Rzędy wielkości funkcji Notacja  (g(n)) = {f(n): istnieją stałe c1, c2 i n0 takie, że 0  c1g(n)  f(n)  c2g(n) dla wszystkich n  n0}. Asymptotyczne ogranicza funkcję od góry oraz od dołu. Dla wszystkich n  n0 funkcja f(n) jest równa g(n) z dokładnością do stałego współczynnika; g(n) jest asymptotycznie dokładnym oszacowaniem dla f(n). Niech f(n) = c1 = 1/14, c2 = 1/2, n0 = 7 f(n) = (n2) mamy Dla każdego wielomianu

Rzędy wielkości funkcji Notacja O O(g(n)) = {f(n): istnieją stałe c i n0 takie, że 0  f(n)  cg(n) dla wszystkich n  n0}. Asymptotyczne ogranicza funkcję od góry. To oszacowanie nie musi być dokładnym; na przykład, n = O(n2). Ale też n = O(n). Notacja  (g(n)) = {f(n): istnieją stałe c i n0 takie, że 0  cg(n)  f(n) dla wszystkich n  n0}. Asymptotyczne ogranicza funkcję od dołu. Dla każdych dwóch funkcji f(n) i g(n) zachodzi zależność f(n) = (g(n)) wtedy i tylko wtedy, gdy f(n) = O(g(n)) i f(n) = (g(n)).

Quicksort - sortowanie szybkie Algorytm sortowania szybkiego jest oparty na technice „dziel i zwyciężaj”. Dziel: Tablica A[p…r] jest dzielona na dwie niepuste podtablice A[p…q] i A[q+1…r] takie, że każdy element A[p…q] jest nie większy niż każdy element A[q+1…r]. Zwyciężaj: Dwie podtablice A[p…q] i A[q+1…r] są sortowane za pomocą rekurencyjnych wywołań algorytmu Quicksort. Quicksort(A, p, r) 1 if p < r 2 then q := Partition(A, p, r) 3 Quicksort(A, p, q) 4 Quicksort(A, q+1, r)

Dzielenie tablicy Partition(A, p, r) 1 x := A[p] 2 i := p - 1 3 j := r + 1 4 while True 5 do repeat j := j - 1 6 until A[j]  x 7 repeat i := i + 1 8 until A[i]  x 9 if i < j 10 then zamień A[i]A[j] 11 else return j 5 3 2 8 6 4 1 7 i j 5 3 2 6 8 4 1 3 7 i j 3 3 2 6 8 4 1 5 7 i j 3 3 2 6 8 4 1 5 7 i j 3 3 2 1 4 6 5 7 i j

Czas działania Quicksort Najgorszy przypadek podziałów: (n2) Najlepszy przypadek podziałów: (n lg n) Czas działania w średnim przypadku zbliżony jest do najlepszego: (nlgn) n n n n 1 n-1 n n/2 n/2 n n/4 n/4 n/4 n/4 n n 1 n-2 n-1 n lg n 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n Najlepszy przypadek Najgorszy przypadek (n lg n) (n2)

Probabilistyczna wersja Randomized-Partition(A, p, r) 1 i := Random(p, r) 2 zamień A[p]  A[i] 3 return Partition(A, p, r) Randomized-Quicksort(A, p, r) 1 if p < r 2 then q := Randomized-Partition(A, p, r) 3 Randomized-Quicksort(A, p, q) 3 Randomized-Quicksort(A, q+1, r)