Geometria obrazu Wykład 13 Przestrzeń rzutowa. Rzutowanie perspektywiczne. Macierz projekcji. Geometria wielobiegunowa (epipolarna).

Definicja. Pierścień przemienny z jedynką (K,+,,1,0), w którym każdy element różny od zera jest odwracalny nazywamy ciałem. Niech K będzie ciałem a R relacją taką, że dwa punkty a, b  Kn- (0, ... ,0) są w relacji aRb gdy istnieje   K takie, że (a1, ... ,an) = (b1, ... ,bn). Iloraz Kn- (0, ... ,0)/R nazywamy przestrzenią rzutową. Na przykładzie przestrzeni dwuwymiarowej poznajmy niektóre własności przestrzeni rzutowej.

Jednorodna reprezentacja prostych i punktów. Oznaczmy prostą ax+by+c = 0 jako (a,b,c)T. Zauważmy, że dla każego k  0 (ka)x+(kb)y+kc = 0, czyli (a,b,c)T jest w relacji z k(a,b,c)T. Zatem zbiór klas abstrakcji tej relacji na wektorach z R3-(0,0,0) tworzy przestrzeń rzutową P2. Oznaczmy punkt (x,y) jako (x,y,1)T. Lemat. Punkt p leży na prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy pTl = lTp = 0. Lemat. (ćwiczenia) Przecięciem dwóch prostych l i l’ jest punkt p = l  l’. Przez punkty p i p’ przechodzi prosta l = p  p’.

Wniosek. Proste równoległe l = (a,b,c)T i l’ = (a,b,c’)T przecinają się w punkcie (b,-a,0)T. Przez punkty w nieskończoności (punkty idealne) (p1,p2,0) i (r1,r2,0) przechodzi prosta (0,0,c)T. Zasada dualności. Każdemu twierdzeniu dotyczącemu dwuwymiarowej przestrzeni rzutowej odpowiada twierdzenie dualne, w którym zamieniono role prostych i punktów.

„Znikający punkt”. Każdy zbiór prostych równoległych przecina się w innym („znikającym”) punkcie. Zbiory współpłaszczyznowych prostych równoległych przecinają się punktach współliniowych (nazywamy je horyzontem dla danej płaszczyzny). Horyzont jest linią przecięcia ekranu z płaszczyzną równoległa do danej, przechodzącą przez punkt położenia obserwatora. Różne płaszczyzny wyznaczają różne horyzonty.

Rysowanie obiektów z perspektywą. Przykład. Rysowanie obiektów z perspektywą. [„Projective geometry in computer vision”]

Rzutowanie perspektywiczne. Rozpatrzmy kamerę typu pinhole. Niech ekran będzie położony prostopadle do osi z w odległości f od środka układu współrzędnych. Wtedy (x,y,f) = (X,Y,Z), gdzie  = Z/f . Z dokładnością do współczynnika skalującego można to zapisać z pomocą współrzędnych jednorodnych. [R.Hartley, A.Zisserman, „Multiple View Geometry”]

Założenie o wykorzystaniu kamery typu pinhole jest mało realistyczne, gdyż przy zbyt dużym otworze do ekranu dociera zbyt dużo promieni powodując rozmycie obrazu. Natomiast przy zbyt małym otworze jakość obrazu pogarsza zjawisko dyfrakcji. Poza tym obraz jest ciemny z uwagi na mała liczbę promieni docierających do ekranu. [„Projective geometry in computer vision”]

Kalibracja kamery. Zazwyczaj przyjmuj się, że obraz, jaki chcemy otrzymać jest równoważny temu, który pojawia się na ekranie podczas rzutowania. Jednak w przypadku, gdy np. ogniskowa nie jest znormalizowana lub występują odchylenia w trakcie rzutowania (robienia zdjęcia), należy uwzględnić to w postaci macierzy kalibracji. [M.Pollefeys, „Visual 3D Modelling from Images”]

px i py oznaczają oznaczają wysokość i szerokość piksela na obrazie, c = (cx, cy, 1)T odpowiada położeniu osi rzutu na ekranie, f jest ogniskową,  odchyleniem obrazu od pionu, xR i yR współrzędnymi rzutu na ekranie, a x i y współrzędnymi obrazu. Poprzednie równanie możemy zapisać w następującej postaci (gdzie zazwyczaj s, cx, cy są zerami) [M.Pollefeys, „Visual 3D Modelling from Images”]

Ruch kamery. Zmianę położenia kamery kontrolujemy z pomocą następującej macierzy (gdzie R oznacza macierz obrotu, a t = [tx, ty, tz]T jest wektorem przesunięcia) (ruch sceny opisany jest macierzą ).

Macierz projekcji. Uwzględniając wcześniejsze spostrzeżenia otrzymujemy macierz projekcji kamery o następującej postaci [M.Pollefeys, „Visual 3D Modelling from Images”]

Geometria epipolarna. Gdy scena jest obserwowana z więcej niż jednego punktu można zauważyć wiele zależności między obrazami tych samych punktów. Umożliwia to odtworzenie sceny na podstawie jej rzutów. Zakładamy, że znana jest pozycja obserwatorów i płaszczyzn rzuowania.

Nawet gdy nie jest znana dokładne położenie punktu M odpowiadającego na obrazie punktowi m, musi on należeć do prostej l wyznaczanej przez m i pozycję obserwatora C. Zatem obraz punktu M względem drugiego obserwatora C’ należy do prostej l’ będącej rzutem l. [M.Pollefeys, „Visual 3D Modelling from Images”]

Przykład. [R.Hartley, A.Zisserman, „Multiple View Geometry”]

Prosta łącząca pozycje obserwatorów C i C’ definiuje pęk zawierających ją płaszczyzn. Każda prosta należąca do którejś z tych płaszczyzn występuje w obu obrazach. Nazywa się to epipolarną odpowiedniością. Rzut każdej takiej prostej zawiera punkt e lub e’ będące przecięciem prostej łączącej C i C’ z odpowiednimi płaszczyznami rzutowymi. Punkty e i e’ nazywamy epipolami. [M.Pollefeys, „Visual 3D Modelling from Images”]

Z pomocą geometrii epipolarnej możemy starać się odtworzyć kształt sceny na podstawie posiadanych obrazów. Ale osiągnięcie zadowalającego efektu wymaga sporego wysiłku. [M.Pollefeys, „Visual 3D Modelling from Images”]

Dziękuję za uwagę.