Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Gimnazjum i Liceum im. Michała Kosmowskiego w Trzemesznie. ID grupy: 97_59_MF_G1 Opiekun: Aurelia Tycka- Liberkowska Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa I semestr/rok szkolny: 2011/2012

Spis treści Elementy kombinatoryki Zastosowanie kombinatoryki w obliczaniu prawdopodobieństw

Elementy kombinatoryki

Wariacje k- elementowy ciąg utworzony z elementów zbioru n-elementowego. Ważna cecha - kolejność ma znaczenia. Z powtórzeniami: elementy mogą się powtarzać   Bez powtórzeń: elementy nie mogą się powtarzać

Kombinacje W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia. DEFINICJA Kombinacją k-elementową nazywamy dowolny podzbiór (k- wyrazowy) danego n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich takich kombinacji wyraża wzór:   . DEFINICJA Symbol Newtona

Permutacja DEFINICJA Ciąg utworzony z wszystkich n elementów zbioru nazywamy jego permutacją. Liczbę wszystkich permutacji danego n-elementowego zbioru obliczamy wg wzoru   .

Pojęcie kombinatoryczne Kolejność Wzór Permutacja Z n-elementów wybieramy n-elementów Istotna Kombinacja Z n-elementów wybieramy k-elementów Nieistotna Wariacja Z powtórzeniami Bez powtórzeń

Kombinacje (można obliczyć za pomocą komputera)

Ilość kombinacji szóstki w Dużym Lotku Delegacja 2 z 10 kobiet i 3 z 15 mężczyzn

Wybieramy 14 kart z 52, w tym 2 króle i 2 damy

Permutacje (można obliczyć za pomocą komputera)

Dwunastu uczniów 4 dziewczyn i 8 chłopców zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą usiąść: a) obok siebie dziewczyny a następnie chłopcy b) dowolnie

W urnie jest 5 kul z numerami od 1 do 5 W urnie jest 5 kul z numerami od 1 do 5. Losujemy po jednej kuli bez zwracania. Ile można utworzyć liczb 5-cyfrowych?

Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7 ponumerowanych miejscach? Ile jest permutacji liczb od 1-6? a)1,2,3 sąsiadują ze sobą 4∙3!∙3! b)nie sąsiadują

Cztery dziewczynki i sześciu chłopców siedzą na tym samym pniu zwalonego dębu. Dziewczynki siedzą obok siebie i chłopcy również siedzą obok siebie. Ile jest wszystkich możliwych sposobów posadzenia dzieci w ten sposób ? 4! * 6!*2=1*2*3*4*6*5*4*3*2*1*2=34560 [Matura Próbna z Operonem 2011]

Zastosowanie metod kombinatorycznych w rachunku prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięcioosobowej rodzinie wszyscy urodzili się w innym miesiącu i będą to miesiące parzyste.   [Matura 2012 Operon]

Z grupy 6 chłopców i 4 dziewczyn wybieramy losowo 3 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób będzie co najmniej 1 chłopiec. [Matura 2012 Operon]

Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięcioosobowej rodzinie wszyscy urodzili się w innym dniu tygodnia, ale nie w niedzielę. A-każdy z członków 5 osobowej rodziny urodził się w innym dniu tygodnia (oprócz niedzieli) [Matura 2012 Operon]

Ze zbioru cyfr Z={1,2,3,4,5,6,7,8,9} wylosowano 2 razy po jednej cyfrze ze zwracaniem i ułożono w kolejności losowania w liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że ta liczba jest parzysta i jej cyfry nie powtarzają się. Z={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A-utworzona liczba jest parzysta i jej cyfry się nie powtarzają

Rzucamy cztery razy monetą oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a)w pierwszym i trzecim rzucie otrzymamy orła A={(0R0R),(0000),(0R00),(000R)} |A|=4 b) co najmniej raz otrzymamy reszkę A’- ani razu nie otrzymamy orła A’={(0000)}

A- losujemy 3 liczby bez zwracania, które tworzą liczbę mniejszą od 555. A – w każdym rzucie nieparzysta liczba oczek

Źródła „Matematyka w Excelu dla szkół średnich” - Andrzej Obecny „ Matematyka 1,2,3 podręcznik dla liceum” – Wojciech Babiański Matura 2012 Zakres Rozszerzony Matematyka Operon

Dziękujemy za uwagę