METODY OBLICZANIA PÓL ELEKTROMAGNETYCZNYCH Zadania z dziedziny pola elektromagnetycznego można podzielić na: a)   zadania z zakresu analizy zadania te polegają na wyznaczeniu wielkośći dla zadanych rozkładów prądów, ładunków lub potencjałów na granicach obszarów. Zadania te zawsze mają jednoznaczne rozwiązanie. Sam proces rozwiązania tych zadań może być dowolnie trudny. b) zadania z zakresu syntezy (zagadnienia odwrotne) zadania te polegają na wyznaczaniu rozkładu prądów, ładunków lub potencjałów na granicach obszarów, zapewniającego w danym obszarze założony rozkład . Zadania syntezy nie zawsze mają rozwiązanie, a jeśli są rozwiązywalne, to liczba rozwiązań jest nieskończona. W celu ujednoznacznienia rozwiązań narzuca się dodatkowe warunki. Rozwiązywanie zadań technicznych związanych z zagadnieniami polowymi elektrodynamiki można podzielić na kilka etapów: 1. znalezienie funkcji opisującej pole elektromagnetyczne i jego własności w badanym obszarze, z uwzględnieniem stałych lub zmiennych własności środowiska (powietrze, miedź, stal itd.) 2. znalezienie warunków granicznych na powierzchni badanego obszaru, narzuconych przez rodzaj i konfigurację źródeł badanego pola (układ przewodów, cewek lub rdzeni magnetycznych, rodzaj prądu itp.) 3. odpowiedni dobór współczynników i warunków dotyczących funkcji opisujących pole,aby spełniała ona narzucone warunki brzegowe i początkowe, tzn. - znalezienie ostatecznego rozwiązania analitycznego

Znajdowanie funkcji pola 4. sprawdzenie doświadczalne założeń, operacji pośrednich(poprawności uproszczeń) i wyników końcowych 5. przedstawienie otrzymanego rozwiązania w postaci wzorów, tabel lub wykresów ułatwiających praktyczne wykorzystanie wyników i optymalizację parametrów. Znajdowanie funkcji pola Wiele analitycznych zagadnień elektrodynamiki sprowadza się do rozwiązania różnymi metodami równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu opisujących zjawiska zachodzące w polu elektromagnetycznym Równania polowe, przy określonych uzasadnionych praktycznie uproszczeniach, można Sprowadzić do następujących równań typowych: Równanie Laplace’a - skalarne: (2.1) - wektorowe: (2.2) w którym: V - funkcja skalarna lub składowa wektora - operator nabla - laplasjan skalarny - laplasjan wektorowy Równanie to spełnia spełnia każda funkcja holomorficzna (tzn. funkcja zmiennej zespolonej, mająca pochodną w każdym punkcie pewnego obszaru).

Równanie Poissona      · skalarne: (2.3) · wektorowe (2.4) gdzie: f - funkcja opisująca przestrzenny rozkład źródeł wzbudzających pole Równanie Helmholtza     · skalarne jednorodne (2.5)      · skalarne niejednorodne (2.6)      · wektorowe jednorodne (2.7)      · wektorowe niejednorodne (2.8) Równania te opisują ustalone sinusoidalnie zmienne pola wzbudzane przez źródła (f lub) i mogą mieć współczynnik k2 rzeczywisty, urojony lub zespolony. Równanie przewodnictwa (dyfuzji, Fouriera)     · skalarne (2.9) · wektorowe (2.10) gdzie: h2 - współczynnik rzeczywisty

Równanie falowe ·     skalarne jednorodne (2.11) ·     skalarne niejednorodne (2.12) ·     wektorowe jednorodne (2.13) ·     wektorowe niejednorodne (2.14) Każde z podanych równań wektorowych, o ile występuje możliwość rozdzielenia składowych (np. przez podstawienie ) można sprowadzić do trzech niezależnych równań skalarnych. W szczególnych przypadkach równania niejednorodne można sprowadzić do jednorodnych, stosując odpowiednie podstawienie. Podane równania różniczkowe cząstkowe są stosowane w obliczeniach: ·     pól elektrostatycznych, ·     pól magnetostatycznych, ·     pól przepływowych, ·     ustalonych harmonicznych pól elektromagnetycznych w przewodnikach i dielektrykach, · nieustalonych pól elektromagnetycznych w przewodnikach i dielektrykach.

Równania te znajdują również zastosowanie w opisie pól termicznych, naprężeń mechanicznych, pól sprzężonych itp. Powyższe równania można zaliczyć do równań: ·     eliptycznych (Laplace’a, Poissona, Helmholtza), ·     parabolicznych (równanie przewodnictwa), · hiperbolicznych (równanie falowe) Teoria każdego z wymienionych równań jest trudna i bardzo obszerna, przy czym jest ona odrębna dla każdego z tych równań i stanowi oddzielny dział analizy matematycznej będący w ścisłym związku z teorią funkcji zmiennej zespolonej, geometrią różniczkową i zagadnieniami brzegowymi. O trudności analitycznego znalezienia funkcji opisującej pole w danym obszarze decyduje najczęściej liczba składowych wektorów pola i współrzędnych, tzn. geometryczny układ pola i badanej części oraz własności fizyczne środowiska.

Rodzaje ośrodków i ich własności Próżnia i ośrodki materialne Przebieg zjawisk fizycznych zależy od warunków narzuconych przez środowisko, w którym te zjawiska przebiegają. Środowiska (ośrodki) można klasyfikować według Różnych kryteriów. Pod względem własności elektrycznych najbardziej ogólny jest podział na Rodzaje ośrodków i ich własności próżnię i ośrodki materialne. Własności elektromagnetyczne próżni w zupełności opisują dwie wielkości skalarne: ·   przenikalność elektryczna: przenikalność magnetyczna: Wymienione przenikalności spełniają równanie: (2.15) gdzie: - prędkość fali elektromagnetycznej (prędkość światła) w próżni, W środowisku materialnym:

Rodzaje ośrodków pod względem własności elektrycznych gdzie: - względna przenikalność elektryczna, - względna przenikalność magnetyczna Właściwości środowiska, w którym zachodzą zjawiska elektromagnetyczne są również opisane konduktywnością  (przewodnością właściwą). Konduktywność  próżni jest równa zeru. W środowiskach przewodzących: Stan skupienia Rozróżniamy cztery stany skupienia rzeczywistych ośrodków materialnych: 1) stały obejmujący ciała stałe i ciecze przechłodzone np. szkło), 2) ciekły, 3) gazowy, 4) plazmę (ośrodek gazowy całkowicie zjonizowany, makroskopowo obojętny elektrycznie) Rodzaje ośrodków pod względem własności elektrycznych Podstawą podziału ośrodków materialnych będą ich cech elektryczne, a więc postać zależności między wektorami . W szerokiej klasie ośrodków zależności między tymi wektorami możemy zapisać w postaci tzw. równań materiałowych :

(2.16) (2.17) (2.18) Jednorodność Liniowość Jeżeli wartości , ,  nie zależą od współrzędnych punktu, to ośrodek nazywamy jednorodnym. Jeżeli co najmniej jeden parametr charakteryzujący ośrodek zależy od współrzędnych punktu, w którym ten parametr jest określony, to taki ośrodek nazywamy niejednorodnym. Typowymi przykładami ośrodka niejednorodnego są: ośrodek warstwowy (niejednorodność nieciągła) lub ośrodek składający się z substancji niedokładnie zmieszanych. Liniowość Związki (2.16) do (2.18) sugerują, że wektory indukcji oraz gęstość prądu liniow zależą od natężenia pól. Jeśli tak jest rzeczywiście, to ośrodek nazywa się liniowym.Jeśli przynajmniej jedna z wielkości , ,  zależy od natężeń pól,to związki (2.16) do (2.18) nie są już liniowe i ośrodek nazywa się nieliniowym.

W przypadku środowisk nieliniowych równania pola mogą mieć złożoną postać i często mogą być rozwiązywane jedynie metodami przybliżonymi z zastosowaniem aproksymacji lub metod numerycznych. Nieliniowość równań pociąga za sobą naruszenie zasady superpozycji, która jest bardzo wygodna przy rozwiązywaniu układów liniowych. Największe trudności pod tym względem stwarza najważniejszy z materiałów konstrukcyjnych stal, której własności mają charakter wybitnie nieliniowy. Spośród magnetyków jedynie materiały paramagnetyczne i diamagnetyki mają własności liniowe. Nieliniowe własności stali są tak skomplikowane, że wyraża się je jedynie za pomocą empirycznych krzywych magnesowania. Aproksymacja analityczna tych krzywych prowadzi jednak często do funkcji zbyt trudnych do wykorzystania przy bardziej złożonej analizie matematycznej. Dlatego w praktyce obliczeniowej rozpowszechniła się metoda półempiryczna polegająca na tym, ze podstawowe równania Maxwella rozwiązuje się jak dla środowiska liniowego i dopiero w końcowych wzorach uzmiennia się przenikalność magnetyczną Dyspersyjność Istnieją ośrodki, których parametry , ,  zależą od częstotliwości. Ośrodki takie nazywamy dyspersyjnymi. W ośrodkach dyspersyjnych zależności między wektorami opisującymi pole w postaci (2.16) do (2.18) mają sens tylko w przypadku sinusoidalnej zależności pól od czasu. W przypadku dowolnej zależności pól od czasu związki postaci (2.16) do (2.18) są słuszne dla transformat fourierowskich wektorów .

Izotropowość Jeżeli w danym ośrodku wektory oraz a także są do siebie proporcjonalne, a Współczynniki proporcjonalności , ,  są niezależne od kierunku pól, to ośrodek taki nazywamy izotropowym. Jeżeli wielkości , ,  zależą od kierunku pól, to ośrodek taki nazywamy anizotropowym. Anizotropia wynika z budowy ciał uporządkowanej w kierunku pewnej osi (np. ciał krystalicznych). Prostym przykładem ośrodka anizotropowego pod względem mechanicznym jest np. drewno, które łatwo można rozłupać równolegle do włókien a trudno w kierunku prostopadłym. Anizotropia nabiera obecnie coraz większego znaczenia praktycznego ze względu na szerokie stosowanie teksturowych materiałów magnetycznych, niejednorodną przewodność elektryczną i cieplną rdzeni zblachowanych, anizotropię plazmy wskutek zjawiska Halla itd. Ośrodki anizotropowe nie mogą być opisane przez skalarne wielkości parametrów , , . Równości postaci (2.16) do (2.18) mogą być w dalszym ciągu prawdziwe, jeśli zapiszemy parametry materiałowe jako tensory. Rozważmy dla przykładu sytuację, w której wielkość występująca w zależności opisującej związek między wektorami zależy od kierunku wektora W tym przypadku przenikalność elektryczna jest tensorem, który może być zapisany w postaci macierzy 9 - cio elementowej: (2.19)

Wektor natężenia pola elektrycznego traktujemy przy obliczeniu indukcji jako macierz kolumnową, tzn. wektor obliczamy ze wzoru: (2.20) Wśród ośrodków anizotropowych mogą istnieć ośrodki, których własności zależą od kierunku pola w stosunku do jednej wyróżnionej osi. Jeśli oś ta pokrywa się z osią 0z układu współrzędnych, to postać tensora jest nastepująca: (2.21) Tensor ten nie zmienia się przy obrocie układu współrzędnych wokół osi 0z. Ośrodek opisany tensorem (2.21) nazywamy ośrodkiem żyrotropowym. Na ogół ośrodki żyrotropowe ujawniają swe własności anizotropowe dopiero po umieszczeniu w stałym polu elektrycznym lub magnetycznym. Na przykład plazma, która przy braku stałego pola elektrycznego jest ośrodkiem izotropowym, po przyłożeniu takiego pola wzdłuż osi 0z staje się ośrodkiem żyrotropowym o tensorze przenikalności elektrycznej postaci (2.21). Z kolei ferryty po przyłożeniu stałego pola magnetycznego wzdłuż osi 0z stają się ośrodkami żyrotropowymi o tensorze przenikalności magnetycznej przyjmującym postać analogiczną do (2.21). W niektórych przypadkach tensor przenikalności elektrycznej (lub magnetycznej) ośrodka żyrotropowego ma szczególną postać:

(2.21a) Ośrodek taki nazywamy ośrodkiem o anizotropii jednoosiowej. Może się również okazać, że wprowadzenie tensorów do równości (2.16) do (2.18) jest niewystarczające i wektory indukcji zależą zarówno od wektora natężenia pola elektrycznego, jak i magnetycznego. Zachodzi wówczas potrzeba rozszerzenia postaci zapisu związków między wektorami do postaci: (2.22) (2.23) Ośrodki takie nazywamy bianizotropowymi. Inne własności ośrodków materialnych. PRZEWODNICTWO Dielektrykiem idealnym nazywa się ośrodek w pełni nieprzewodzący, tzn. taki, w którym  = 0, przewodnikiem idealnym zaś ośrodek, w którym  = . Poza próżnią ośrodki idealne w przyrodzie nie istnieją, ale do dielektryków idealnych zbliża się powietrze ( ), do przewodników idealnych zaś - metale ( ). Ośrodki pozostałe są nazywane quasi-dielektrykami lub quasi-przewodnikami w zależności od tego, które cech przeważają.

POLARYZACJA DIELEKTRYCZNA Pewne nieporozumienie może budzić nazwa „półprzewodniki”. Przez tę nazwę rozumie się najczęściej ośrodki dielektryczne o małej konduktancji właściwej. Niektóre podręczniki nazwą tą obejmują wszystkie ośrodki z wyjątkiem idealnych dielektryków i przewodników. W ściślejszym sensie, półprzewodnikami nazywa się ciała stałe zawierające wśród pasm energetycznych - miedzy pasmem przewodnictwa a pasmem walencyjnym - pasmo zabronione o wartości energii mniejszej niż 2 eV. Oddzielnym zagadnieniem jest zależność konduktywności od temperatury. W zakresie temperatur pokojowych jest to zależność liniowa, natomiast w temperaturze 1/3 TD (TD – temperatura Debey’a dla miedzi wynosi 310K), staje się zależnością nieliniową. Dla niektórych metali i stopów obserwuje się w określonej temperaturze całkowity zanik rezystywności, czyli zjawisko nadprzewodnictwa. Materiały wykazujące takie własności nazywają się nadprzewodnikami. POLARYZACJA DIELEKTRYCZNA Obojętna, niezjonizowana cząstka lub atom zawiera tyle samo elektryczności dodatniej co i ujemnej. W cząstkach nie poddanych działaniom żadnych zewnętrznych sił elektrycznych środki ładunku dodatniego i ujemnego przeważnie pokrywają się, jak to przedstawia rys. 2.1a. Rys. 2.1. Schematyczny rozkład ładunków:a) w cząstce niespolaryzowanej, b) w cząstce spolaryzowanej, dwubiegun elektryczny jako model cząstki spolaryzowanej d) linie pola elektrycznego w otoczeniu dwubieguna

otoczeniu dwubieguna ilustruje rys.21d. Jeżeli na cząstkę działa siła pochodząca od pola zewnętrznego, środki ładunków przeciwnych znaków rozsuwają się jak na rys. 2.1b, a o cząstce mówi się, że została spolaryzowana. Cząstkę taką można zastąpić modelem przedstawionym na rysunku 2.1c, a nazywanym dipolem lub dwubiegunem elektrycznym. Rozkład pola elektrycznego w otoczeniu dwubieguna ilustruje rys.21d. Dwubiegunem elektrycznym jest więc każdy atom obojętny lub cząstka materii o ilości elektryczności dodatniej i ujemnej równej q, których środki są przesunięte względem siebie o wartość l. Moment bieguna jest równy: (2.24) przy czym wektor jest skierowany od środka ładunku ujemnego do środka ładunku dodatniego. W niektórych ośrodkach, o specjalnie uporządkowanej budowie, zachodzi polaryzacja spontaniczna części cząstek (domen), bez udziału zewnętrznego pola elektrycznego. Ośrodki takie noszą nazwę ferroelektryków lub segnetoelektryków. Bez pola zewnetrznego momenty dwubiegunów są skierowane w różnych, na ogół przypadkowych kierunkach tworząc tzw. multipole. Ogólnie więc, każdy ośrodek materialny, nie poddany działaniu zewnętrznych pól (a więc i sił) elektrycznych i magnetycznych, można uważać za zbiór dwubiegunów elektrycznych o przypadkowej orientacji oraz cząstek obojetnych niespolaryzowanych. Rys.2.2. Pole elektryczne między naładowanymi płytami metalowymi: przed (a) i po włożeniu dielektryka

Na rys.2.2 przedstawiono dwie fazy doświadczenia myślowego, mającego na celu wyjaśnienie najważniejszych zjawisk towarzyszących polaryzacji ośrodka. Rys.2.2a przedstawia dwie płyty metalowe, między którymi istnieje przyłożone pole z zewnątrz pole elektryczne E0. Poza zasięgiem tego pola znajduje się bryła dielektryka niespolaryzowanego. Po wprowadzeniu tej bryły miedzy płyty, jak na rys.2.2b, ośrodek ulega polaryzacji, w wyniku której w obrębie płyty występuje siła (pole elektryczne) E1, skierowana przeciwnie niż E0. Indukcja elektryczna w próżni: (2.25) w dielektryku zaś: (2.26) Wynikająca z procesu polaryzacji różnica wektorów (2.27) Wielkość (2.28) nosi nazwę polaryzacji elektrycznej. nazywa się podatnością elektryczną ośrodka.

POLARYZACJA MAGNETYCZNA Wprowadzając - przez analogię do ładunków elektrycznych - umowne ładunki magnetyczne, można uzyskać pojęcie dwubieguna magnetycznego o momencie (2.29) przy czym wektor jest skierowany od ładunku południowego do północnego. Rys. 2.3. Modele dwubieguna magnetycznego a) jako magnetyczny ładunek dwuimienny, b) jako pętla z prądem W rzeczywistości moment magnetyczny wynika z istnienia prądów towarzyszących obiegowi elektronów dookoła jądra atomu (momenty orbitalne) oraz obrotom elektronów wokół własnych osi (momenty spinowe). Schematyczne szkice dwubieguna magnetycznego w ujęciu „ładunkowym” i „prądowym” przedstawia rys. 2.3. Podobnie do przypadku polaryzacji dielektrycznej, po wprowadzeniu ośrodka o własnościach magnetycznych w obszar działania siły magnetycznej następuje polaryzacja (namagnesowanie) ośrodka.

podatność magnetyczną zaś jako: (2.31) Wektor magnetyzacji (lub polaryzacji magnetycznej) określa się jako: (2.30) podatność magnetyczną zaś jako: (2.31) O ile wartość podatności elektrycznej ośrodków rzeczywistych (bez wolnych ładunków) jest zawsze dodatnia, o tyle podatność magnetyczna może być zarówno dodatnia, jak i ujemna. Ośrodki, dla których noszą nazwę diamagnetycznych, a gdy paramagnetycznych. Podatności magnetyczne tych ośrodków niewiele różnią się od zera. Na przykład podatność glinu (paramagnetyk) jest równa , miedzi zaś (diamagnetyk) Odrębną klasę ośrodków stanowią ferromagnetyki. W ośrodkach tych występuje spontaniczna magnetyzacja, a podatność magnetyczna jest bardzo duża (rzędu setek lub tysięcy). Do ferromagnetyków należą niektóre stopy, sole pierwiastków ziem rzadkich, a także ferryty, czyli związki tlenku żelazowego (Fe2O3) z tlenkami innych metali dwuwartościowych. Ferryty znalazły bardzo szerokie zastosowanie w radiotechnice, technice mikrofalowej, technice maszyn matematycznych i innych działach elektroniki.

NIEODWRACALNOŚĆ PROCESÓW Własności ośrodków, ze względu na pewne opóźnienia i niecałkowitą odwracalność procesów zachodzących w materii, mogą zależeć nie tylko od aktualnie istniejących warunków, lecz również od stanu poprzedniego. Na przykład kształt pokazanej na rys. 2.4 krzywej B(H) zależy od tego, czy pole magnesujące wzrasta, czy maleje. Zjawisko to nosi nazwę histerezy, a krzywa - pętli histerezy. Rys. 2.4. Pętla histerezy występującej przy magnesowaniu ośrodka ferromagnetycznego

Opisany podział ośrodków oraz sposoby opisu ich własności nie wyczerpują wszystkich stwierdzonych doświadczalnie i rozważanych w teorii pola przypadków zależności między wektorami . Rozwiązywanie problemów elektrodynamiki w różnych rodzajach ośrodków rzeczywistych napotyka duże trudności matematyczne i dlatego w dalszych wykładach ograniczymy się do rozważania pól magnetycznych w najprostszych i najczęściej spotykanych przypadkach. Na ogół będziemy zakładać liniowość, jednorodność oraz izotropowość i brak dyspersji ośrodka. WARUNKI GRANICZNE Podstawą do znalezienia pełnego rozwiązania w oparciu o warunki panujące na powierzchni ciała jest twierdzenie o jedyności pola zwane także twierdzeniem o jednoznaczności. Zgodnie z twierdzeniem o jednoznaczności rozwiązań równań Maxwella warunki graniczne określają jednoznacznie funkcję opisującą pole w środowisku liniowym i izotropowym. Twierdzenie to brzmi: Jeżeli dla danej chwili t = t0 znane są natężenia pola elektrycznego i magnetycznego w dowolnym punkcie obszaru ograniczonego jakąś powierzchnią, to za pomocą równań Maxwella można obliczyć wszystkie interesujące nas wielkości elektromagnetyczne w danej chwili t; zakłada się przy tym, że znane są składowe natężenia pola elektrycznego lub magnetycznego w każdym punkcie powierzchni ograniczającej od chwili początkowej t0 do chwili t. Twierdzenie powyższe mówi ogólnie o warunkach granicznych.

Rys. 2.5.Rozważany obszar dla określenia warunków granicznych Pod pojęciem warunki graniczne rozumiemy warunki stawiane poszukiwanej funkcji lub (i) jej pochodnym na brzegu obszaru  w wybranej chwili. Przypadkiem szczególnym warunków granicznych są warunki początkowe i brzegowe. Warunki początkowe są to warunki stawiane poszukiwanej funkcji w obszarze  dla t =t0 . Warunki brzegowe są to warunki stawiane poszukiwanej funkcji na brzegu S (rys. 2.5) obszaru  Rozwiązując równanie eliptyczne, uwzględniamy warunki brzegowe, natomiast rozwiązując równania paraboliczne i hiperboliczne - warunki graniczne (początkowe i brzegowe) Podamy klasyfikację warunków (zagadnień) granicznych dla równań różniczkowych. Istnienie jedynej funkcji holomorficznej V spełniającej dowolne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu (Laplace’a, falowe lub przewodnictwa) dowodzi się za pomocą twierdzenia Cauchy’ego.

Zagadnienie poczatkowe Cauchy,ego jest zdefiniowane w następujący sposób: (2.32) (2.33) gdzie: V(P.,t) = V - poszukiwana funkcja (całka, rozwiązanie równania różniczkowego); (P.), (P.) - zadane funkcje dla czasu t = t0, P. - punkty obszaru, w których jest poszukiwane rozwiązanie równania różniczkowego. Zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju, zwane zagadnieniem Dirichleta, jest zdefiniowane w następujący sposób: (2.34) lub (2.35) gdzie: (P), (P.,t), - zadane funkcje w punktach P. na brzegu S obszaru , w których jest poszukiwane rozwiązanie równania różniczkowego Zagadnienie brzegowe drugiego rodzaju, zwane zagadnieniem Neumanna, jest zdefiniowane w następujący sposób: (2.36) lub

(2.37) gdzie: (P), (P.,t), - zadane funkcje w punktach P. na brzegu S obszaru , w których jest poszukiwane rozwiązanie równania różniczkowego, - pochodna normalna funkcji V w punktach P. na brzegu S obszaru . Istnieje jeszcze zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju (zagadnienie Henkela), nie będzie ono miało jednak zastosowań w naszych rozważaniach, stąd zostanie pominięte. W szczególnym przypadku, gdy zadane na brzegu funkcje są równe zeru, występują jednorodne warunki brzegowe. Na granicy ośrodków należy uwzględnić warunki ciągłości skalarów i składowych wektorów. Warunki ciągłości zostaną omówione przy rozpatrywaniu poszczególnych rodzajów pól.