Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Co to jest geniusz? Gen i już.” Hugo Steinhaus

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH. Układy współrzędnych zostały stworzone po to, by móc w dokładny sposób określić położenie ciała fizycznego czy po prostu punktu. Oprócz układów współrzędnych kojarzonych bezpośrednio z matematyką takich jak oś liczbowa, kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni istnieje wiele innych układów, np. szerokość i długość geograficzna, numerowane pola na planszy do gry w szachy czy nawet w popularne „statki” itp.

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH. KARTEZJAŃSKICH. Prostokątny układ współrzędnych to dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe o wspólnym punkcie (0, 0) zwanym początkiem układu współrzędnych

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH. KARTEZJAŃSKICH. Oś poziomą (OX) nazywamy osią odciętych, natomiast oś pionową (OY) – osią rzędnych. Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części –ćwiartki układu.

WSPÓŁRZĘDNE. Położenie każdego punktu w układzie współrzędnych można określi za pomocą współrzędnych. Zawszę jako pierwszą podajemy współrzędną odczytywaną na osi X, a jako drugą tę, którą odczytujemy na osi Y. P = (x, y)

WSPÓŁRZĘDNE. Na układzie zamieszczonym obok zaznaczono punkty o następujących współrzędnych: A = (3, 4) B = (0, 3) C = (1, 0) D = (-4, 2) E = (-3, 0) F = (-2, -5) G = (0, -2) H = (5, -3)

WSPÓŁRZĘDNE. Znak współrzędnych pozwala określić w której ćwiarce układu znajduje się punkt: (+, +) I ćwiartka (-, +) II ćwiartka (-, -) III ćwiartka (+, -) IV ćwiartka

WSPÓŁRZĘDNE. Punkty, których pierwsza współrzędna jest równa zero, leżą na osi OY. Np.: (0, 5) (0, 2) (0, -1) (0, -7)

WSPÓŁRZĘDNE. Punkty, których druga współrzędna jest równa zero, leżą na osi OX. Np.: (-5, 0) (-4, 0) (2, 0) (5, 0)

WSPÓŁRZĘDNE. Punkty, których pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi a drugie są takie same leżą w takiej samej odległości od osi OY po przeciwnych jej stronach (są do siebie symetryczne względem osi OY) Np.: (-3, 2) i (3, 2)

WSPÓŁRZĘDNE. Punkty, których drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi a pierwsze są takie same leżą w takiej samej odległości od osi OX po przeciwnych jej stronach (są do siebie symetryczne względem osi OX) Np.: (1, 3) i (1, -3)

WSPÓŁRZĘDNE. Odcinki, których końce mają takie same pierwsze współrzędne są równoległe do osi OY. Aby policzyć ich długość wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy drugich współrzędnych. Np.: A = (3, 4) i B = (3, -2) |AB| = |4 – (-2)| = |6| = 6

WSPÓŁRZĘDNE. Odcinki, których końce mają takie same drugie współrzędne są równoległe do osi OX. Aby policzyć ich długość wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy pierwszych współrzędnych. Np.: A = (-3, -2) i B = (2, -2) |AB| = |-3 – 2| = |-5| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1. Odczytaj z rysunku współrzędne punktów. Przy punkcie A zaznaczyliśmy sposób odczytywania współrzędnych. Mamy więc: A = (-3, 1) B = (-2, 4) C = (-2, -2) D = (1, 1) E = (4, -3)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 2. Narysuj układ współrzędnych, dobierz odpowiednią jednostkę i zaznacz punkty: Żeby w łatwy sposób zaznaczyć podane punkty, należy obrać jednostkę, która będzie się składała z 6 mniejszych części, np. 1 na układzie to 6 kratek w zeszycie. Współrzędne punktu B łatwo sprowadzić do postaci z mianownikiem 6:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 2 – ciąg dalszy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 3. Punkty A, B i C są wierzchołkami prostokąta. Podaj współrzędne czwartego wierzchołka. A = (-3, -1), B = (2, -1), C = (2, 4) Najłatwiej jest zaznaczyć te punkty w układzie współrzędnych, dorysować brakujący punkt i odczytać jego współrzędne.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 3 – ciąg dalszy. Z rysunku wynika, że współrzędne czwartego wierzchołka D = (-3, 4).

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 4. Określ, w której ćwiartce układu leżą punkty: A = (45, 78) ; B = (-257, 1209) ; C = (123, -4) ; D = (- 26; -65) ; E = (345; -243) ; F = (500; 321) ; G = (-43; 56) ; H = (23; 89) Wystarczy spojrzeć na znaki współrzędnych i skorzystać z tabeli z planszy 7. (+, +) I ćwiartka A; F; H (-, +) II ćwiartka B; G (-, -) III ćwiartka D (+, -) IV ćwiartka C; E

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 5. Oblicz obwód narysowanego wielokąta. Jedna kratka na rysunku odpowiada odcinkowi jednostkowemu (o długości 1), wystarczy więc policzyć ile kratek zajmuje każdy z boków wielokąta a następnie dodać je do siebie. Ob = 28.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 5. Oblicz długość odcinków o podanych końcach bez rysowania ich. A = (-6, 3) ; B = (10, 3) Drugie współrzędne tych punktów są takie same, więc aby obliczyć długość tego odcinka wystarczy podać odległość między pierwszymi współrzędnymi: |AB| = |-6 – 10| = |-16| = 16 b) C = (2, -9) ; D = (2, 8) |CD| = |-9 – 8| = |-17| = 17