ZBIORY PRZYBLIŻONE

Geneza wykładu Zbiory przybliżone są teorią opisaną na początku lat osiemdziesiątych przez prof.. Zdzisława Pawlaka. Stosuje się je do analizy danych gromadzonych w postaci tabelarycznej. W szczególności można uznać, że zbiory przybliżone to przykład na zastosowanie relacji równoważności, pewnego specjalnego rodzaju logiki (logiki decyzyjnej) oraz algebry Boole`a (w szczególności funkcji Boolowskich). Stąd na tematykę związaną z podstawowymi pojęciami zbiorów przybliżonych (ang. Rough Sets) przeznaczymy 1.5 – 2 wykładów . Teoria (zwłaszcza jej różne uogólnienia) doczekała się wielu zastosowań praktycznych: medycyna, przemysł, biznes, marketing itp. Można śmiało powiedzieć, że jest POLSKĄ specjalnością (prof. Pawlak, prof. Skowron, prof. Słowiński, prof. Mrózek, ........................)

Założenia Teoria zbiorów przybliżonych proponuje nowe spojrzenie na wiedzę i jej reprezentację, u podstaw którego leży przekonanie, że wiedza to zdolność do klasyfikacji. Przez klasyfikację rozumie się zdolność do odróżniania obiektów -elementów otaczającej rzeczywistości. Klasyfikacji dokonujemy na podstawie znajomości cech, jakie dany obiekt lub grupa obiektów posiada. Tak więc, do zdefiniowania wiedzy musimy mieć pewien zbiór obiektów, które chcemy klasyfikować oraz zbiór cech, które te obiekty opisują. Definicja 1.1 System informacyjny Systemem informacyjnym nazywamy parę uporządkowaną A=(U,A), gdzie: -  U - jest skończonym, niepustym zbiorem obiektów zwanym uniwersum; -  A - jest skończonym, niepustym zbiorem atrybutów odzwierciedlających własności (cechy) obiektów uniwersum, każdy atrybut aA jest funkcją a:UVa, gdzie Va jest zbiorem wartości atrybutu a, zwanym zakresem atrybutu a.

System informacyjny Przykład: Obiekty umieszczono w wierszach Cechy opisujące te obiekty w kolumnach Jak widać, cechy mogą być różnego typu w szczególności liczby, napisy, kody napisów UWAGA: W naszych rozważaniach ograniczymy się do atrybutów typu symbolicznego. Czyli takich atrybutów, które przyjmują wartości z ograniczonego zbioru. Zakładamy również, że nie istnieje żaden porządek pomiędzy tymi wartościami.

Atrybuty, pojęcie, klasyfikacja Zbiory przybliżone mogą operować również na atrybutach numerycznych (dyskretyzacja – ustalenie podziału zakresu wartości atrybutu) i symbolicznych uporządkowanych. Każdy podzbiór XU nazywamy pojęciem. Jak łatwo zauważyć, każde pojęcie X ustala na zbiorze uniwersum U podział na obiekty należące (uX) i nie należące (uU\X) do pojęcia X. Zgodnie z definicją podziału prawdziwe są własności U=XU\X oraz XU\X=. W bardziej ogólnym przypadku zamiast dzielić U na dwa podzbiory można podzielić go (w sensie mnogościowym) za pomocą większej liczby pojęć. Podział taki nazywamy klasyfikacją. Dla klasyfikacji prawdziwa jest własność U= , gdzie Xi są pojęciami tworzącymi klasyfikację.

Tablica decyzyjna Szczególnym rodzajem systemu informacyjnego jest tablica decyzyjna. W tablicy decyzyjnej zbiór atrybutów podzielony jest na dwa niepuste i rozłączne podzbiory, z których jeden nazywany jest zbiorem atrybutów warunkowych, a drugi zbiorem atrybutów decyzyjnych. W zastosowaniach praktycznych przyjmuje się, że zbiór atrybutów decyzyjnych jest jednoelementowy. Definicja Tablica decyzyjna Niech A=(U,A) będzie systemem informacyjnym oraz C,DA i C  , D  , CD=  , A=CD. Czwórkę DT=(U,A,C,D) nazywamy tablicą decyzyjną. Elementy zbioru C nazywamy atrybutami warunkowymi, elementy zbioru D nazywamy atrybutami decyzyjnymi. W praktyce przyjmujemy oznaczenie DT=(U,A{d}) , zakres wartości atrybutu a oznaczać będziemy Va Definicja Klasa decyzyjna Niech DT=(U,A{d}) będzie tablicą decyzyjną oraz vVd; zbiór Xv={uU: d(u)=v} nazywamy klasą decyzyjną tablicy DT odpowiadającą wartości v atrybutu decyzyjnego.

Przykład DT Przykład: Zbieramy informacje historyczne o pacjentach i zapisujemy jakie mieli objawy. Zauważmy, że są to informacje historyczne, więc w polu diagnoza są zweryfikowane wartości C, Z. Otrzymujemy klasyfikację zbioru pacjentów na tych, którzy mieli i nie mieli anginy Oczywiście możemy mieć więcej atrybutów warunkowych oraz mogą one być inaczej określone np. Temperatura ={ Bardzo wysoka, Wysoka, W normie, Stan podgorączkowy} Możemy mieć więcej obiektów (przebadanych pacjentów) Tablica opisuje pewien interesujący nas fragment rzeczywistości

Wybrane cele analizy DT Za pomocą atrybutów warunkowych (wartości ich atrybutów) utworzyć opisy klas decyzyjnych INNYMI SŁOWY Podać, w jaki sposób wartości atrybutu decyzyjnego zależą od wartości atrybutów warunkowych Językiem opisu każdej klasy są reguły decyzyjne IF zbiór_warunków THEN decyzja np. IF Temperatura=Tak and Boli_gardło=Tak THEN C-chory Sprawdzić, czy bez utraty informacji na temat odróżniania obiektów z różnych klas decyzyjnych, da się usunąć z tablicy decyzyjnej jakieś atrybuty warunkowe 4. Na podstawie utworzonych regułowych opisów klas decyzyjnych automatycznie (w sposób algorytmiczny) klasyfikować obiekty do odpowiadających im klas a) obiekty z DT b) obiekty nowe dotychczas nieznane (nie ma ich w DT)

Zbiory przybliżone Każda cecha (atrybut warunkowy) poprzez swój zbiór wartości ustala klasyfikację zbioru uniwersum, różne cechy mogą ustalać różne klasyfikacje. Klasyfikację uniwersum można także otrzymać rozpatrując pewien podzbiór cech równocześnie. Klasyfikacja pozwala określić w zbiorze U dwuargumentową relację równoważności zwaną relacją nierozróżnialności. Definicja Relacja nierozróżnialności Niech A=(U,A) będzie systemem informacyjnym oraz BA. Relacją nierozróżnialności generowaną przez zbiór B nazywamy dwuargumentową relację w zbiorze U zdefiniowaną w następujący sposób: INDB={<x,y>UU: aB a(x)=a(y)} Do klas abstrakcji tej relacji należą te obiekty z U, które są nierozróżnialne ze względu na cechy, jakie reprezentuje zbiór atrybutów B. Każdą klasę abstrakcji relacji INDB nazywamy zbiorem B-elementarnym.

Zbiory przybliżone Zbiory B-elementarne relacji INDB pozwalają zdefiniować dowolne pojęcie. Mówimy, że pojęcie XU jest B-definiowalne, jeżeli X jest sumą mnogościową pojęć B-elementarnych, w przeciwnym przypadku pojęcie X jest B-niedefiniowalne. Kiedy pojęcie jest B-niedefiniowalne możemy jednak za pomocą zbiorów B-elementarnych skonstruować B-przybliżony opis pojęcia X. -

Dokładność pojęcia, DT - sprzeczna

Obszar pozytywny DT, jakość klasyfikacji Analizując tablicę decyzyjną, chcemy na podstawie wiedzy o wartościach atrybutów warunkowych wskazywać, do jakiej klasy decyzyjnej należy dowolny obiekt z uniwersum. Interesujące jest zatem wskazanie obiektów, które możemy zaklasyfikować jednoznacznie do klas decyzyjnych.

Przykłady Przykład: 1. U\IND({Temperatura})={ {u1,u2,u5}, {u3,u4,u6} } 2. U\IND({Ropa .... })={ {u1}, {u2, u5, u6}, {u3, u4} } 3. U\IND({Temperatura, Ropa ...})={ {u1}, {u2, u5}, {u6}, {u3,u4} } 4. U\IND(A)={ {u1}, {u2}, {u3}, {u4}, {u5}, {u6} } A- wszystkie atrybuty Pojęcie C-chory={u1,u2,u5} z pkt widzenia podziału 1. jest B-definiowalne B={Temperatura}, ale jeśli B={Ropa na migdałkach}, to pojęcie C-chory nie jest B-definiowalne.

Przykład cd. Przykład: U\IND({Ropa .... })={ {u1}, {u2, u5, u6}, {u3, u4} } B={Ropa na migdałkach} C-chory={u1,u2,u5} pojęcie to nie jest B-definiowalne Można jednak podać B-górne i B-dolne przybliżenia tego pojęcia B-dolne={u1} - u1 jest z pewnością reprezentantem pojęcia C-chory B-górne={u1}{u2,u5,u6} BN={u2,u5,u6} - te obiekty być może są reprezentantami pojęcia C-chory Zatem współczynnik dokładności pojęcia C-chory, jeśli próbuje je zdefiniować tylko za pomocą atrybutu Ropa na migdałkach, wynosi 0.25.

Przykład cd. Przykład: U\IND({Ropa .... })={ {u1}, {u2, u5, u6}, {u3, u4} } B={Ropa na migdałkach} C-chory={u1,u2,u5} pojęcie to nie jest B-definiowalne Z-zdrowy={u3,u4,u6} również nie jest B-definiowalne Klasyfikacja przez atrybut decyzyjny U\IND({d-diagnoza})={ {u1, u2, u5}, {u3, u4,u6} } Obszar B-pozytywny POSB(d)={ u1, u3,u4 } - suma B-dolnych przybliżeń klas decyzyjnych Współczynnik jakości klasyfikacji dla naszego zbioru B i klas decyzyjnych – 0.5