Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

GRANIASTOSŁUPY

Graniastosłup to figura przestrzenna, której podstawami są dwa przystające wielokąty zawarte w płaszczyznach równoległych; krawędzie boczne są do siebie równoległe. podstawa ściana boczna wierzchołek krawędź podstawy krawędź boczna

PODZIAŁ GRANIASTOSŁUPÓW: trójkątny – podstawą jest dowolny trójkąt czworokątny – podstawą jest czworokąt pięciokątny – podstawą jest pięciokąt sześciokątny – podstawą jest szęściokąt itd……

II prosty – graniastosłup, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy; pochyły – graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy; prawidłowy – graniastosłup prosty o podstawie wielokąta foremnego

Do rozwiązywania zadań potrzebne będą wzory na pole powierzchni (P) i objętość (V) dowolnego graniastosłupa. P=2·Pp+Pb V=Pp·H Pp – pole podstawy Pb - pole powierzchni bocznej H - wysokość graniastosłupa

Oblicz pole i objętość sześcianu o boku długości 8,5cm. Przykład 1. Oblicz pole i objętość sześcianu o boku długości 8,5cm. Zaczniemy od zapisania odpowiednich wzorów na pole i objętość figury przestrzennej, która ma sześć ścian, a każda ściana jest kwadratem. P=6·a2 P=6· (8,5)2=6·72,25=433,5 [cm2] V=a3 V=(8,5)3=614,125 [cm3] Odp: Pole powierzchni sześcianu wynosi 433,5 cm2, a jego objętość 614,125 cm3. a=8,5

Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa, Przykład 2. Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa, w którym wysokość ma długość 8cm, podstawą jest kwadrat o boku długości 4cm. Podstawą jest kwadrat, każda ściana boczna jest prostokątem o wymiarach: 4cm x 8cm Pp=a2 Pp=42=16 [cm2] h=8cm a=4cm

Pb=4·a·H Pb=4·4·8=128 [cm2] P=2·Pp+Pb P=2·16+128=160 [cm2] V=Pp·H V=16·8=128 [cm3] Odp: Pole powierzchni graniastosłupa o podstawie kwadratowej wynosi 160 cm2, a jego objętość wynosi 128 cm3.

Oblicz pole i objętość prostopadłościanu Przykład 3. Oblicz pole i objętość prostopadłościanu o wysokości 5cm; w którym podstawą jest prostokąt o wymiarach: 3cm i 2,5cm. Oblicz pole przekroju płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy. Pp=a·b Pp =2,5·3=7,5 [cm2] Pb=2·a·H+2·b·H Pb=2·2,5·5+2·3·5=55 [cm2] P=2·Pp+Pb P=2·7,5+55=70 [cm2] h=5cm b=3cm a=2,5cm

Odp: Pole powierzchni prostopadłościanu wynosi 70cm2, V=Pp·H V=7,5·5=37,5 [cm3] Jeżeli poprowadzimy płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy to w przekroju otrzymamy prostokąt o wymiarach podstawy. Pprzekroju =a·b Pprzekroju =2,5·3=7,5 [cm2] Odp: Pole powierzchni prostopadłościanu wynosi 70cm2, a jego objętość wynosi 37,5cm3 . Pole przekroju wynosi 7,5cm2.

Przykład 4. Oblicz pole i objętość graniastosłupa o podstawie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości: 3cm i 4cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 11cm. Pp=½·a·b Pp=½·3·4=6 [cm2] Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej. c2=a2+b2 c2=32+42 c2=9+16=25 c=5 lub c=-5 - odpada c a=3cm b=4cm

Pb=aH+bH+cH Pb=3·11+4·11+5·11=33+44+55 Pb=132 [cm2] P=2·Pp+Pb P=2·6+132=12+132=144 [cm2] V=Pp·H V=6·11=66 [cm3] Odp: Pole powierzchni graniastosłupa wynosi 144cm2, jego objętość 66cm3.

Przykład 5. Oblicz pole i objętość graniastosłupa, w którym podstawą jest sześciokąt foremny o boku 2cm, wysokość graniastosłupa jest 3 razy większa od długości krawędzi podstawy. Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Pp = 6·PΔrównobocznego [cm2]

Pb=6·a·H Pb=6·2·6=72 [cm2] P=2·Pp+Pb [cm2] V=Pp·H [cm3] Wysokość graniastosłupa jest trzy razy większa od długości krawędzi podstawy, czyli ma 6cm. Pb=6·a·H Pb=6·2·6=72 [cm2] P=2·Pp+Pb [cm2] V=Pp·H [cm3] Odp: Pole graniastosłupa wynosi cm2, a jego objętość cm3.

Przykład 6. Oblicz pole i objętość graniastosłupa, w którym podstawą jest trapez równoramienny o wymiarach: 4cm, 5cm, 12cm, 5cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 10cm. Zajmiemy się najpierw podstawą. Obliczymy wysokość trapezu, a potem jego pole. (rys obok) 52=42+h2 h2=52-42 h2=25-16=9 h=3 lub h=-3 – odpada 4cm 5cm 5cm h 12cm

Pp=½·(a+b)·h Pp=½·(4+12)·3=24 [cm2] H=10cm. Pb=2·5·10+12·10+4·10 Pb=260 [cm2] P=2·Pp+Pb P=2·24+260 P=48+260 P=308 [cm2] V=Pp· H V=24·10=240 [cm3] Odp: Pole graniastosłupa wynosi 308cm2, jego objętość 240cm3.