Logika Kategoryjna Michał R. Przybyłek.

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Niezawodności sieci telekomunikacyjnych
Advertisements

Co to jest matematyka dyskretna?
Teoria układów logicznych
Wyobraźcie sobie, że przychodzicie do domu i mama
Metody badania stabilności Lapunowa
II Relacje i relacje równoważności
Materiały pomocnicze do wykładu
DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska.
Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G)
Zadania przygotowawcze na egzamin
Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania
Grażyna Mirkowska PJWSTK 15 listopad 2000
Funkcje Barbara Stryczniewicz.
Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Kolorowanie grafów Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem nieskierowanym bez pętli. Kolorowaniem wierzchołków grafu nazywa się przypisanie wierzchołkom.
Homologia, Rozdział I „Przegląd” Homologia, Rozdział 1.
Wykład 6 Najkrótsza ścieżka w grafie z jednym źródłem
Relacyjny model danych
Historia liczby.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
-skeletony w przestrzeniach R 2 i R 3 Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski.
Komunikacja w systemach rozproszonych
Matematyka Geometria.
WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy
WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa
WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.
WYKŁAD 8. Siła spójności Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy.
WYKŁAD 8. Siła spójności A,B – dowolne podzbiory V(G)
WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne
GRAFY PLANARNE To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się (poza swoimi końcami). Na przykład K_4, ale nie K_5.
ZBIÓR LICZB NATURALNYCH, DZIAŁANIA W ZBIORZE N
FUNKCJE Autor: Wiesława Przewuska.
Materiały pomocnicze do wykładu
Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych
Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK
Klasyfikacja Obcinanie drzewa Naiwny klasyfikator Bayes’a kNN
Macierz incydencji Macierzą incydencji grafu skierowanego D = (V, A), gdzie V = {1, ..., n} oraz A = {a1, ..., am}, nazywamy macierz I(D) = [aij]i=1,...,n,
Algorytmy grafowe Reprezentacja w pamięci
Hipergrafy Hipergraf jest rozszerzeniem pojęcia grafu. Hipergraf różni się od grafu nieskierowanego tym, że każda hiperkrawędź może być incydentna do dowolnej.
LICZBY RZECZYWISTE PODZBIORY ZBIORU LICZB RZECZYWISTYCH
FUNKCJE.
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
Algebra Boole’a.
WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja.
GEOMETRIA PROJEKT WYKONALI: Wojciech Szmyd Tomasz Mucha.
Przepływy w sieciach. Twierdzenie minimaksowe.
Współrzędne jednorodne
O relacjach i algorytmach
Metody Lapunowa badania stabilności
IV OTWARTE MISTRZOSTWA OPOLA W PROGRAMOWANIU ZESPOŁOWYM
Jednego z najważniejszych pojęć matematyki.
Trójkąty.
FUNKCJE.
Liczby rzeczywiste ©M.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Politechniki Poznańskiej
Funkcje Barbara Stryczniewicz Co z tym zrobisz Ćwiczenia wstępne Opis funkcji,elementy Własności funkcji 4 Sposoby przedstawiania funkcji 5.
Model obiektowy bazy danych
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP. Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak,
Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych
Przeszukiwanie wszerz
GRA CHOMP. Czym jest chomp? Jest to gra dla dwóch osób, rozgrywana na prostokątnej tablicy, zwanej „tabliczką czekolady”
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów
LICZBY NATURALNE I CAŁKOWITE Gimnazjum w Blachowni Hej, mam na imię Zbigniew! Jestem nauczycielem matematyki. Dziś wprowadzę was w cudowny świat liczb.
Liczby naturalne i całkowite Spis treści Definicje Działania na liczbach Wielokrotności liczb naturalnych Cechy podzielności Przykłady potęg,potęgi o.
Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0,1,2,3,..., 127,... Liczby naturalne poznaliśmy już wcześniej; służą one do liczenia przedmiotów. Zbiór liczb.
Działania na grafach Autor: Anna Targońska.
Matematyka przed egzaminem czyli samouczek dla każdego
Zapis prezentacji:

Logika Kategoryjna Michał R. Przybyłek

Szkice słonia Teoria kategorii jest o abstrakcji spostrzegamy, że w różnych gałęziach matematyki istnieją podobne konstrukcje i próbujemy je opisać w jeden zuniformowany sposób Teoria kategorii jest o bezelementowym podejściu do uprawiania matematyki

Opisy subiektywne i relatywne Arystoteles Galileusz

Opisy wewnętrzne i zewnętrzne Ustrukturyzowane elementy Relatywne zachowanie

Uogólnione (multi)grafy

Kategorie Kategoria składa się z kolekcji: Wierzchołków Obj Ścieżek Mor Każda ścieżka f z Mor ma przyporządkowany swój wierzchołek źródłowy A i docelowy B, co będziemy zapisywać f : A -> B Dla każdych dwóch ścieżek f : A -> B i g : B -> C istnieje ścieżka f#g : A -> C Dla każdego wierzchołka A istnieje ścieżka zerowa iA : A -> A Ponadto zachodzą następujące prawa: (f#g)#h = f#(g#h) dla dowolnych kompatybilnych ścieżek f, g, h f#iB = f, iA#f = g dla dowolnego f : A -> B

Przykłady kategorii Graf Liczby naturalne z porządkiem Liczby rzeczywiste z porządkiem Zbiory i funkcje Zbiory i funkcje częściowe Monoid Algebry nad ustaloną sygnaturą i homomorfizmy Przestrzenie topologiczne i przekształcenia ciągłe

Charakteryzacje wierzchołków

Charakteryzacja ścieżek f : A -> B jest mono, jeżeli dla dowolnego wierzchołka W i ścieżek x, y : W -> A zachodzi: x#f = y#f => x = y f : A -> B jest epi, jeżeli dla dowolnego wierzchołka W i ścieżek x, y : B -> W zachodzi: f#x = f#y => x = y f : A -> B jest split mono, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że f#g = iA f : A -> B jest split epi, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że g#f = iB f : A -> B jest izo, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że f#g = iA oraz g#f = iB

Esencje pojęć Produkty Kartezjańskie

Systemy dedukcyjne Aksjomaty Reguły

Homomorfizmy

Struktury

Funktory Funktor F z kategorii C do kategorii D to para funkcji F0 : Obj(C) -> Obj(D), F1 : Mor(C) -> Mor(D) zachowująca: źródła i cele - tj. dla dowolnej ścieżki f : A -> B zachodzi: F1(f) : F0(A) -> F0(B) złożenia - tj. dla dowolnej pary składalnych morfizmów f, g zachodzi: F1(f#g) = F1(f)#F1(g) identyczności - tj. F1(iA) = iFo(A)

Przykłady funktorów Homomorfizm grafów Włożenia Mnożenie Kartezjańskie Potęgowanie Struktura podzbioru Struktura listy Struktura drzewa