ENERGETYCZNA METODA MODELOWANIA MECHANICZNYCH WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW TADEUSZ WEGNER Politechnika Poznańska Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji

Literatura Wegner T., Metody energetyczne w wytrzymałości materiałów, Hipoteza wytrzymałościowa stateczności równowagi wewnętrznej. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 81 stron, Poznań 1999. Wegner T., Surface of limit state in nonlinear material and its relation with plasticity condition. The Archive of Mechanical Engineering, Vol. XLVII, Number 3, 2000, p. 205-223. Wegner T., A method of material modelling with the use of strength hypothesis of inner equilibrium stability. Mechanics and Mechanical Engineering, Vol. 4, No. 2, 2000, p. 139-147. Wegner T., Stability of the material under planar state of stress. 3rd Conference Thin-Walled Vessels – Karłów 2004, p. 271-276.

„Chociaż więc podłoże teoretyczne naszej hipotezy nie może być uznane za ścisłe, to jednak oddaje ona i oddawać będzie doskonałe usługi przy budowie teoretycznych wzorów wytrzymałościowych (...).” „Miał przeto rację W. Voigt wypowiadając przypuszczenie, że zjawiska wytrzymałościowe nie dają się w ogóle ująć ściśle w schemat teoretyczny za pomocą stałych charakterystycznych dla materiału, jak to się dzieje w teorii sprężystości.” „Z tego to powodu nie nazywam teoriami hypotez wytrzymałościowych stosowanych w nauce o wytrzymałości.” Maksymilian Tytus Huber Sprawozdanie kwartalne nr 4 Instytutu Badań Lotnictwa, Warszawa 1930 rok

Energetyczna analiza procesu rozciągania materiału w jednoosiowym stanie naprężenia W - energia wewnętrzna odkształcenia L - praca sił zewnętrznych s - nominalne naprężenie e - jednostkowe wydłużenie Odkształcalny pręt w jednoosiowym stanie naprężenia

Stateczność stanów równowagi We - energia potencjalna sił sprężystości materiału Wd - energia dyssypowana U - energia całkowita Wykres rozciągania

Zależności między przyrostami składowych odkształcenia

Proces jednoosiowego rozciągania z odciążaniem

Funkcje energii wewnętrznej odkształcenia na tle wykresu rozciągania materiału

Podsumowanie Energia wewnętrzna odkształcenia materiału jest zawsze jednoznacznie określona, ponieważ jest równa pracy włożonej w odkształcenia materiału. W przypadku procesu, którego przebieg nie ma charakteru monotonicznego, energia wewnętrzna odkształcenia materiału jest funkcją dwu zmiennych: odkształcenia  oraz odkształcenia maksymalnego, jakiemu materiał został poddany w całym procesie od początku do aktualnej chwili czasu t. W procesie jednoosiowego rozciągania, poszukując możliwości wystąpienia w materiale niebezpiecznych ze względów wytrzymałościowych stanów, polegających na niestatecznej równowadze wewnętrznej, możemy ograniczyć się do badania procesu, w którym odkształcenia wzrastają monotonicznie, a energia wewnętrzna jest jednoznaczną funkcją odkształcenia materiału.

Stateczność stanu równowagi wewnętrznej w trójosiowym stanie naprężenia materiału m - liczba stopni swobody układu - funkcja gęstości energii wewnętrznej, Równowaga jest niestateczna, gdy istnieje taki ciąg wartości przyrostów przemieszczeń uogólnionych w którym przynajmniej jedna z nich jest różna od zera, że

w którym przynajmniej jedna z nich jest różna od zera Równowaga jest stateczna, gdy dla każdego ciągu wartości przyrostów przemieszczeń uogólnionych , w którym przynajmniej jedna z nich jest różna od zera Przykład: stateczność odkształcenia materiału liniowo sprężystego

Energia odkształceń objętościowych i postaciowych w zależności od niezmienników stanu odkształcenia

Energia odkształceń objętościowych i postaciowych w zależności od współrzędnych cylindrycznych w przestrzeni głównych składowych odkształcenia Przestrzeń głównych składowych odkształcenia

Proces jednoosiowego rozciągania materiału liniowo sprężystego w przestrzeni głównych składowych odkształcenia

Przekrój przestrzeni głównych składowych odkształcenia płaszczyzną symetrii o równaniu 2 = 3

Zależności między współrzędnymi w płaszczyźnie symetrii o równaniu 2 = 3

Uogólnione siły odkształcenia objętościowego i postaciowego Założenie uogólnionych sił odkształcenia objętościowego i postaciowego w postaci liniowych funkcji współrzędnych h oraz r prowadzi do liniowego modelu właściwości fizycznych materiału.

Badanie stateczności równowagi wewnętrznej w materiale o liniowych właściwościach fizycznych Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego przemieszczenia wirtualnego o składowych dh, dr z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Wynik ten jest oczywisty, ponieważ jak już wcześniej wykazaliśmy, stany równowagi wewnętrznej w materiale liniowo sprężystym są stateczne.

Matematyczny model materiału o nieliniowych właściwościach fizycznych Dla stanów odkształcenia o współrzędnej r = re równowaga wewnętrzna jest niestateczna, co zgodnie z hipotezą wytrzymałościową stateczności równowagi wewnętrznej oznacza stan niebezpieczny ze względu na wytrzymałość materiału.

Uogólniona siła odkształcenia postaciowego

Dla jednoosiowego rozciągania

Przykład liczbowy węglowa stal konstrukcyjna zwykłej jakości St3S granica plastyczności: granica wytrzymałości:

Zmienny moduł odkształcenia postaciowego w funkcji współrzędnej odkształcenia postaciowego r

Nieliniowa uogólniona siła odkształcenia postaciowego w funkcji współrzędnej odkształcenia postaciowego r

Krzywa jednoosiowego rozciągania uzyskana na podstawie aproksymacji mechanicznych właściwości materiału energetycznym modelem

Wykres zmiennej liczby Poissona w funkcji jednostkowego wydłużenia na podstawie energetycznego modelu

Wykres jednostkowego wydłużenia w kierunku poprzecznym do osi rozciągania w funkcji jednostkowego wydłużenia w jednoosiowym rozciąganiu

Wartości doświadczalne współczynników odkształcenia poprzecznego otrzymane przez A. M. Żukowa Malinin M. N., Rżysko J., Mechanika materiałów. PWN, Warszawa 1981, str. 85

Wytrzymałościowa hipoteza energii odkształcenia postaciowego Jeżeli założymy, że w złożonym stanie naprężenia uogólniona siła odkształcenia postaciowego przyjmuje podczas plastycznego płynięcia materiału taką samą wartość jak w jednoosiowym stanie naprężenia, to uzyskamy na tej podstawie warunek plastycznego płynięcia materiału

Stateczność odkształceń postaciowych

Twierdzenie Sylvestera Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by forma kwadratowa o symetrycznej macierzy B była oznaczona dodatnio, jest przyjmowanie dodatnich wartości przez wszystkie główne minory macierzy: Równowaga wewnętrzna w punkcie zdeformowanego materiału jest niestateczna, gdy Warunki plastycznego płynięcia materiału: Badanie wypukłości funkcji energii odkształcenia na podstawie powyższych warunków jest równoważne z poszukiwaniem takich stanów naprężenia, dla których odkształcenia postaciowe nie są stateczne.

Porównanie wytrzymałościowej hipotezy energii odkształcenia postaciowego z hipotezą stateczności równowagi wewnętrznej na podstawie aproksymacji modelem energetycznym mechanicznych właściwości stali St3S Obszar zawarty pomiędzy powierzchniami granicznymi wynikającymi z warunków: Hubera (H) oraz nowego warunku (W) plastycznego płynięcia materiału

Porównanie wyników teoretycznych z badaniami eksperymentalnymi Malinin M. N., Rżysko J., Mechanika materiałów. PWN, Warszawa 1981, str. 47 i 48 Wyniki eksperymentów A. M. Żukowa, W. Lode’a oraz M. Rosa i A. Eichingera

Podsumowanie Przedstawiona w pracy metoda modelowania mechanicznych właściwości materiałów bazuje na wytrzymałościowej hipotezie stateczności równowagi wewnętrznej. W hipotezie tej przyjęto, że bezpośrednią przyczyną uszkodzenia lub zniszczenia materiału jest utrata stateczności stanu równowagi wewnętrznej w odkształconym materiale, a do badania stateczności wykorzystano podstawową zasadę fizyczną – prawo zachowania energii. Hipoteza ta pozwala na nowe teoretyczne ujęcie podstawowego problemu z dziedziny wytrzymałości materiałów – zagadnienia zniszczenia materiałów. Przedstawiona metoda stwarza duże możliwości rozwoju badań nad mającą ogromne znaczenie techniczne problematyką wytrzymałości materiałów w złożonym stanie naprężenia. Jak pokazano w pracy, znajomość matematycznego modelu mechanicznych właściwości materiału oraz jego stałych, jest warunkiem wystarczającym do teoretycznego wyznaczenia stanów deformacji powodujących plastyczne płynięcie lub utratę spójności materiału.

W świetle uzyskanych wyników możemy stwierdzić, że hipoteza stateczności stanu równowagi wewnętrznej potwierdza trafność hipotezy Hubera w odniesieniu do materiałów charakteryzujących się liniową zależnością sprężystości objętościowej i stanowi tym samym jej merytoryczne uzasadnienie. Poprawność dowolnej hipotezy wytrzymałościowej sformułowanej dla określonego materiału można sprawdzić poprzez badanie warunków stateczności stanów równowagi wewnętrznej w matematycznym modelu materiału i porównanie uzyskanych w ten sposób wyników z weryfikowaną hipotezą. Zaprezentowana w pracy metoda modelowania matematycznego może być zastosowana do materiałów o dowolnych nieliniowych właściwościach fizycznych, w tym także do materiałów nie wykazujących liniowej zależności sprężystości objętościowej. Metoda ta pozwala na uzupełnienie procesu projektowania elementów konstrukcyjnych z materiałów quasi-izotropowych o dowolnych nieliniowych właściwościach fizycznych, o ocenę wytrzymałościową wynikającą z teoretycznej analizy opartej na prawie zachowania energii. Zastosowanie w praktyce metody analizy proponowanej w niniejszej pracy, wymaga opracowania matematycznych modeli mechanicznych właściwości materiałów.

Deformacja ciał hipersprężystych wykonanych z materiałów kauczukopodobnych

Uogólnienie funkcji Mooneya

Energia właściwa odkształcenia objętościowego w zależności od względnej objętości ciała dla różnych modeli ściśliwości materiału

Rzeczywiste naprężenia w stanie równomiernego wszechstronnego ściskania lub rozciągania w zależności od względnej objętości ciała dla różnych modeli ściśliwości materiału

Górny i dolny brzeg statecznego obszaru składowych stanu odkształcenia w funkcji objętości względnej dla różnych modeli materiałów ściśliwych

Metoda relaksacji lokalnej

Stan przemieszczeń w pierścieniu obciążanym statycznie dla wybranych faz procesu deformacji

Literatura cd. Wegner T., Metody energetyczne w wytrzymałości materiałów - Hipoteza wytrzymałościowa stateczności równowagi wewnętrznej, Seria Rozprawy Nr 323, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1999. Wegner T., Ograniczenia zakresu stosowalności uogólnionej funkcji energii odkształcenia Mooneya wynikające z warunków Colemana-Nolla oraz silnej eliptyczności, w: Materiały konferencyjne XXXVIII Sympozjonu PTMTS „Modelowanie w Mechanice”, Wisła 1999, Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, zeszyt nr 10, Wydawnictwo Katedry Mechaniki Stosowanej Politechniki Śląskiej, Gliwice 1999, s. 327-332. Wegner T., Analiza porównawcza zakresu stosowalności nieliniowych modeli materiałów ściśliwych, Studia i Materiały XLVIII, seria Technika, zeszyt 1, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Pedagogicznej im. Tadeusza Kotarbińskiego, Zielona Góra 1999, s. 159-173. Wegner T., Zastosowanie metody relaksacji lokalnej do analizy zagadnień uwzględniających zjawisko tarcia powierzchniowego, Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej, seria Mechanika, nr 47, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2000, s. 73-87.