Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Seminarium DUZ (8 października 2007r)

Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych 1 / 17 Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych Metody wyszukiwania w sieci Strategie efektywnego routingu Autorzy, którzy zajmowali się tymi zagadnieniami: Adamic & Humerman, Tadic & Rodgers & Thurner, Kim et al. Germano & Moura, Redner et al., Havlin & Stanley et al., Holme et al., Rosvall & Sneppen, Motter et al., Bianconi & Marsili, Goh et al., W.-X. Wang et al., Phys. Rev. E 73, 026111 (2006) (…) W większości przypadków w podstaw tych zagadnień leży proces błądzenia przypadkowego. Sieci telekomunikacyjne, np. Internet Sieci transportowe, np. sieci połączeń lotniczych Sieci społeczne

Ruch pakietów w sieci złożonej 2 / 17 Ruch pakietów w sieci złożonej Model ruchu pakietów w sieci złożonej W każdym kroku czasowym w sieci generowanych jest R pakietów. Każdemu pakietowi losowo przypisywany jest węzeł-nadawca oraz węzeł-odbiorca. W kolejnych krokach czasowych pakiety poruszają się po sieci w poszukiwaniu swoich węzłów-odbiorców. Gdy pakiet dociera do miejsca swego przeznaczenia jest usuwany z sieci. Ruch pakietów po sieci odpowiada preferencyjnemu błądzeniu przypadkowemu z cyklicznym przeszukiwaniem. Wszystkie węzły w sieci mają ograniczoną szybkość pracy tj. w jednym kroku czasowym potrafią przesłać dalej co najwyżej C pakietów. Na węzłach obowiązuje kolejka FIFO o nieograniczonej długości. preferencyjne błądzenie przypadkowe: prawdopodobieństwo przejścia między węzłami i oraz j przeszukiwanie cykliczne: każdy węzeł zna swoje najbliższe otoczenie do głębokości x. Traffic dynamics based on local routing protocol on a scale-free network W.X. Wang et al.,, Phys. Rev. E 73, 026111 (2006)

Przejście fazowe ze stanu swobodnego przepływu do stanu przepełnienia 3 / 17 Przejście fazowe ze stanu swobodnego przepływu do stanu przepełnienia Podstawowa obserwacja Dla pewnej wartości parametru RC(), w sieci obserwujemy ciągłe przejście fazowe ze stanu cechującego swobodny przepływ pakietów do stanu, w którym sieć jest przepełniona. Free Flow  Traffic Jam Parametr porządku tego przejścia fazowego Gdzie zmiana liczby pakietów w sieci, przy czym <…> oznacza uśrednienie po różnych oknach czasowych . Phys. Rev. Lett. 86, 3196 (2001).

Faza przepełnienia Faza swobodnego przepływu 4 / 17 Faza przepełnienia Faza swobodnego przepływu W stanie przepełnienia: liczba pakietów w sieci rośnie liniowo w czasie. Stan swobodnego przepływu: średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k

Krytyczna wartość tempa generacji pakietów RC() 5 / 17 Krytyczna wartość tempa generacji pakietów RC() Zwykłe błądzenie przypadkowe – najefektywniejsze!? Strategia antypreferencyjna – najefektywniejsza !?

Błądzenie przypadkowe z dryftem – Biased random walks 6 / 17 Błądzenie przypadkowe z dryftem – Biased random walks x x+1 x+2 x+4 x+5 x-4 x-3 x-2 x-1 p q=1-p prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w pozycji x po N krokach czasowych; warunek początkowy; Równanie Master: Rozwiązanie równania: rozkład dwumianowy w granicy długich czasów – rozkład normalny

Błądzenie przypadkowe w wielowymiarowych sieciach regularnych 7 / 17 Błądzenie przypadkowe w wielowymiarowych sieciach regularnych Polya, 1921 Random walk in dimensions 1 and 2 is recurrent, while in dimension 3 and above it is transient. Błądzenie przypadkowe na łańcuchu węzłów (d=1) i na sieci kwadratowej (d=2) ma charakter rekurencyjny. Prawdopodobieństwo, że cząstka kiedyś powróci do punktu z którego wyszła, jest równe 1. W przypadku sieci kwadratowej czas powrotu =. Proces stochastyczny ze stanami powtarzającymi się Dla d3 błądzenie przypadkowe ma charakter przejściowy. Prawdopodobieństwo powrotu <1. Proces stochastyczny ze stanami chwilowymi.

Błądzenie przypadkowe na sieciach złożonych 8 / 17 Błądzenie przypadkowe na sieciach złożonych Prawdopodobieństwo przejścia cząstki z węzła i do węzła j (transition probability) J.D. Noh, H. Reiger, Random walks on complex networks Phys. Rev. Lett. 92, 118701 (2004) Prawdopodobieństwo, że w czasie t   cząstka będzie się znajdowała w węźle i o stopniu ki (stationary occupation probability) j i Idea centralności węzłów: różnica czasów przejścia miedzy węzłami i oraz j gdzie Ci – tzw. random walk centrality

węzeł j + jego najbliższe otoczenie 9 / 17 Błądzenie przypadkowe z dryftem na sieciach złożonych Biased random walks on complex networks A.Fronczak, P. Fronczak Biased random walks on complex networks: the role of local navigation rules arxiv:0709.2231 (wrzesień 2007) x=1 Lokalne reguły rozważane przy błądzeniu przypadkowym: j 1. preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia z węzła i do węzła j 2. przeszukiwanie cykliczne (cyclic search): jeśli węzeł docelowy cząstki został znaleziony w odległości x=1,2,… od węzła, w którym cząstka aktualnie przebywa, wtedy w następnych krokach czasowych cząstka zmierza bezpośrednio do miejsca przeznaczenia. węzeł docelowy cząstka błądząca po sieci węzeł j + jego najbliższe otoczenie

Stacjonarne prawdopodobieństwo obsadzenia węzłów 10 / 17 Stacjonarne prawdopodobieństwo obsadzenia węzłów Równanie Master: prawdopodobieństwo, że cząstka, która wyruszyła w czasie t=0 z węzła i, w czasie t będzie przebywała w węźle j Stosując przybliżenie średniego pola do równania Master oraz zakładając brak korelacji międzywęzłowych w sieciach dostajemy

Zagadnienie pierwszego przejścia First-passage processes 11 / 17 Zagadnienie pierwszego przejścia First-passage processes Prawdopodobieństwo pierwszego-przejścia tj. prawdopodobieństwo, że cząstka, która rozpoczyna błądzenie po sieci od węzła i po raz pierwszy trafi do węzła j w chwili t Stosując transformatę Laplace’a do powyższego równania dostajemy znaną zależność (♠) i rozwijając (♠) w szereg potęgowy otrzymujemy wzory opisujące średnie czasy pierwszego przejścia błądzącej cząstki z węzła i do węzła j Następnie podstawiając do zależności (♠) poniższe wyrażenie gdzie

Średnie czasy pierwszego powrotu 12 / 17 Średnie czasy pierwszego powrotu Uśrednione po wszystkich węzłach czasy pierwszego powrotu są najkrótsze przy strategii =-1. Oznacza to, że ta strategia skutkuje najwolniejszą eksploracją sieci!

Średnie czasy pierwszego przejścia między węzłami sieci 13 / 17 Średnie czasy pierwszego przejścia między węzłami sieci

Przeszukiwanie cykliczne 14 / 17 Przeszukiwanie cykliczne węzeł docelowy cząstka błądząca po sieci węzeł j + jego najbliższe otoczenie x=1 gdzie reprezentuje średni stopień najbliższego sąsiada, natomiast x jest parametrem przeszukiwania cyklicznego Stopień znormalizowanego węzła J j J Średni czas pierwszego przejścia z węzła i do węzła j przy cyklicznym przeszukiwaniu, jest równy gdzie odpowiednie parametry TiJ RiJ RJJ odnoszą się do sieci, w której węzeł j wraz z jego najbliższym x-otoczeniem zastąpiono znormalizowanym węzłem J o stopniu kJ  znormalizowany węzeł J

Ruch pakietów w sieci złożonej – założenie o niezależności pakietów 15 / 17 Ruch pakietów w sieci złożonej – założenie o niezależności pakietów Założenie: W stanie swobodnego przepływu pakiety w sieci można traktować jak niezależne cząstki. Fig. Stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa obsadzenia węzła przez cząstkę błądzącą przypadkowo wg strategii . Fig. Średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k

Oszacowanie krytycznej wartości tempa generacji pakietów RC() 16 / 17 Oszacowanie krytycznej wartości tempa generacji pakietów RC() Niech: średni czas pierwszego przejścia z węzła i do j przy zadanej strategii. Wtedy: średnia liczba pakietów w sieci w każdym kroku czasowym przy założeniu, że pakiety są niezależne Krytyczna wartość tempa generacji pakietów: Sieć zaczyna się zapychać wtedy, gdy liczba pakietów na dowolnym węźle sieci przekracza jego zdolność przetwórczą C dla >-1 zapychają się węzły duże dla <-1 zapychają się węzły małe dla =-1 wszystkie węzły mają jednakowe prawdopodobieństwo zapchania

To już koniec ! Podsumowanie 17 / 17 To już koniec ! Podsumowanie Wykonaliśly analizę błądzenia przypadkowego w sieciach złożonych; Rozważaliśmy następujące lokalne reguły nawigacji: * preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia * przeszukiwanie cykliczne; Pokazaliśmy, że w stanie swobodnego przepływu pakietów w sieciach łożonych pakiety można traktować jak cząstki nie oddziałujące ze sobą; Podejście niezależnych cząstek umożliwiło nam wyznaczenie krytycznej wartości tempa generacji pakietów;  Rozliczyliśmy grant MiNI !?