SYSTEMY LICZBOWE

SYSTEM DWÓJKOWY Systemem liczbowym stosowanym w technice cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system liczbowy o podstawie 2. Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości istnienia dwóch stanów, które można interpretować jako dwie różne cyfry. W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz dwóch cyfr: 0 i 1. Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23), itd.

Wartości dziesiętne wybranych liczb zapisanych w systemie dwójkowym: Zapis w systemie dwójkowym Wartość w systemie dziesiętnym 1 20 = 1 0,1 2-1 =0,5 10 21 = 2 0,01 2-2 =0,25 100 22 = 4 0,001 2-3 =0,125 1000 23 = 8 0,0001 2-4 =0,0625 10000 24 = 16 0,00001 2-5 =0,03125 100000 25 = 32 0,000001 2-6 =0,015625 1000000 26 = 64 0,0000001 2-7 =0,0078125 10000000 27 = 128 0,00000001 2-8 =0,00390625 100000000 28 = 256 0,000000001 2-9 =0,001953125 1000000000 29 = 512 0,0000000001 2-10 =0,0009765625 10000000000 210 = 1024 0,00000000001 2-11 =0,00048828125

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny. W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system dwójkowy:

Wzór ogólny liczby naturalnej zapisanej w systemie binarnym gdzie: k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej), bk to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu binarnego, bk є {0, 1}

Zamiana ułamka dziesiętnego na binarny:

SYSTEMY: ÓSEMKOWY I SZESNASTKOWY

SYSTEM ÓSEMKOWY Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr: 0 1 2 3 4 5 6 7

SYSTEM ÓSEMKOWY Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23. Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest trzykrotnie.

SYSTEM ÓSEMKOWY

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F SYSTEM SZESNASTKOWY W tym systemie mamy szesnaście cyfr: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Symbolom literowym odpowiadają wartości dziesiętne: A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15

SYSTEM SZESNASTKOWY Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis binarny czterokrotnie.

Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny) Dec – system dziesiątkowy (decymalny) Oct – system ósemkowy (oktalny) Bin – system dwójkowy (binarny)

Wzór na wartość n-cyfrowej liczby całkowitej zapisanej w dowolnym systemie liczbowym: gdzie: k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej), ck to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu, ck є {0, 1, …, r – 1}

Działania arytmetyczne w różnych systemach liczbowych Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w różnych systemach liczbowych są takie same jak w znanym Ci systemie dziesiętnym. Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb. Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.

Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie dwójkowym i czwórkowym Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych. System dwójkowy System czwórkowy Dalej

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych. DODAWANIE MNOŻENIE + 1 × 1 1 1 1 10 1 1 System czwórkowy

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych. DODAWANIE MNOŻENIE + 1 2 3 × 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 10 1 1 2 3 2 2 3 10 11 2 2 10 12 3 3 10 11 12 3 3 12 21 System dwójkowy

Znasz już sposób postępowania przy zamianie liczby z układu dziesiętnego np. na układ ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez 8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności. 11000101001010111010010110111000011010110111 Na następnym slajdzie podany jest inny sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania działań arytmetycznych w różnych systemach.

Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę 835(10) w systemie ósemkowym Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym: 8(10) =10(8) Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr – wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku: 83(10) =8(10) ·10(10) +3(10) =10(8) ·12(8) +3(8) =120(8) +3(8) =123(8) Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z trzech kolejnych cyfr: 835(10) =?(8) 835(10) =83(10) ·10(10) + 5(10) =123(8) ·12(8) + 5(8) =1476(8) + 5(8) =1503(8) W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.