Analiza Informacji Meteorologicznych Wykład 12 Krzysztof Markowicz Instytut Geofizyki UW kmark@igf.fuw.edu.pl

Analiza falkowa Falki zostały wprowadzone w r. 1981 przez francuskiego geofizyka J. Morleta, początkowo jako narzędzie do analizy sejsmogramów, lecz szybko znalazły szersze zastosowania a ich matematyczna teoria w ostatnich latach znacznie się rozwinęła. Warto zauważyć, że pewne ich szczególne postacie były stosowane już wcześniej.

Analiza falkowa Metodę falkową stosujemy w odniesieniu do zespołu zjawisk podobnych co do dynamiki ale o różnych rozmiarach, miejscach lub czasach istnienia. np. komórki konwekcyjne w atmosferze (otwarte lub zamknięte) Załóżmy, że mamy proces postaci: Informacje na jego temat próbujemy uzyskać stosując filtry (w szczególności najprostszy- biegnącej średniej).

Ogólna postać filtrów Jeśli w przebiegu ukryta jest struktura o kształcie podobnym do kształtu filtru, to sygnał odfiltrowany będzie miał dużą wartość Dopierając odpowiednio filtr do poszukiwanego zachowania sygnału możemy dokładnie go określić (wartość oraz lokalizacja). Właśnie w tym celu stosuje się analizy falkowe.

Falki- wavelets To rodzina funkcji jednowymiarowych, całkowalnych z kwadratem. Jeśli chcemy analizować proces zachodzący w czasie, definiujemy zmienną: W zależności od a funkcja falkowa przesuwa się na osi czasu b zaś skaluje kształt falki (parametr rozciągania). Funkcje powinny być unormowane do jedności. Dlatego definiuje się również w postaci:

Dla uproszczenia rozważań, w dalszym ciągu zakładać będziemy, że t, a i b, są liczbami rzeczywistymi, jakkolwiek do zagadnień takich jak w powyższym przykładzie, stosuje się falki uogólnione na funkcje zależne od zmiennych wielowymiarowych. Analiza falkowa stanowi pewne uogólnienie analizy fourierowskiej. W tej ostatniej, sygnał rozkładany jest na sumę lub całkę sygnałów sinusoidalnych, których sens fizyczny jest stosunkowo łatwy do zinterpretowania. Niestety sinusoidy te są jednorodne w czasie, podczas gdy sygnał wyjściowy – niekoniecznie. W szczególności może on mieć postać oscylacji, których amplituda i częstość zmienia się w czasie a ta niejednorodność nie znajduje czytelnego odzwierciedlenia w transformacie. Stosowanie transformacji Fouriera na oddzielnych, skończonych przedziałach osi czasowej, nie zawsze daje zadawalające rezultaty. Falki, posiadające możliwość płynnej zmiany skali i położenia, przy zachowaniu kształtu funkcji dają tu większe możliwości.

Jeśli zastosujemy ten sam filtr zmieniając a i b to zlokalizujemy struktury od podobnym kształcie znajdujące się w różnych miejscach na osi czasu. Funkcje () mogą mieć różne postacie. Na ogół jednak stawia się warunek aby funkcja ta miała wartość średnią równą zero.

Parametry a i b mogą zmieniać się w sposób ciągły, lub mogą tworzyć ciągi dyskretne an, bm (n,m – liczby całkowite). W szczególności można niekiedy tak dobrać funkcję-matkę oraz ciągi an i bm, by an,bm (t) tworzyły bazę ortonormalną na osi t, tzn. by: W tym ostatnim przypadku sygnał f(t) można rozwinąć na podwójny, ortogonalny szereg falek o współczynnikach: których wartość informuje o wkładzie falki o danej skali i lokalizacji w analizowany sygnał. W przypadku a i b ciągłych, wyrażenie: ma charakter transformaty ze zmiennej t na a i b, lub możemy funkcję

w powyższym wzorze interpretować jako jądro jednorodnego filtru liniowego, który z sygnału wydobywa pewną umowną składową o skali b, wskazując jaką amplitudę ma ona w otoczeniu a. Charakter tych składowych jest zdeterminowany przez kształt funkcji-matki i jej wybór powinien być dostosowany do natury badanego sygnału i celu badania.

Przykłady falek Falki Harra to najstarsza struktura falkowa. Jest ona dobrze dopasowana do struktur prostokątnych (zjawisk zachodzących w ściśle określonych obszarach. Taką strukturę ma na przykład pomiar temperatury w chmurze (wewnątrz temperatura jest „jednorodna” a na końcach zachodzą gwałtowne zmiany)

Falki Morleta to funkcje o postaci sinusoid modulowanych funkcjami Gaussa: Fali gaussopodobne- Popularne są również falki generowane przez pochodne funkcji Gaussa np. II pochodna zwana „mexican hat”

Konstrukcja falek równoległych W praktyce zawsze mamy układy dyskretne, rozpatruje się więc falki dla dyskretnych ciągów ai i bj. Parametry można dobrać tak, żeby kolejne falki nie zachodziły na siebie np. funkcje o oscylacjach naprzemiennych o tej samej amplitudzie.

Dyskretny ciąg falek konstruuje się następująco: b reprezentuje skalę, zaś a – lokalizację falki Przykład falka Harra Konstrukcja ciągu ortogonalnego falek polega na przesuwaniu falki zerowej o 1 w miarę jak k przyjmuje kolejne wartości naturalne. Falki są ortogonalne. Widmo falkowe ma postać kresek – pasów o amplitudach odpowiadających skalom komponent i lokalizacjach odpowiadających położeniom. Jako widmo rozumiemy tu strukturę skalową, wkład różnych skal do sygnału.

Analiza fraktalna Analiza fraktalna pozwala na badanie struktur samopodobnych, nakładających się na siebie. Np. chmury konwekcyjne. Pomyśl teorii fraktali wywodzi się z analizy „dziwnych” bytów matematycznych. Chociaż pierwotnym problemem było mierzenie długości granicy morskiej dowolnego kraju. Jest ona różna w zależności od skali. Przykład: Odcinek dzielimy na 3 jednakowe części i składamy z nich trójkąt. Podobnie postępujemy z bokami trójkąta. Ostatecznie otrzymujemy krzywą o nieskończonej długości.

Wymiar Hausdorffa Jak policzyć długość dowolnej krzywy? 1) Tworami charakterystycznymi dla przestrzeni (sferami, prostopadłościanami) pokrywamy zbiór. Uwzględniając pokrycie minimalne, liczymy długość z pomocą elementów kryjących. Powtarzamy operację, posługując się co raz to mniejszymi elementami. Granicę ciągu długości uznajemy za długość krzywej. Zapiszmy to schematycznie Średnice sfer maleją: Liczba sfer mnożona przez ich średnice dążą do długości krzywej

2) Podobnie, możemy postępować dla powierzchni dwuwymiarowej 2) Podobnie, możemy postępować dla powierzchni dwuwymiarowej. Otrzymujemy wtedy: 3) Dla struktur trójwymiarowych Wartości Stanowią o wymiarze w sensie Hausdorffa (wymiarze podobieństwa)

W przypadku linii brzegowej stałe proporcjonalności wiążące N i rk mogą zmieniać się wraz ze skalą. Jednak w granicy zależność ta ma charakter potęgowy. Twory matematyczne dla który wymiar podobieństwa ma wartość ułamkową to fraktale. Przykład: Dywan Sierpińskiego:

Za n-tym podziałem W dywanie podziale jest dokładnie samopodobny. Tak być nie musi. W podziałach mogą wstępować pewnie nieregularności. Do określenia wymiaru ważne jest tylko , by granica istniała i dala się wyznaczyć. W fizyce zależności muszą być niezależne od wyboru jednostek, a więc – jednorodne: (zmiana argumentu powoduje proporcjonalną zmianę funkcji). W przypadku dodatkowego ograniczenia do funkcji różniczkowalnych okazuje się, że możliwe jest wykorzystanie tylko funkcji potęgowych. Struktury samopodobne także są jednorodne. Nie wyrażają się wprost przez zależności potęgowe ale pośrednio widoczny jest tego rodzaju związek.

Wymiar fraktalny przekroju Zależy on od wymiaru struktury. Gdy struktura jest jednorodna, nie jest istotne, w jakiej bierzemy przekrój. Przykład: Pręt Kantora Jest on klasyczna konstrukcją fraktalną. Opiera się na konstrukcji zbioru Kantora, w której dzielmy na 3 części i środkową wycinamy (postępujemy tak z kolejnymi powstającymi w ten sposób odcinkami). Modyfikację stanowi przypisanie odcinkowi pewnej masy i następnie rozdzielenie jej pomiędzy powstające coraz mniejsze odcinki. Powstają w ten sposób punkty o bardzo wysokiej gęstości.

Wymiar korelacyjny Innym przykładem wymiaru jest konstrukcja odwrotna do tych, które analizowaliśmy dotychczas. Weźmy na przykład kółka o promieniu Ro i wypełnijmy nimi okrąg o promieniu R. Liczba kółek mieszczących się w środku: W przypadku kul w przestrzeni trójwymiarowej Nie wszystkie obiekty tego typu musza być regularne Np. obserwowane w skali molekularnej zamarzanie (molekuły wody trafiające na zarodzia zamarzają na niej, jest to proces losowy, w którym powstają „gwiazdki śniegowe”) prowadzi do powstania struktury wybitnie nieregularnej. Jeśli policzyć liczbę elementów o określonym promieniu w otoczeniu tworu, to zależność nie musi być kwadratowa (sześcienna)

Może być inna ale – potęgowa D- wymiar korelacyjny, miara niejednorodności zbioru

Wymiar pudełkowy Konstruujemy go następująco: Bierzemy płaszczyznę ze zbiorem punktów Dzielimy ją na pudełka o rozmiarze liniowym  i liczymy liczbę pudełek N Dokonujemy kolejnych podziałów, przechodząc z  do zera D- wymiar pudełkowy (może być mniejszy od wymiaru przestrzeni) Wymiar pudełkowy i korelacyjny nie muszą być takie same, ale w przypadku tworów prostych są równe wymiarowi przestrzeni a w przypadku skomplikowanych – mniejsze.

Przykład – fraktalny brzeg morza Powierzchnia wyspy jest skończona i minimalna zaś brzeg nie Te zagadnienia są istotne na przykład przy obserwacji chmur. W przypadku zdjęć satelitarnych elementami pokrywającymi są piksele. Jest to charakterystyka, która coś nam mówi o strukturze widmowej (skalowej) w porównaniu z rozdzielczością, w jakiej fotografujemy.