I T P W ZPT 1 Jak smakuje Espresso

I T P W ZPT 2

I T P W ZPT 3...zostało stworzone po to, aby nie obliczać trudnych tablic implikantów prostych Irredundant-Cover...

I T P W ZPT 4 Kostka – n-krotka o składowych 0, 1,, stanowiąca element zbioru {0, 1, } n. K o f a k t o r e m kostki k względem kostki c jest kostka e (oznaczana również k c ) o składowych e i równych:,jeśli k i, c i wynoszą odpowiednio 0,1 lub 1,0 jeśli c i {0,1} k i,jeśli c i = Operacje na zbiorach kostek

I T P W ZPT 5 Obliczanie kofaktora W celu obliczenia kofaktora kostki k względem kostki c: a. obliczyć przecięcie k c i jeżeli k c =, to k c = (jest kostką pustą); b. na j-te pozycje k c wstawić wartość, jeżeli kostka c ma na pozycji c j wartość 0 lub 1, c. na j-te pozycje k c wstawić analogiczne pozycje z k, jeżeli dla tych pozycji c j = Przykład: c = (11 **)

I T P W ZPT 6 Rozkład Shannona j-ta składowa

I T P W ZPT 7 Twierdzenie 2. Funkcja boolowska: jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno podfunkcja f(x j = 0), jak też f(x j = 1) są tautologiami. Twierdzenia o tautologii Twierdzenie 1. Zbiór kostek G pokrywa kostkę c (G c) wtedy i tylko wtedy, gdy kofaktor G względem c jest tautologią.

I T P W ZPT 8 Testy tautologii Test 1. F jest tautologią, jeżeli w macierzy M(F) występuje wiersz ), tj. złożony z samych gwiazdek, gdzie M(F) jest macierzą o wymiarach F n, której każdy wiersz jest kostką k F. Test 2. F nie jest tautologią, jeżeli w macierzy M(F) występuje kolumna samych zer albo samych jedynek.

I T P W ZPT 9 Testy tautologii Test 3. Niech w i oznacza liczbę mintermów pokrywanych przez k i F (w i =, gdzie l i jest liczbą gwiazdek w wierszu k i macierzy M(F)). Jeżeli to F nie jest tautologią.

I T P W ZPT 10 Przykład sprawdzania tautologii Testy T. zawodzą, dlatego liczymy kofaktory G 1 nie jest tautologią (test 3) G 2 jest tautologią (test 1) G nie jest tautologią (Tw. 2) Czy G jest tautologią?

I T P W ZPT 11 Przykład sprawdzania tautologii... Rozkład na kofaktory zwiększa możliwość zastosowania testów T G 4 nie jest tautologią (test 2)

I T P W ZPT 12 Expand Irredundant-Cover Reduce Last-gasp F,D F M Complement Dalej przez F E będziemy oznaczali zbiór kostek uzyskany w procedurze ekspansji FEFE

I T P W ZPT 13 Klasyfikacja kostek Kostkę k F E nazywamy względnie zasadniczą wtedy i tylko wtedy, gdy: {F E + D – {k}} k. R E Kostkę k R nazywamy b e z w z g l ę d n i e n a d m i a r o w ą wtedy i tylko wtedy, gdy E D k. Każda kostka k która nie jest bezwzględnie nadmiarowa, jest kostką w z g l ę d n i e n a d m i a r o w ą. R p. Zbiór kostek względnie nadmiarowych oznaczamy R p. R R N R p ER F N = E R N

I T P W ZPT 14 Klasyfikacja kostek k jest zasadnicza, jeśli (F E + D – {k}) k nie jest tautologią, E k jest bezwzględnie nadmiarowa, jeśli (E + D) k jest tautologią, E k jest względnie nadmiarowa, jeśli (E + D) k nie jest tautologią. Według twierdzenia 1... (zbiór F pokrywa kostkę k wtedy i tylko wtedy, gdy (F) k jest tautologią).

I T P W ZPT 15 Nieredundancyjne pokrycie F N dla F E E Obliczyć zbiór E (kostek względnie zasadniczych) Wszystkie pozostałe, czyli F E – E tworzą zbiór R (uwaga F E oznacza wynik ekspansji) R t Obliczyć zbiór R t (kostek bezwzględnie nadmiarowych) Wszystkie pozostałe, czyli R – R t tworzą zbiór R p (kostek względnie nadmiarowych)

I T P W ZPT 16 1)001 2)10 1 3) ) F E uzyskanego z funkcji F za pomocą Dla zbioru F E uzyskanego z funkcji F za pomocą nie najskuteczniej działającej procedury Expand należy nie najskuteczniej działającej procedury Expand należy obliczyć E, R t, R p Przykład FE FEFE FE Smak Espresso: Cechą charakterystyczną tych obliczeń jest całkowite pominięcie tablicy implikantów prostych

I T P W ZPT 17 1)001 2)10 1 3) ) (F E – {k 1 }) = { 1, 0 } jest tautologią Przykład…czy k 1 jest wzgl. zasadnicza Czyli k 1 nie jest zasadnicza F E: Zbiór F E: Usuwamy k 1 oraz prostopadłe do k 1

I T P W ZPT 18 1)001 2)10 1 3) ) Usuwamy k 5 = Niestety ocena według testów tautologii jest niemożliwa. Czy to jest tautologia? (F E – {k 5 }) = Przykład…czy k 5 jest wzgl. zasadnicza

I T P W ZPT 19 Rozkład względem zmiennej x 2 : a więc k 5 jest kostką zasadniczą M 0 2 x1 MM 1 2 x2 MM Przykład…czy k 5 jest wzgl. zasadnicza Tautologia Nie Wg Twierdzenia 2 M nie jest tautologią,...

I T P W ZPT 20 Obliczanie zbioru R P R = {k 1, k 2, k 3, k 4 } E Ostatecznie: E = {k 5, k 6, k 7 } E: Czy (E) jest tautologią Czy k 1 = 001 jest bezwzględnie, czy względnie nadmiarowa E = 0 nie jest tautologią Czyli k 1 jest kostką względnie nadmiarową Ostatecznie zbiór R p = {k 1, k 2, k 3, k 4 }

I T P W ZPT 21 Redukcja zbiooru R p Rp Rp = {k 1, k 2, k 3, k 4 } ER RER Po obliczeniu zbiorów E i R p dokonuje się rozkładu kofaktorów (R p E) k, gdzie k R p. R Celem jest znalezienie takich S R p, dla których RE (R p – S) k E k nie jest tautologią.

I T P W ZPT 22 Obliczanie zbiorów S R W celu obliczenia S dla danej k (R p ) należy: RE 1) wyznaczyć A = (R p ) k, B = E k 2) Obliczać kofaktory zbiorów A i B względem zmiennych (lub ich negacji – co symbolizuje kropka nad x) tak długo, aż zbiory: będą takie, że A będzie macierzą złożoną z samych gwiazdek, natomiast B nie będzie tautologią. Wtedy S będzie reprezentowany numerami wierszy macierzy A.

I T P W ZPT 23 Redukcja zbioru R p RE Obliczenia dla k 1 (A = (R p ) k, B = E k ) Zbiór R Zbiór R p : 1) 001 2) ) ) 011 Zbiór E: 0 10 A A: 1) 4) 1 B B: 0 A A : 1) 4) 1 B B = A A : 1) B B = Czyli S 1 = { k 1, k 4 } Skoro B Skoro B jest tautologią, to S =

I T P W ZPT 24 Redukcja zbioru R p Wynik: S 1 = { k 1, k 4 }, S 2 = {k 2, k 4 }, S 3 = {k 2, k 3 } Pokrycia minimalne R N : { k 2, k 4 }, {k 1, k 2 }, {k 3, k 4 } Stąd trzy równoważne rozwiązania dla F N : 1){k 5, k 6, k 7, k 2, k 4 } 2){k 5, k 6, k 7, k 1, k 2 } 3){k 5, k 6, k 7, k 3, k 4 }

I T P W ZPT 25 Literatura