Analiza matematyczna - Ciągi liczbowe wykład I Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

Spis treści: Definicja ciągu liczbowego Określenie typu ciągu Określenie ciągu Monotoniczność ciągu Ograniczoność ciągu Ważniejsze ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Granice ciągu Wybrane twierdzenia o granicy ciągu Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice Przykłady

Definicja ciągu liczbowego Funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N , lub jego skończony odcinek początkowy , a przeciwdziedziną wyrazy będące liczbami z dowolnego zbioru liczbowego nazywa się : ciągiem liczbowym .

Typ ciągu Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór N, ciąg nazywa się nieskończonym . Jeżeli dziedziną funkcji jest skończony odcinek początkowy , ciąg nazywa się skończonym lub n-elementowym .

Ciąg liczbowy można określić jednym z następujących sposobów: Określenie ciągu Ciąg liczbowy można określić jednym z następujących sposobów: - przez podanie wzoru na ogólny wyraz ciągu np. , - przez podanie wzoru rekurencyjnego np. , - przez podanie kolejnych wyrazów ciągu np. , , , , .

Monotoniczność ciągu Ciąg { } jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: lub . Ciąg { } jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: lub .

Ograniczoność ciągu Ciąg { } jest ograniczony z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba B, że każdy wyraz ciągu: Ciąg { } jest ograniczony z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba A, że każdy wyraz ciągu: Ciąg { } jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby A i B (A<B), że każdy wyraz ciągu:

Ważniejsze ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny definicja twierdzenia Ciąg geometryczny definicja twierdzenia

Ciąg arytmetyczny Definicja: Ciągiem arytmetycznym nazywa się ciąg liczbowy, którego każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r zwanej różnicą ciągu. Dla każdej liczby naturalnej n lub .

Twierdzenia dotyczące ciągu arytmetycznego , , .

Ciąg geometryczny Definicja: Ciągiem geometrycznym nazywa się ciąg liczbowy, którego każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q zwaną ilorazem ciągu. Dla każdej liczby naturalnej n lub .

Twierdzenia dotyczące ciągu geometrycznego , , . Jeżeli | q | < 1, to suma nieskończona ciągu geometrycznego .

Granice ciągu . Definicja: Liczbę g nazywa się granicą ciągu liczbowego nieskończonego , jeżeli każde jej otoczenie zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Przez otoczenie liczby należy rozumieć dowolny przedział otwarty zawierający liczbę g. Liczba taka, jeżeli istnieje jest jedyna . Oznacza się ją symbolem : .

Granice ciągu cd. Definicja: Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną nazywa się zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówi się o ciągu rozbieżnym.

Wybrane twierdzenia o granicy ciągu Jeżeli i , to: , , , dla .

Wybrane twierdzenia o granicy ciągu cd. Jeżeli dane są trzy ciągi , i takie, że od pewnego n poczynając i takie, że , to istnieje granica ciągu i .

Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice , , , gdy .

Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice cd. , , gdy , gdy , , gdy , , Można również korzystać ze wzorów skróconego mnożenia i działań na potęgach.

Przykłady , a) b) , c) . Tabela

Przykład a) Tabela

Przykład b) Tabela

Przykład c) Tabela

Uproszczony zapis Jeżeli to i i i i i i i wymaga szczególnego badania

dodatek - przykład b-1 Tabela

dodatek - przykład b-2 Jeżeli ciąg ma granicę , to ciąg , gdzie jest ustaloną liczbą naturalną, ma granicę . Tabela