Dynamika bryły sztywnej

Bryła sztywna Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną. Jeżeli położenie cząstek opisujemy za pomocą wektorów i , to wektor łączący obie cząstki musi być wektorem stałym

Położenie bryły sztywnej Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba określić: położenie wybranego punktu np. środka masy położenie drugiego punktu

położenie trzeciego punktu Więc efektywnie bryła sztywna ma sześć stopni swobody. Położenie bryły sztywnej opisują 3 współrzędne i 3 kąty

Bryła sztywna może poruszać się ruchem postępowym Wektory prędkości są wtedy takie same dla wszystkich punktów

Lub obrotowym wszystkie punkty poruszają się po okręgach

Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego. - Prędkość punktu przez który przechodzi oś obrotu

Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej Pierwszy człon jest energią kinetyczną ruchu postępowego bryły, drugi człon jest energią ruchu obrotowego, a trzeci jest nazywany energią mieszaną

Jeśli środek masy jest w punkcie O to energia mieszana znika: Energie kinetyczną ruchu obrotowego można zapisać jako - Moment bezwładności Gdy oś przechodzi przez środek masy energia kinetyczna bryły jest równa

S Przykład. Walec na równi Vs S Ruch walca staczającego się po równi pochyłej bez poślizgu skład się z ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego

Moment bezwładności definiujemy jako mi dm Ponieważ Układ cząstek : Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest sumą iloczynu mas cząstek i kwadratu ich odległości od osi obrotu Ciało stałe

np. Moment bezwładności jednorodnego pręta Obrót wokół końca L y dx x L Obrót wokół środka

Twierdzenie Steinera C A D dm Jeśli moment bezwładności bryły sztywnej wokół osi obrotu przechodzącej przez środek masy jest równy I’, to moment bezwładności wokół osi równoległej do tej osi, odległej od niej o odległość D jest równy:

Obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy Przykład Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec Obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy y x L Odległość między osiami Zgodnie z twierdzeniem Steinera

Moment bezwładności

Moment pędu bryły sztywnej Z definicji momentu pędu mamy: Załóżmy, że bryła porusza się ruchem obrotowym Więc Kierunek L zależy od kierunku w jak i położeń poszczególnych elementów bryły ri.

Wyrażenie na składowe L możemy zapisać w postaci macierzowej: momenty bezwładności względem osi x,y,z momenty zboczenia (dewiacji)

Prawa ruchu bryły sztywnej Ciało sztywne może poruszać się ruchem postępowym lub obrotowym, więc ruch tego ciała opisują równania i -wypadkowa sił zewnętrznych - wypadkowy moment sił zewnętrznych Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym. Ponieważ swobodna bryła sztywna ma sześć stopni swobody, więc mamy wystarczającą liczbę równań.

Przykład Staczanie się po równi kuli (bez poślizgu) Ruch postępowy opisuje równanie Ruch obrotowy (względem środka masy) Miedzy przyspieszeniami istnieje zależność Eliminując siłę tarcia: Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało

Zagadnienie można rozwiązać w sposób równoważny korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera. Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równią): Z twierdzenia Steinera mamy więc

Obrót wokół ustalonej osi Dla bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi moment pędu (skalarnie) ma postać: Pod wpływem stałego momentu siły: ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)

Wahadło matematyczne Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny (kulkę) o masie m zawieszony na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Położenie kulki można wyrazić Siłę reakcji możemy rozłożyć na składowe Równania ruchu kulki mają postać

Przyspieszenie styczne ma postać W przybliżeniu małych kątów : więc Okres drgań wahadła nie zależy od masy kulki

Równanie ruchu wahadła ma postać Wahadło fizyczne Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną zawieszoną tak, że może się wahać wokół pewnej osi. Długością wahadła fizycznego jest odległość r od osi obrotu do środka masy. Równanie ruchu wahadła ma postać O  r czyli rsin S Mg

Rozwiązanie tego równania ma postać - Amplituda (wychylenie maksymalne) - faza początkowa Okres drgań możemy zapisać - długość zredukowana wahadła fizycznego, czyli długość wahadła matematycznego odpowiadająca okresowi drgań wahadła fizycznego.

Korzystając z twierdzenia Steinera otrzymujemy

Przekształcając wzór na długość zredukowaną mamy  Dla każdej długości zredukowanej mamy dwie odległości osi obrotu od środka masy. „Długość zredukowana jest sumą odległości od środka masy obu położeń osi, przy których wahadło ma ten sam okres”

Elementy szczególnej teorii względności

Postulaty szczególnej teorii względności (A. Einstein) 1. Postulat o stałej prędkości światła Prędkość rozchodzenia się w próżni światła jest jednakowa w każdym kierunku we wszystkich inercjalnych układach odniesienia niezależnie od wzajemnego ruchu źródła i obserwatora. Jest to zarazem maksymalna prędkość rozchodzenia się oddziaływań w przyrodzie. 2. Zasada względności Einsteina Prawa przyrody mają jednakową postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Ich postać jest zatem niezmiennicza dla wszystkich obserwatorów w tych układach.

Kinematyka relatywistyczna

Transformacje Galileusza Ruch wzgledny Transformacje Galileusza x = x’+ut y = y’ z = z’ t = t’

Niezmiennik transformacji Galileusza

Kłopoty z transformacją Galileusza przy końcu XIX wieku. Nowo odkryte prawa elektromagnetyzmu (równania Maxwella): (1) Nie są niezmiennicze względem transformacji Galileusza; (2) Istnieje prędkość absolutna -fale elektromagnetyczne (światło) poruszają się ze stałą prędkością (c = 3 x 108 m/s) Próby wyjścia z impasu (1) Zasada względności nie obowiązuje dla elektromagnetyzmu (2) Istnieje bezwzględny układ odniesienia (eter) w którym prędkość światła jest równa c = 3 x 108 m/s.

Transformacje Lorentza Współczynnik Lorentza

Transformacje Lorentza dla prędkości Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu. Ponieważ

Dylatacja czasu Mavis mierzy odstęp czasu: Stanley mierzy odstęp czasu: jest zwany czasem własnym Czas własny płynie wolniej !!!

Promieniowanie kosmiczne (miuony) Miuony, których czas życia wynosi 2 s, powstające w promieniowaniu kosmicznym poruszają się z prędkością bliską c i docierają do powierzchni Ziemi. Od miejsca gdzie powstają do powierzchni Ziemi jest ok. 4800m Tymczasem powinny przebyć tylko ok. 600m (ct=3·108 m/s 2·10-6 s = 600 m) do chwili rozpadu w górnych warstwach atmosfery

Kontrakcja (skrócenie) długości Lorenza Rozważmy znów układ nieruchomy U i ruchomy U’, i zmierzmy w obydwu tych układach długość odcinka. W układzie U mamy x2 – x1 wykonujemy pomiar w chwili t1 = t2, aby móc przyjąć, że x2 – x1 oznacza długość. W układzie U’ mamy odpowiednio x’2-x’1. Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy;

Skrócenie długości wg Mavis: wg Stanleya:

Przykład Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje wynik 400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi, jeśli wiadomo, że prędkość statku u = 0.99c

Kontrakcja (skrócenie) długości Lorenza Obserwator O powie, ze tyczka się skróciła i zmieściła w stodole. (jeśli L2/g < L) Biegacz O' stwierdzi, ze to stodoła się skróciła. Tyczka nie mogła się w niej zmieścić. Obaj mają rację !!! Różni ich zdanie na temat kolejności zdarzeń: minięcia wrót stodoły przez końce tyczki.

Względność jednoczesności zdarzeń Dwa zdarzenia jednoczesne w jednym układzie odniesienia nie są jednoczesne z punktu widzenia obserwatora znajdującego się w układzie odniesienia poruszającym się względem pierwszego. Mavis twierdzi, że piorun uderzył najpierw w prawe drzwi wagonu, bo zbliża się do fali nadbiegającej od strony tych drzwi a oddala od fali nadbiegającej od lewej strony. Wg. Stanleya, piorun uderzył jednocześnie w prawe i lewe drzwi.

Paradoks bliźniąt

Interwał czasoprzestrzenny Interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami definiujemy jako Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorenza ! Nie zależy od układu odniesienia, w którym go mierzymy. Interwały dzielimy na: Czasopodobne: s12>0 Zerowe: s12=0 Przestrzeniopodobne: s12<0

Przyczynowość Jeśli s12> 0 to można znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia 1 i 2 będą zachodzić w tym samym miejscu. (s12)0.5 określa odstęp czasu między zdarzeniami w tym układzie Zdarzenia 1 i 2 mogą być powiązane przyczynowo. Ich kolejność jest zawsze ta sama. Jeśli s12< 0 to można znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia 1 i 2 będą zachodzić w tej samej chwili. (s12)0.5 określa odległość przestrzenną między zdarzeniami w tym układzie Zdarzenia 1 i 2 NIE mogą by powiązane przyczynowo! Kolejność zdarzeń zależy od układu odniesienia.

Dynamika relatywistyczna

Masa relatywistyczna Masę m(V) nazywamy masą relatywistyczną Zastanówmy się, jak można opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona może być stosowana i czy zasada zachowania pędu ma taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych. Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy transformacji z jednego układu odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy ciała m od jego prędkości V, danej następującym wyrażeniem m0 jest masą spoczynkową ciała. Masę m(V) nazywamy masą relatywistyczną

Pęd relatywistyczny Zależność masy od prędkości Korzystając z klasycznej definicji Pęd relatywistyczny definiujemy więc

Relatywistyczne równanie ruchu Relatywistyczne równanie ruchu możemy napisać w postaci: Otrzymamy więc,

Energia relatywistyczna Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi związek To równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową E0 nazywamy energią spoczynkową

Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością V obliczamy odejmując od energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem) Widzimy, że mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy ciała. Jeżeli masa spoczynkowa cząstki zostanie zmniejszona o m, to nastąpi wyzwolenie energii Przykład Ile energii zawiera 1 g piasku? 1 g węgla dostarcza podczas spalania: Więc energia spoczynkowa piasku jest 3.1*109 razy większa.