Numeryczne obliczanie całki oznaczonej METODA MONTE CARLO Numeryczne obliczanie całki oznaczonej

Spis treści Rys historyczny Metoda Igły Buffona Objaśnienie metody MC Algorytm metody Monte Wady i zalety MC Prezentacja zastosowania

Rys historyczny G. Buffon - 1777r. Prawdopodobnie jednym z najwcześniejszych udokumentowanym użycie próbkowania losowego do obliczenia wielkośći nielosowej była „metoda igły”, która polegała na rzuceniu igły na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi prostymi. M. Laplace – 1886r. – wyznaczenie wartości liczby przy pomocy metody Buffona. Lord Kelvin – 1901r. – obliczanie pewnych całek w kinetycznej teorii gazów przy użyciu próbkowania losowego.

Rys historyczny cd. W. S. Gosset – 1908r. – podobne losowanie pomogło mu w odkryciu rozkładu współczynnika korelacji oraz potwierdzeniu rozkładu t-Studenta. E. Fermi – ok.1930r. – eksperymenty losowania numerycznego dotyczące dyfuzji i transportu neutronów w reaktorach jądrowych (skonstruował FERMIAC – mechaniczne urządzenie losujące). •J. von Neumann, S. Ulam, N. Metropolis, R. Feynman i in. –ok. 1940r. – pierwsze na dużą skalę rachunki oparte o użycie liczb losowych; dotyczyły rozpraszania i absorpcji neutronów w ramach projektu ,,Manhattan”. Nazwa ,,Monte Carlo” została wymyślona jako kryptonim dla tego typu rachunków i odpowiednich metod matematycznych.

Metoda igły Buffona W statystyce matematycznej, Igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie . Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

Metoda igły Buffon cd. Igłę o długości l rzucamy losowo na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi liniami prostymi o odstępie L (L ≥ l). Jeżeli rzucona igła przetnie linię, to liczymy ,,trafienie”, w przeciwnym wypadku liczymy ,,chybienie”. Przez zliczanie trafień i chybień wyznaczyć wartość liczby π.

Obliczanie całki za pomocą metody MC Niech X1,X2, . . .Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [a,b] oraz niech f będzie funkcja rzeczywista taka, ze Ef(X1) istnieje i jest skończona. Przy powyższych założeniach f(X1), f(X2), . . . f(Xn) jest także ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, przy czym istnieje wartość oczekiwana i jest skończona Z Mocnego Prawa Wielkich Liczb Kołmogorowa mamy:

Algorytm obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej Możemy zatem do obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej zastosować następujący algorytm: I losujemy niezależnie liczby u1, u2, . . . , un z rozkładu jednostajnego U[0, 1]; II przekształcamy dla k = 1, 2,...,n otrzymując w ten sposób próbkę z rozkładu U(a,b); III jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy

Wady i zalety metody MC Zalety możliwość obliczenia złożonych całek, gdy bardziej niż precyzja liczy się szybkość rosnąca moc obliczeniowa komputerów prosta forma zastąpienia rozwiązań analitycznych Wady eksperyment dla skończonej liczby prób wyniki zależą od generatora liczb pseudolosowych

Autorzy Piotr Szczepański Piotr Sobczak Radosław Misiuk Michał Cieślak Piotr Lemański Wojciech Fabiańczuk