Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Zawodowych im. Gerharda Domagka ID grupy: 97/47_mf_g2 Opiekun: mgr Anna Kwaśnicka Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: IV / 2011/2012

Cele: Celem niniejszego projektu jest jedno z zagadnień teorii liczb, jakim są pewne własności liczb naturalnych, związane z ich dzielnikami, takie jak liczby doskonałe, liczby doskonałe II rodzaju, liczby zaprzyjaźnione, liczby antypierwsze itp. Głównym celem i zadaniem tego projektu będzie po pierwsze znalezienie i zaprezentowanie podstawowych faktów dotyczących omawianych problemów – definicji, metod znajdowania różnych typów liczb i historii ich odkryć, a po drugie – przedstawienie aktualnego stanu wiedzy na ten temat. Jest to też związane z poszukiwaniem największej znanej liczby pierwszej, a dokładniej z poszukiwaniami tzw. liczb pierwszych Mersenne’a.

Spis treści: 1. Określenie liczb naturalnych. 2. Aksjomaty Peano. 3. Konstrukcja Fregego – Russela. 4. Liczby pierwsze i złożone. 5. Metody wyszukiwania liczb pierwszych, Sito Eratostenesa. 6. Niektóre rodzaje liczb pierwszych: Liczby bliźniacze; Liczby czworacze; Liczby izolowane; Liczby Mersenne’a 7. Test Lucasa - Lehmera

Spis treści 8. Cechy podzielności liczb. 9. Liczby doskonałe, liczby doskonałe drugiego rodzaju 10. Liczby zaprzyjaźnione. 11. Liczby palindromiczne. 12. Liczby lustrzane. 13. Liczby gnomiczne. 14. Liczby olbrzymy. 15. Liczby automorficzne.

WSTĘP Teoria liczb, czyli dział matematyki zajmujący się badaniem własności liczb naturalnych, jest obok geometrii najstarszą gałęzią matematyki, której początki wywodzą się ze starożytności. Teoria liczb przyciągała do siebie wielu wielkich matematyków. Wystarczy bowiem znać podstawy matematyki, aby zrozumieć treść problemów, które ona stawia.

LICZBY NATURALNE

JAKIE LICZBY NAZYWAMY LICZBAMI NATURALNYMI? Liczby naturalne są to liczby służące podawaniu liczności i ustalania kolejności, poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Liczby naturalne to liczby postaci: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…,81, 82, 83,…,101,102,… To czy zero należy do zbioru liczb naturalnych zależy od wyboru definicji tych liczb. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele

Liczby naturalne: Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

Jak oznaczamy liczby naturalne? Dla określenia liczb naturalnych stosuje się często oznaczenia zarówno N jak i Z+, rzadziej inne. W matematyce „liczby naturalne” oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie.

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano – włoski matematyk i logik (1858-1932) zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

Postulaty peano 1. 0 jest liczbą naturalną; 2. Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany S(a); 3. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; 4. Różne liczby naturalne mają różne następniki: a≠b => S(a) ≠ s(b)

Postulaty peano c.d. 5. Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej). Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna albo jest zerem albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Konstrukcja fregego -russela Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Działania w zbiorze liczb naturalnych W zbiorze liczb naturalnych wykonalne jest tylko dodawanie i mnożenie, ponieważ w ich wyniku otrzymamy zawsze liczby naturalne. Wyniki mnożenia i dzielenia nie zawsze są liczbami naturalnymi. Przykłady 2*4=8 jest liczbą naturalną 12+1530= 1542 jest liczbą naturalną Ale 2 : 4= 0,5 nie jest liczbą naturalną 5- 10= -5 nie jest liczbą naturalną

LICZBY PIERWSZE I ZŁOŻONE

Liczby pierwsze Liczby pierwsze to takie liczby naturalne, które mają TYLKO dwa dzielniki naturalne: jedynkę i samą siebie. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,...

Sito eratostenesa Problemem liczb pierwszych zajmowali się matematycy od bardzo dawna. Jednym z pierwszych był matematyk, astronom i filozof grecki Eratostenes z Cyreny, żyjący w III wieku przed Chrystusem. Jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, wyznaczył obwód Ziemi oraz oszacował odległość Słońca i Księżyca od Ziemi. Wymyślona przez niego metoda wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych od zadanej liczby nosi do dziś nazwę sita Eratostenesa.

Jak „działa” sito eratostenesa? Ze zbioru liczb naturalnych [ 2 ; n ], wybieramy najmniejszą liczbę ( czyli 2), a następnie skreślamy jej wielokrotności ( czyli 4, 6, 8, 10 itd.). Z pozostałych liczb naturalnych wybieramy znów najmniejszą niewykreśloną liczbę – jest nią 3, a następnie skreślamy jej wielokrotności ( czyli 6,9,12,15,18 itd.), przy czym liczby mogą być skreślone więcej niż raz ( np. 6 czy 12). Tak samo postępujemy z liczbą 5, później 7 i 11 czy 13, aż do sprawdzenia wszystkich niewykreślonych liczb.

Jak „działa” sito eratostenesa?

Możemy również wyszukiwać liczby pierwsze przy pomocy algorytmu zapisanego w języku pascal program sito eratostenesa var tablica : array[1..100] of boolean; i, b, c : integer; n : int64; begin n := 100; for i := 1 to n do tablica[i] := false; i := 1; repeat i := i + 1; b := 2 * i; tablica[b] := true; b := b + i; until (b > n); until i > sqrt(n); for i := 1 to n do begin if (not tablica[i]) then write(i, ' '); end; end.

Liczby pierwsze możemy również odszukiwać za pomocą wzorów Legendre podał wzór , który daje liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=28 Euler wskazał wzór dający liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=39 Escott zastępując we wzorze Eulera x przez x-40 otrzymał wyrażenie , które przy wartościach od x=0 do x=39 daje liczby pierwsze Wzór dla k=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 daje liczby pierwsze. Przy k=37 wzór zawodzi dając liczbę 45 812 984 491, która jest iloczynem liczby 1777 przez 25 781 083.

Niektóre Rodzaje liczb pierwszych Wśród liczb pierwszych możemy rozróżnić: - Liczby pierwsze bliźniacze - Liczby pierwsze czworacze - Liczby pierwsze izolowane - Liczby pierwsze Mersenne’a

Liczby pierwsze bliźniacze Liczby pierwsze p i q są bliźniacze jeśli p = q + 2. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73... 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych.

Liczby pierwsze czworacze To liczby pierwsze , mające postać p, p+2, p+6, p+8 Przykład 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109, czyli dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Największe znane liczby czworacze to 4104082046 × 4799! + 5651, 4104082046 × 4799! + 5653, 4104082046 × 4799! + 5657 oraz 4104082046 × 4799! + 5659, gdzie ! jest silnią n! = 1 · 2 · 3 · … · n

Liczby pierwsze izolowane Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

Liczby Mersenne’a Marin Mersenne (1588-1648) był francuskim mnichem, filozofem, matematykiem i teoretykiem muzyki. To jeden z najwszechstronniejszych uczonych wczesnego baroku. W dziele Cogniata Physico-Matematica z 1626 roku napisał, że liczby postaci 2n − 1 (nazywane dziś liczbami Mersenne'a) są pierwsze dla n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Dopiero później wykazano, że twierdzenie to jest nieprawdziwe dla dla n=67 i 257. Jeżeli Mersenne miał na myśli twierdzenie: liczba 2n − 1 jest pierwsza dla n będącego liczbą pierwszą, to nie uwzględnił on liczb n=61, 89, 107.

Liczby pierwsze mersenne’a Liczbę M(n) := 2n – 1 nazywamy n-tą liczbą Mersenne'a (dla n=0, 1, ...). Liczby pierwsze Mersenna są to liczby pierwsze, będące jednocześnie liczbami Mersenne'a. Przykłady: 3, 7, 31, 127, 8191...

Największa liczba mersenne’a Liczbę Mersenne'a M(p) można określić jako sumę p pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: 20, 21, 22, 23, 24,... Największą obecnie znaną liczbą pierwszą Mersenne'a jest  243112609 − 1. Odkrył ją 23 sierpnia 2008 roku Edson Smith w ramach projektu GIMPS. Do jej zapisania w układzie dziesiętnym potrzeba 12 978 189 cyfr.

Test Lucasa-Lehmera Pierwszość liczb Mersenne'a sprawdza się za pomocą testu Lucasa- Lehmera: Przyjmijmy S1 = 4 i następnie Sk = Sk−12 −2 Liczba Mp jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy: Sp−1 ≡ 0 mod Mp.

Przykład zastosowania testu lucasa Rozważmy M7 = 127 S1 = 4 S2 = 42 −2 = 14 S3 = 142 −2 = 194 ≡ 67 (mod 127) S4 ≡ 672 −2 = 4487 ≡ 42 (mod 127) S5 ≡ 422 −2 = 1762 ≡ 111 (mod 127) S6 ≡ 1112 −2 = 12319 ≡ 0 (mod 127) liczba M7 = 27−1 = 127 jest liczbą pierwszą.

Ile jest liczb pierwszych? Załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych, dajmy na to n, rozumował Euklides . Oznaczmy je następująco: p1, p2, p3 ,..., pn Rozważmy, zatem liczbę: W= p1 *p2 *p3 *...* pn +1 Żadna z liczb p1, p2, p3 ,... pn nie jest dzielnikiem liczby W ( bo jest dzielnikiem liczby W-1). Zatem muszą istnieć jeszcze inne liczby pierwsze będące dzielnikami liczby W (być może samo W jest pierwsze), co oczywiście przeczy temu, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. WNIOSEK Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Liczby złożone Liczby naturalne, które nie są liczbami pierwszymi nazywamy liczbami złożonymi. Liczby złożone to takie liczby naturalne, które posiadają więcej niż dwa dzielniki naturalne. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …

Liczby złożone możemy przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych Przykłady: 4= 2*2 12= 2*2*3 24 = 2*2*2*3 15 = 5*3 125 = 5*5*5 2001 = 3*23*29

0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi UWAGA!!! 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi

CECHY PODZIELNOŚCI LICZB

Cechy podzielności liczb naturalnych Czasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć czy liczba ta dzieli się przez inną bez reszty. Są metody, które pozwalają rozstrzygnąć taką podzielność nie używając przy tym kalkulatora lub kartki z ołówkiem. A oto niektóre z nich:

Cecha podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: 2, 4, 6, 8 albo 0. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 2, ponieważ jest parzysta (ostatnia cyfra liczby wynosi 0)

Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 3, ponieważ suma cyfr: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 3.

Cecha podzielności przez 4 Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez 2. Przykład Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 4, ponieważ liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr: 90 nie jest podzielna przez 4.

Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

Cecha podzielności przez 6 Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 6, ponieważ jest parzysta i suma cyfr: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 3.

Cecha podzielności przez 7 Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez 7. Aby dowiedzieć się czy liczba dzieli się przez 7 tą metodą, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry (o ile posiada) i od tak powstałej liczby odejmujemy skreśloną. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 - to liczba wyjściowa, także dzieli się przez 7. Przykład Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 7, ponieważ suma 890 - 567 + 234 - 1 = 556 nie jest podzielna przez 7.

Cecha podzielności przez 8 Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez 2. Przykład Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 8, ponieważ liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr 890 nie jest podzielna przez 8.

Cecha podzielności przez 9 Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 9.

Cecha podzielności przez 10 Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 10, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

Cecha podzielności przez 11 Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) dzieli się przez 11. Przykład Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 11, ponieważ różnica (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8 + 0) = 5 nie jest podzielna przez 11.

LICZBY DOSKONAŁE

Liczby doskonałe Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą. Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

Liczby doskonałe CIEKAWOSTKA Pierwsza liczba doskonała to 6. Dzielnikami jej są liczby: 1, 2, 3, 6 6 = 1 + 2 + 3 Druga liczba doskonała to 28. Dzielnikami jej są liczby: 1, 2, 4, 7, 14, 28 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy. CIEKAWOSTKA

Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides On też zauważył, że jeśli liczby p i są pierwsze, to liczba postaci jest liczbą doskonałą. 496 i 8128

Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler ( w roku 1732 znalazł liczbę doskonałą dla p=31, która jest równa 2305843008139952128 i przez 150 lat pozostawała największą liczbą pierwszą). Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1). Liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki Przykład 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1 , gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991).

Liczby doskonałe drugiego rodzaju Liczbami doskonałymi drugiego rodzaju są liczby równe iloczynowi ich podzielników bez danej liczby. Przykłady: Wobec powyższego liczba 6 jest liczbą najdoskonalszą, bo oraz

Poniższa tabela ilustruje znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły: Liczby doskonałe 2 3 5 7 13 17 19 31 … 4 16 64 4096 65 536 262 144 1 073 741 824 127 8 191 131 071 524 287 2 147 483 647 6 28 496 8128 33 550 336 8 589 869 056 137 438 691 328 2 305 843 008 139 952 128

Liczbami doskonałymi są również liczby: 223 208(223 209-1), 244 496(244 497-1). Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tys. cyfr. * Liczba doskonała: 26972592(26972593-1) ma 4 197 919 cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku. * Liczba: 213466916(213466917-1) także jest doskonała. * Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 230402456·(230402457-1) – liczy ona 18 304 103 cyfr! * Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Ciekawostki:

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

Liczby zaprzyjaźnione Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej ( nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości

Liczby zaprzyjaźnione Pierwszą parą takich liczb, podana przez Pitagorasa jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220) Inne pary liczb zaprzyjaźnionych to na przykład : 1184 i 1210, 2620 i 2924, 141664 i 153176 Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz

Ciekawostki o liczbach zaprzyjaźnionych Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju 2001 roku znaleziono już aż 2122263 pary takich liczb. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.

LICZBY PALINDROMICZNE

Liczby palindromiczne Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a (1805-1894) francuskiego inżyniera, który kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje się epitafium następującej treści: Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również liczby. A MAN A PLAN A CANAL PANAMA

Liczby palindromiczne Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, 1111111... Każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

Istnieje nieskończenie wiele liczb palindromicznych

LICZBY LUSTRZANE

LICZBY LUSTRZANE Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem Przykłady 23 - 32 5693 – 3965 Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11, np. 1221:11=192.

LICZBY GNOMICZNE

Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby n 2n+1 n² ( n + 1 )² 1 3 4 2 5 9 7 16 25 11 36 6 13 49

LICZBY OLBRZYMY

Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

Poniższa tabela przedstawia nazwy dużych liczb i ich zapis W postaci dziesiętnej i potęgi o podstawie 10 jeden 1 100 tysiąc 1 000 103 milion 1 000 000 106 miliard 1 000 000 000 109 bilion 1 000 000 000 000 1012 biliard 1 000 000 000 000 000 1015 trylion 1 000 000 000 000 000 000 1018 tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 kwadrylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 kwadryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1027 kwintylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1030 kwintyliard 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1033 sekstylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1036 sekstyliard ... 1039 septylion 1042 septyliard 1045 oktylion 1048 oktyliard 1051 nonilion 1054 noniliard 1057 decylion 1060 centylion 10100 centezylion 10600

LICZBY AUTOMOFRICZNE

Liczby automorficzne to takie liczby, których kwadrat kończy się tymi samymi cyframi, co sama liczba. Przykład 6252 = 390625

CIEKAWCIEKAWE ZADANKO Uczeń Platona i Sokretesa wybrał takie dwie liczby naturalne większe od 1, których suma jest mniejsza od 20. Platon poznał sumę tych liczb, a Sokrates ich iloczyn. Każdy z nich znał tylko swoją liczbę i obaj wiedzieli, że mają sumę i iloczyn pewnych liczb. Potem Platon i Sokrates przeprowadzili następującą rozmowę: Sokrates - Nie wiem jakie to liczby. Platon - Wiedziałem, że nie będziesz wiedział. Sokrates - A teraz to już wiem. Platon - A teraz to ja też wiem. Jakie liczby wybrał uczeń Platona i Sokratesa?

Rozwiązaniem jest. brak rozwiązania, ponieważ: 1 Rozwiązaniem jest ... brak rozwiązania, ponieważ: 1. Sokrates, który znał iloczyny nie był w stanie podać rozwiązania, gdyż znany mu iloczyn nie był unikalny. Po wypisaniu wszystkich kombinacji liczb spełniających warunki zadania takie iloczyny to: 12, 16, 18, 20, 24, 28 ,30, 32, 36, 40, 42, 45 ,48, 56, 60, 70 i 72 (inne, czyli 4, 6, 8, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 27, 33 ,34 ,35, 39, 44, 49, 50, 52, 54, 55, 63, 64, 65, 66, 77, 78, 80, 81, 84, 88, 90 dają od razu jednoznaczne rozwiązanie). 2. Platon, znając sumę, miał pewność, że Sokrates trafi na taki niejednoznaczny iloczyn. Przeglądając możliwe rozwiązania stwierdzamy, że jedynie dla sumy równej 11 wszystkie możliwe rozwiązania mają nieunikalne iloczyny - stąd właśnie pewność Platona. Możliwe rozwiązania to: (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) 3. W tym momencie Sokrates znał już iloczyn i sumę (na podstawie identycznego jak wyżej rozumowania) i mógł podać rozwiązanie. 4. Niestety wiedza Platona (oraz nasza) nie zmieniła się (znał ciągle tylko sumę) i jego ostatnie zdanie nie może być prawdą.

Bibliografia www.wikipedia.pl www.math.edu.pl 3. Wacław Sierpiński, Wstęp do teorii liczb ,WSiP Warszawa 1987 4. www.askompetencji.eduportal.pl/ 5. W. Sierpiński, Teoria liczb, PAN, Warszawa 1959 6. http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_dosk.php 7. Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, Wydawnictwa Szkole i Pedagogiczne , Warszawa 1988 8. http://gazetka_matematyczna.republika.pl/ciekawostki_o_liczbach.htm 9. http://mozgowiec.pl/index.php/trudne/