Projekt ,,Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEBSIEBIORCZOSCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT” !!! Jest współfinansowany przez Unię Europejską W ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

INFORMACJE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im. Powstańców Wielkopolskich w Wolsztynie ID grupy: 98/4_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr/rok szkolny: semestr V, rok szkolny 2011/2012

Skład naszej grupy: Agnieszka Sworowska Agnieszka Dudziak Justyna Żok Eliza Piechocka Natalia Stephan Łukasz Twardogórski Jan Makowski Filip Bugaj Daniel Kromski Mateusz Plura Jędrzej Wojciechowski

Legenda: 1.Zadania tematu projektowego. 2. Ciekawostki i anegdoty o potęgach. 3. Własności potęg. 4. Przykłady roślin, zwierząt, części materii z określonymi rozmiarami. 5. Przykładowe zadania na potęgach. 6. Systemy liczbowe.

Prezentacja zawiera: Przykłady obliczeń na liczbach małych i dużych. Przykłady roślin, zwierząt, części materii z określonymi rozmiarami, masą oraz przekształcenia postaci zapisu w celu porównania odpowiednich wielkości. Zadania dotyczące działań na potęgach. Zasady systemu rzymskiego i systemów nieaddytowych (system dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy).

Prezentacja zawiera : Przykłady zapisywania liczb, konwersji i wykonywania działań w systemach pozycyjnych (system dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy ) Informacje o zastosowaniu systemów niedziesiątkowych w informatyce Anegdoty, ciekawostki, opowiadania historyczne

Ciekawostki i anegdoty o potęgach

Sztuczka z odczytywaniem myśli: Pomyśl dowolną liczbę naturalna (ale nie za wielką).

Sztuczka z odczytywaniem myśli: Podnieś tę liczbę do kwadratu. Dodaj wynik do pomyślanej liczby. Podziel rezultat przez liczbę pomyślaną. Dodaj do wyniku-powiedzmy-17. Odejmij pomyślaną przez siebie na początku liczbę. Wynik podziel przez 6.

Sztuczka z odczytywaniem myśli: Otrzymałeś

Ciekawe własności liczby 11 i kwadratów liczb „jedynkowych” 111=11 1+1=2 112=121 1+2+1=22 113=1331 1+3+3+1=23 114=14641 1+4+6+4+1=24   11*111=1221 111*11111=1233321

Oraz ciekawe własności kwadratów liczb „jedynkowych” 1111*1111111 = 1234444321 1111111112 = 12345678987654321 111111112 = 123456787654321 11111112 = 1234567654321 1111112 = 12345654321 111112 = 123454321 11112 = 1234321 1112 = 12321 112 = 121 12 = 1

Potęgi Symbol potęgi wprowadzono po to, aby skrócić zapis mnożenia tych samych czynników lub żeby móc przedstawić w krótkiej postaci duże liczby. an = b an - n-ta potęga liczby a, n - wykładnik potęgi, a - podstawa potęgi, b - wynik potęgowania (potęga).

Własności potęg Dzielenie potęg o tych samych podstawach Mnożenie potęg o tych samych podstawach Potęgowanie potęgi

Własności potęg Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach Dzielenie potęg o tych samych wykładnikach Potęga o wykładniku ujemnym dla                    .

Przykłady roślin, zwierząt z określonymi rozmiarami oraz przekształcenia postaci zapisu w celu porównywania wielkości

Motyl Masa ciała 25g 2,5 * 10-3 kg 2,5 * 101 dag 2,5 * 10-5 tony

Pszczoła Długość ciała 19 mm 1,9 * 10-2 m 1,9 * 10-5 km

Pasikonik zielony Długość ciała 40 mm 4 * 10-2 m 4 * 10-5 km

Biedronka Długość ciała 6 mm 6 * 10-3 m 6 * 10-6 km

Mnożenie potęg o jednakowych podstawach 5 2 ∙ 5 17 = 5 2+17 = 5 19 (-9) 4 ∙ (-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13 5 -20 ∙ 5 20 = 5 -20+20 = 5 0 = 1

Dzielenie potęg o jednakowych podstawach 5 17 : 5 2 = 5 17-2 = 5 15 5 -20 : 5 20 = 5 -20-20 = 5 -40 (-3) 7 / (-3) 4 = (-3) 7-4 = (-3) 3 = -27

Potęga potęgi (5 5) 5 = 5 5∙5 = 5 25 (5 -1) 2 = 5 -1∙2 = 5 -2 = 1/25

Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach 3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2 = 36 5 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2 = 1/100 = 0.01  100 57 ∙ 0.01 57 = (100∙0.01) 57 = 1 57 = 1

Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach 4 2 : 2 2 = (4:2) 2 = 2 2 = 4 2 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 2 2 = 4  100 5 : 0.01 5 = (100:0.01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 10 20

Zadanie o owadach Szacuje się, że na świecie żyje około 1018 owadów. Ludzi na świecie jest około 6.6 miliardów. Zakładają, że przeciętny owad wazy 0,1g, a przeciętny człowiek 50 kg. Oblicz: a) Czy wszystkie owady razem ważą więcej niż wszyscy ludzie? b) Ile kilogramów owadów przypada średnio na jednego człowieka ?

Rozwiązanie Masa człowieka 50 kg=50000 g masa wszystkich ludzi a) 50000g*6,6 mld =3,3*1012 g masa wszystkich owadów 0,1*1018 g = 1017 g Odpowiedz: Wszystkie owady ważą więcej niż wszyscy ludzie. 28

Rozwiązanie b) 1018 ×0,1 g=1017g=1014kg-owady 6,6 mld=6,6×109-ludzie 1014kg: 6,6×109kg=1,5×104 kg=15000 kg Odp. Na jednego człowieka przypada średnio 15000 kg owadów.

System liczbowy dzielimy na: System liczbowy – zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. System liczbowy dzielimy na: - addytywny - pozycyjny

System pozycyjny W systemie pozycyjnym wartość cyfry zależy od jej pozycji względem innych. Przedstawić można ją jako odpowiednią ilość potęg liczby, która jest podstawą systemu. Jeśli więc mamy liczbę ABCD zapisaną w systemie o podstawie e. To liczbę możemy zapisać następująco: A x e3 + B x e2 + C x e1 + D x e0 = ABCD

System dziesiętny Najpopularniejszy system jest dziesiętny zwany też decymalnym lub arabskim. Jako cyfr używa się w nim liczb : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 7 , 8 i 9. W systemie tym liczby przedstawiane są w postaci potęg liczby 10. System ten został wymyślony przez Hindusów jednak do Europy trafił za pośrednictwem Arabów. Na starym kontynencie został oficjalnie wprowadzony w XVI wieku, zastępując mniej wydajny system rzymski.

System dwójkowy Drugim najczęściej używanym systemem liczbowym jest, choć często nie zdajemy sobie z tego sprawy, system binarny, czy prościej mówiąc dwójkowy. Jego podstawą jest liczba 2 czyli używane w nim cyfry to: 0 i 1. Cyfry te przyjmują wartość potęgi dwójki odpowiedniej do swej pozycji.

System ten jest używany w komputerach na całym świecie z uwagi na małą różnorodność jego cyfr. Dwa możliwe znaki do zapisania oznaczają dwa konkretne i jednoznaczne komunikaty, Prąd płynie(1) i Prąd nie płynie (0).

System dwójkowy System binarny, inaczej zwany dwójkowym (niekiedy zero jedynkowym). Występują tu tylko dwie wartości 0 oraz 1. Pierwsza liczba w naszym systemie to 0 (zero). W systemie dwójkowym, liczba ta również jest równa 0, gdyż istnieje tam taka cyfra. Kolejna liczba to 1 (jeden). W systemie dwójkowym, również taka cyfra istnieje, więc zapisujemy 1.

System dwójkowy Kolejna liczba to 2 (dwa). Wiemy, że nie istnieje tam taka cyfra, więc dodajemy kolejną pozycję, a pozycję wysuniętą na prawo, zerujemy. Zatem liczba 2 w systemie dziesiętnym ma postać „10” w systemie dwójkowym. Kolejne liczby w systemie dziesiętnym to: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. W systemie dwójkowym wyglądają one odpowiednio: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

System binarny System dziesiątkowy System binarny 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 Np.: 20010= 1*27+1*26+0*25+0*24+1*23+0*22+0*21+0*20 20010 = 110010002

System ósemkowy W systemie tym jest osiem cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz 7. Jest ich, więc 8, stąd nazwa. Działa on na tej samej zasadzie, co system dziesiętny. To znaczy, że gdy już jakaś cyfra jest na maksymalnej wartości, zwiększamy cyfrę na następnej pozycji. Wyjaśni to się na przykładzie. Przekształcajmy kolejne liczby i zobaczmy, jakie są różnice. Liczba zero (0) tak samo wygląda w obu systemach. Tak samo ma się sytuacja z jedynką (1), dwójką (2), trójką (3) itd…

System ósemkowy Sytuacja staje się skomplikowana, gdy dojedziemy do siódemki (7). Liczba 7 wygląda tak samo w obu systemach. Jednak nadchodzi następna liczba, zwana przez nas jako osiem. System ósemkowy nie zna takiej cyfry, więc powstaje następna pozycja. Zatem liczba osiem (8) w systemie dziesiętnym to liczba dziesięć (10) w systemie ósemkowym. System ósemkowy spełnia on pomocniczą rolę w informatyce skracając długość zapisu dwójkowego

System ósemkowy Gdybyśmy chcieli sprawdzić, czy rzeczywiście liczba na przykład 14 w systemie ósemkowym to 12 w dziesiętnym, musimy przeprowadzić konwersję. Dokonuje tego tak, jak robiliśmy to w akapicie o systemie dziesiętnym, z tym, że podstawą mnożenia będzie liczba 8. Zatem, rozpisujemy liczbę 14 (s. ósemkowy) w następujący sposób. Jest to 4*1 + 1*8, czyli 4+8 czyli 12.

System ósemkowy System dziesiętkowy System ósemkowy 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 11

System szesnastkowy Innym popularnym sposobem zapisywania liczb, również używanym w komputerach jest system szesnastkowy, znany pod inną nazwą jako hexogonalny. System ten stasuje się w zapisywaniu nazw kolorów umieszczanych na stronach sieci Web. W systemie tym cyfry stanowią nie tylko liczby od 0 do 9 ale też pierwsze litery alfabetu łacińskiego, czyli w tym wypadku litery: A , B , C , D , E , F.

System szesnastkowy Aby odróżnić liczbę zapisana w systemie hexagonalnym zaczynającą się na litery alfabetu, poprzedza się ja znakiem 0 nie mającym znaczenia pozycyjnego w liczbie, zaś na końcu takiej liczby stawiamy znak h oznaczający system liczbowy.

System szesnastkowy System szesnastkowy jest systemem pozycyjnym wykorzystującym do zapisu liczb cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Charakteryzuje się on najkrótszym zapisem liczb spośród wszystkich systemów. Przykładowo każdą ośmiobitową wartość można zapisać na dwóch pozycjach. 45

System szesnastkowy Ponadto wartością szesnastkową łatwiej jest operować i pochłania mniej pamięci. W informatyce system szesnastkowy wykorzystywany jest na przykład do adresowania komórek pamięci przez urządzenia lub do kodowania kolorów użytych na stronach internetowych. Dlatego właśnie jest on tak przydatny. Jak sama nazwa wskazuje, podstawą tego systemu jest liczba 16.

Wszystkie wyżej wspomniane systemy liczbowe są pozycyjnie, tzn Wszystkie wyżej wspomniane systemy liczbowe są pozycyjnie, tzn. wartość cyfry zależy od jej pozycji względem innych.

System addytywny Jednak jest jeszcze innym sposób liczenia, zwany systemem addytywnym. Jego prostota jest zadziwiająca ale i zgubna. Polega on na zliczaniu sumy wszystkich cyfr, niezależnie od pozycji w liczbie. Doskonałym przykładem może być prawdopodobnie najstarszy system liczenia, zwany jedynkowym.

Używana w nim jest tylko cyfra 1 lub jakikolwiek inny znak o wartości umownej 1. Wartość liczby otrzymujemy zliczając ilość znaków w liczbie. Jest to system prosty, lecz używany dziś już tylko w małych wioskach na neolitycznym poziomie cywilizacyjnym.

Ludzie używający tego systemu nie zapisują liczb prawdopodobnie większych od 100 więc jest to dla nich wygodne. Jednak nasza cywilizacja nie mogłaby się nim posługiwać, ponieważ zapis liczb stosunkowo małych jak np. 100 był by dla nas dużym problemem.

SYSTEM ADDYTYWNY (NIEPOZYCYJNY) Systemy niepozycyjne (addytywne) – wartość liczbowa układu znaków jest równa sumie wartości poszczególnych znaków. W tym systemie nie jest ważna kolejność występowania znaków.

SYSTEM ADDYTYWNY (NIEPOZYCYJNY) Najpopularniejszym systemem addytywnym jest: - system arabski którego używamy na co dzień i wykorzystuje on symbole 1,2,3,4,5,6, ... - system egipski - system rzymski  - system grecki

Podsumowanie: Potęgi są fascynującą dziedziną matematyki. Lepiej poznaliśmy systemy liczbowe. Pracowaliśmy z notacją wykładniczą. Poznaliśmy ciekawostki dotyczące potęg.

Lireratura: www.wikipedia.pl www.zadane.pl www.google.pl www.kompetencje.gimnazja.eduportal.pl www.zadane.info

Projekt ,,Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEBSIEBIORCZOSCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT” !!! Jest współfinansowany przez Unię Europejską W ramach Europejskiego Funduszu Społecznego