ANALITYCZNE MODELE SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH Systemy kolejkowe prof. dr hab. Grażyna Karmowska

PRZYKŁADOWE SYSTEMY KOLEJKOWE RODZAJ OBSŁUGI ZGŁOSZENIA STANOWISKA OBSŁUGI Sklep Sprzedaż towaru Klient Sprzedawca / kasa Port Wyładunek Statek Miejsce wyładunku Lotnisko Lądowanie Samolot Pas startowy Park maszynowy Naprawa maszyny Uszkodzona maszyna Konserwator Centrala telefoniczna Połączenie telefoniczne Linia telefoniczna Gabinet lekarski Porada lekarska Pacjent Lekarz Studio fryzjerskie Strzyżenie Fryzjer

RODZAJE POPULACJI, Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI POPULACJA SKOŃCZONA O systemie ze skończoną liczbą klientów mówi się wtedy, kiedy od liczby klientów obsługiwanych i oczekujących na obsługę zależy w istotny sposób rozmiar populacji nie będącej w systemie (np. system – sala wykładowa; klienci – przepalające się żarówki; stanowisko obsługi – pan Zbyszek wymieniający żarówki)

RODZAJE POPULACJI, Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI POPULACJA NIESKOŃCZONA System z nieskończoną liczbą klientów to taki system, w którym liczba klientów poza systemem (tzn. mogących potencjalnie wejść do systemu) nie zależy od liczby klientów obsługiwanych i oczekujących na obsługę (np. system - sieć telefoniczna na Wydziale o dużej możliwości łączenia rozmów; klienci – pracownicy Wydziału)

ORGANIZACJA KOLEJKI Określony zestaw reguł, zgodnie z którym ustala się: liczbę kolejek, kolejność obsługiwanych klientów: FIFO – First In First Out (pierwszy przyszedł, pierwszy obsłużony); LIFO – Last In First Out (ostatnie zgłoszenie obsłużone jako pierwsze); - losowa kolejność obsługi; - priorytet niektórych zgłoszeń.

rozmiar dopuszczalnej kolejki: ograniczona; nieograniczona. możliwość niedokończenia obsługi przez stanowisko obsługi możliwość opuszczenia systemu po oczekiwaniu w kolejce przez pewien czas możliwość opuszczania systemu bez czekania

Problem „ogonków” Zakładamy, że mamy pewne „urządzenie” mogące świadczyć określone usługi w stosunku do zgłaszających się jednostek (np. centrala telefoniczna, kasa, okienko pocztowe itp.)  

Problem „ogonków” Każda jednostka zgłaszająca się do urządzenia U w celu otrzymania określonej usługi musi stanąć w ogonku, jeśli w toku obsługiwania znajduje się już inna jednostka. Dopiero gdy obsłużona jednostka opuści urządzenie, następna jednostka czekająca w ogonku będzie mogła być obsłużona. Tego rodzaju urządzenie nazywamy jednym kanałem obsługi.   WY WE „OGONEK” OBSŁUGA

Urządzenie wielokanałowe Problem „ogonków” OBSŁUGA WY WE OGONEK OBSŁUGA OBSŁUGA Urządzenie wielokanałowe Jednostka czeka na obsługę w kolejce tylko wtedy, gdy wszystkie kanały są już zajęte obsługiwaniem innych jednostek. Może się zdarzyć, że przy małej ilości zgłoszeń powstanie kolejka czekających kanałów obsługi.

Problem „ogonków” Równoległe stanowiska obsługi Stanowiska Opuszczenie systemu klienci Równoległe stanowiska obsługi

Problem „ogonków” Szeregowe stanowiska obsługi Stanowisko obsługi klienci Stanowisko obsługi klienci Opuszczenie systemu Szeregowe stanowiska obsługi

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących określona ilość kanałów nie można z góry określić momentu czasu przybycia jednostki A0(t) prawdopodobieństwo, że między momentami przybycia dwóch kolejnych jednostek upłynie okres czasu t lub krótszy X – okres czasu upływający między dwoma kolejnymi przybyciami A0(t)=P(X t) dystrybuanta przybyć

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących W0(t) prawdopodobieństwo zdarzenia polegające na tym, że między dwoma kolejnymi przybyciami upłynie okres czasu dłuższy niż t (w okresie czasu równym t nie przybędzie do urządzenia ani jedna jednostka) W0(t)=1- A0(t)=1- P(X t) =P(X>t) gęstość prawdopodobieństwa

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących Średni okres czasu T jaki mija między dwoma kolejnymi przybyciami:

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących Zakładamy, że to wyrażenie =0, Stąd średni czas między dwoma kolejnymi przybyciami:

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących Średnia stopa przybyć Założenia dotyczące przybyć jednostek w celu uzyskania usługi rozpatrywanego urządzenia: Ilość przybyć w dowolnym czasie jest niezależna od ilości przybyć w innym okresie czasu; Prawdopodobieństwo określonej ilości przybyć zależy tylko od długości odcinka czasu, nie zależy od jego początku i końca; Wyklucza się możliwość dwóch lub więcej przybyć w jednym i tym samym momencie czasowym; prawdopodobieństwo jednego przybycia w okresie czasu równe jest

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących rozkład Poissona prawdopodobieństwo, że w czasie t zdarzy się n przybyć

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących B0(t) prawdopodobieństwo czasu obsługi jednej jednostki. (po analogicznych przekształceniach jak poprzednio otrzymujemy) Średni czas trwania obsługi jednej jednostki U Jeżeli V0(t) jest prawdopodobieństwem tego, że obsługa jakiejś jednostki będzie trwała dłużej niż t , to:

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących Średnia stopa obsługi Oznacza ile średnio jednostek obsługiwanych jest na jednostkę czasu. rozkład wykładniczy Założenia dotyczące strumienia jednostek wychodzących z obsługi są analogiczne do założeń poprzednich.

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących Prawdopodobieństwo tego, że w ogonku będzie n jednostek

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących Intensywność obsługi klienta Ponieważ: Przeciętna stopa przybywania jest mniejsza niż przeciętna stopa obsługi. Długość ogonka – ilość jednostek oczekujących + jednostka znajdująca się w obsłudze