O wielkości liczby decyduje określona kombinacja symboli a nie ich pozycja i długość liczby (ile symboli tworzy liczbę) Nie można mówić o symbolach cyfr Przykład: ciągi symboli: IV, V i VI oznaczają liczby: cztery, pięć i sześć chociaż liczba pięć ma zapis krótszy niż cztery, zaś zapisy liczb cztery i sześć składają się z tych samych symboli ale w innej kolejności

Pozycyjne systemy liczenia system pozycyjnym oznacza, że wartość liczby zależy od pozycji na której się ona znajduje każdy system pozycyjny liczenia posiada alfabet składający się z symboli cyfr (nazywanych cyframi) i innych symboli do tworzenia, kodowania i przetwarzania liczb

Pozycyjny system liczenia ilość dostępnych cyfr w systemie jest równa podstawie systemu, a więc w syst. dziesiętnym – 10, w systemie dwójkowym – 2 itd. liczba różnych cyfr w alfabecie jest nazywana podstawą (zasadą) liczenia

Pozycyjny system liczenia Liczbę rzeczywistą w systemie liczenia o zasadzie p można przedstawić w następującej postaci: cn cn-1 ... c0 , c-1 c-2 ... c-k (p) gdzie: ci należy do zbioru cyfr, n+1 – liczba cyfr przed kropką dziesiętną k – liczba cyfr po kropce dziesiętnej p – zasada liczenia.

Pozycyjny system liczenia Wartość tak zapisanej liczby jest określana wzorem: cn · wn +cn-1 · wn-1 +... +c0 + c-1· w-1 + c-2 · w-2 +... +c-k · w-k gdzie wi jest nazywana wagą pozycji i dla większości systemów jest określana wzorem: pi

Pozycyjny system liczenia Ważne są reguły dotyczące przetwarzania liczb np. dodawania, odejmowania, mnożenia i inne W tym celu określane są tzw. tabliczki dodawania i mnożenia

Zamiana liczby zapisanej w systemie o zasadzie p10 na liczbę w systemie dziesiętnym jest przedstawiona wzorem: cn · pn +cn-1 · pn-1 +...+c1p +c0 + c-1· p-1 + c-2 · p-2 +... +c-k · p-k

System dziesietny Podstawa liczenia: 10 Alfabet: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Zasady działania: tabliczka dodawania tabliczka mnożenia

System dziesietny 333= 3*100+3*10+3*1 System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, że wartość liczby zależy od pozycji na której się ona znajduje np. 333= 3*100+3*10+3*1 każdą z cyfr mnożymy przez tzw. wagę pozycji, która jest kolejną potęgą liczby 10 będącej podstawą systemu liczenia co możemy zapisać jako: 333(10) =3*102+ 3*101 + 3*100

Pozycyjny system liczenia Dowolną liczbę dziesiętną można zapisać jako: L(10) =an*10n + an-1*10n-1 + an-2*10n-2 ...+... a2*102 + a1*101 + a0*100 Przy czym współczynniki an mogą mieć wartość 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Pozycyjny system liczenia W technice komputerowej praktyczne zastosowanie znalazły systemy: o podstawie 2 - tzw. system binarny (dwójkowy) używany do przechowywania i przetwarzania danych przez układy elektroniczne komputera o podstawie 16 - tzw. system heksadecymalny (szesnastkowy), używany głównie do prezentacji niektórych danych m.in adresów komórek pamięci, kodów znaków, kolorów

System binarny Podstawa liczenia: 2 Alfabet: {0, 1} Zasady działania: tabliczka dodawania tabliczka mnożenia + 1 10 * 1

System binarny liczbę w systemie o podstawie 2 możemy przedstawić jako: L(2) =an*2n + an-1*2n-1 + an-2*2n-2 ... + ... a2*22 + a1*21 + a0*20 a współczynniki an mogą przybierać tylko dwie wartości: 0 lub 1

System binarny Zamiana zapisu liczby z systemu dziesiętnego na zapis w systemie binarnym przebiega według reguł: zamiana części całkowitej; zamiana części ułamkowej zapis: zapis części całkowitej odzielony kropką od zapisu części ułamkowej

Zamiana części całkowitej Część całkowitą liczby dzielimy przez p i resztę z dzielenia oraz kolejne reszty z dzielenia kolejnych wyników dzielenia (liczb całkowitych) przez p piszemy za pomocą cyfr systemu o zasadzie p na kolejnych pozycjach od prawej strony do lewej ( ... c1 c0 ) aż otrzymamy wynik mniejszy od p. Ten wynik będzie pierwszą cyfrą z lewej strony zamienionej części całkowitej.

Zamiana części ułamkowej część ułamkową liczby mnożymy przez p i otrzymaną w wyniku część całkowitą po zamianie na cyfrę w systemie o zasadzie p dopisujemy jako kolejną cyfrę ułamkową otrzymaną część ułamkową ponownie mnożymy przez p i tak postępujemy do osiągnięcia stanu, w którym część ułamkowa będzie zerem lub osiągnięto wymaganą liczbę cyfr po przecinku

Zamiana z systemu dziesiętnego na binarny Zamiana zapisu liczby z systemu dziesiętnego na binarny daje się wykonać dokładnie tylko wówczas, gdy część całkowita liczby jest postaci 2k, zaś część ułamkowa postaci 2-q (k,q ‑ liczby całkowite) Na ogól otrzymuje się ułamek okresowy Zamiana zapisu liczby z systemu binarnego na dziesiętny daje w wyniku liczbę o takiej samej wartości

Zamiana liczby dziesiętnej na binarną 69 34 17 8 4 2 1 Najmłodszy bit Najstarszy bit Podstawowy sposób polega na kolejnym dzieleniu liczby dziesiętnej przez 2 z resztą i zapisaniu liczby od najstarszego do najmłodszego bitu więc: 69 (10)= 1000101 (2)

Zapis informacji Każdą pozycję liczby binarnej nazywamy bitem (binary digit) i jest to najmniejsza jednostka ilości informacji

Zamiana liczby binarnej na dziesiętną aby obliczyć dziesiętną wartość naszej liczby binarnej mnożymy cyfrę stojącą na każdej pozycji przez jej wagę, czyli kolejną potęgę liczby 2 będącej podstawą systemu 1000101 (2)= 1*26 + 0*25 + +0*24+0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = = 64+0+0+0+4+0+1= 69

Liczba całkowita (2)

Liczba rzeczywista Ułamki zapisujemy, mając na uwadze tylko to, że pozycje bitów znajdujących się na prawo od kropki traktujemy jako pozycje "ujemne",

Liczba rzeczywista (2)

System szesnastkowy Podstawa liczenia: 16 Alfabet: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, a,A, (dziesięć) b,B, (jedenaście) c,C, (dwanaście) d,D, (trzynaście) e,E, (czternaście) f,F (piętnaście) }

Zamiana z systemu na system Bardzo prosta jest zamiana zapisu liczb całkowitych z systemu binarnego na zapis w systemie o zasadzie 2k (k – liczba całkowita), ponieważ wystarczy liczbę podzielić (od prawej) na części k cyfrowe i każdą część przedstawić jako cyfrę w danym systemie.

Jak przedstawić liczbę dziesiętną w systemie heksadecymalnym? Nasza liczba dziesiętna 69 to binarnie: 1000101 Algorytm zamiany liczby binarnej na heksadecymalną jest następujący: dzielimy liczbę binarną na części o długości 4 bity (licząc od ostatniej pozycji) czyli: 100 0101 Dla każdej części znajdujemy wartość dziesiętną i zapisujemy ją w postaci heksadecymalnej binarnie 100 0101 dziesiętnie 4 5 heksadecymalnie 45 tak więc: 45(16)=4*161 + 5*160=64+5=69