Dariusz Odejewski Krzysztof Wójcik Green Hackenbush Dariusz Odejewski Krzysztof Wójcik

Rodzaje i zasady Hackenbusha W grze Green Hackenbush chodzi o ścinanie krawędzi w ”zakorzenionym” grafie i usuwanie tych części grafu, które nie są połączone z podłożem. ”Zakorzeniony graf” jest to graf nieskierowany z każdą krawędzią, połączoną pewna ścieżką z tak zwanym podłożem. W tej wersji Hackenbusha obaj gracze mogą ściąć każdą z krawędzi. Istnieje również odmiana tej gry tzw. Blue-red Hackenbush w której gracze maja przydzielony swój kolor i mogą ścinać krawędzie tylko swojego koloru. Gracze poruszają się na zmianę. Wygrywa gracz, który wykona ostatni ruch.

Bamboo Stalks Bamboo Stalks jest to najprostsza wersja Green Hackenbusha. W grze tej gracz ścina dowolna krawędź i usuwa wszystko co było nad nią. Każda łodyga składająca się z n krawędzi może zostać zmieniona na łodygę z między n-1 a 0 krawędzi. Tak więc pojedyncza łodyga z n liczbą krawędzi jest równoważna stosowi o n kulkach w grze Nim.

Bamboo Stalks. (przykład)

Bamboo Stalks. (przykład) W przykładzie mamy trzy łodygi, co możemy rozpatrywać jako 3 stosy w grze Nim o odpowiednio 3, 4, 5 kulkach. Wartość Sprague-Grundy tego układu wynosi 2 zatem jest to N-pozycja która możemy zamienić na P-pozycję po ścięciu drugiej krawędzi od dołu w najmniejszej łodydze. Zauważmy, że układ po prawej ma wartość Sprague- Grundy równa 0, co oznacza, że jest to P-pozycja.

Green Hackenbush na drzewach. W tej odmianie gry mamy „zakorzenione” drzewa, w których wyróżniamy wierzchołek „korzeń” oraz inne wierzchołki połączone pewna ścieżką z korzeniem ale bez cykli. Zasady gry są analogiczne jak w przypadku łodyg bambusowych. Problem sprowadza się do przyrównania każdego drzewa do pojedynczej łodygi. Pozwoli nam to znaleźć wartość Sprague- Grundy całego drzewa. W tym celu wykorzystujemy tak zwaną „ Colon Principle”, która mówi: gdy gałęzie schodzą się do jednego wierzchołka można je zamienić na łodygę, której długość równa się ich Nim sumie.

Green Hackenbush na drzewach. (przykład)

Green Hackenbush na drzewach. (przykład c.d.)

Green Hackenbush na drzewach. (przykład c.d.) Po przekształceniu wszystkich drzew w łodygi obliczamy wartość Sprague-Grundy. W przykładzie drugim jest to 1+8+4=13. Ponieważ nie jest to 0, gracz do którego należy teraz ruch jest w pozycji wygrywającej. Zauważmy, że aby pozostawić drugiego gracza w P-pozycji, musimy tak uciąć środkowe drzewo aby jego wartość Sprague-Grundy wynosiła 5, wówczas wartość Sprague-Grundy całego układu będzie wynosiła 0. Aby tego dokonać musimy ( odnosząc się do przekształcenia na poprzednim przykladzie o wartości 3, 2 i 6 ) pozbyć się gałęzi o wartości 3 lub ściąć najwyższą krawędź środkowej gałęzi.

Green Hackenbush na dowolnych grafach. W tej odmianie gry rozpatrujemy grafy, w których mogą występować cykle i pętle oraz wiele segmentów może stykać się z podłożem. Podobnie jak w poprzednich przykładach te grafy również możemy przyrównać do stosów Nim. W tym celu wykorzystamy tzw. „Fusion Principle”. Łączymy dwa sąsiadujące wierzchołki w jeden tworząc z krawędzi łączącej je pętle. W przypadku Green Hackenbusha pętla może zostać zamieniona na liść.

„The Fusion Principle” „The Fusion Principle”: wierzchołki w dowolnym cyklu mogą być łączone bez zmiany wartości Sprague-Grundy całego grafu. Dzięki tej zasadzie dowolny graf możemy zamienić na drzewo, a następnie w łodygę.

Green Hackenbush na dowolnych grafach.

Łączenie wierzchołków. (przykład) Rozważmy przykład z rysunku. Musimy zauważyć, że podłoże traktujemy jako pojedynczy wierzchołek. Następnie poprzez łączenie wierzchołków otrzymujemy łodygę o wartości 1.

Łączenie wierzchołków. Zauważmy, że cykl o nieparzystej ilości krawędzi redukuje się do jednej krawędzi, natomiast cykl o parzystej ilości do pojedynczego wierzchołka. Odnieśmy się do przykładu. Choinkę składającą się z cyklu o długości 4 możemy przekształcić w pojedynczą łodygę o wartości 1 natomiast komin w domku staje się pojedynczym wierzchołkiem.

Przykład 2

Obliczanie wartości Sprague-Grandy. (przykład) Wykorzystując poznane dotychczas metody możemy pokazać, że wartość Sprague-Grundy całego domku wynosi 3 a żonglera 4.

Dziękujemy za uwagę…

Bibliografia Game Theory – Thomas S. Ferguson www.wikipedia.pl