Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

ZASTOSOWANIE TRYGONOMETRII OSTROSŁUPY ZASTOSOWANIE TRYGONOMETRII

Do obliczania pól i objętości ostrosłupów potrzebne będą funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. x - przyprostokątna y - przyprostokątna przyległa z - przeciwprostokątna z x α y

Pp=a2 Pp=42=16 [cm2] α Przykład 1. Oblicz pole i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 4cm, kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 45°. Dane: a=4cm =45˚ Szukane: P, V. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Obliczymy jego pole. Pp=a2 Pp=42=16 [cm2] S H h C D α O E A B a

α Wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczamy długości odcinków SO i SE . S ΔSOE - prostokątny h H α O E ½a

Odp: Pole powierzchni figury wynosi cm2 jej objętość wynosi cm3.

Pp=a2 Pp=22=4 [cm2] α Przykład 2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 2cm, krawędź boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole i objętość figury. Dane: a=2cm =60˚ Szukane: P, V. Pp=a2 Pp=22=4 [cm2] Odcinek AC jest przekątną kwadratu, Odcinek OC – połową przekątnej. S H h α C D c O E A B a

c= lub c= – rozwiązanie ujemne Trójkąt ABC jest prostokątny. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej AC. ΔABC – prostokątny c2=a2+a2 c2=22+22 c2=4+4 c2=8 c= lub c= – rozwiązanie ujemne odpada

Trójkąty SOC i SOE są prostokątne. Wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczamy długość wysokości ostrosłupa; wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej. ΔSOC – prostokątny ΔSOE – prostokątny lub -odpada

Odp: Pole powierzchni figury wynosi cm2, jej objętość wynosi cm3.

Przykład 3. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź boczna długości 6cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30˚. Oblicz objętość ostrosłupa. Dane: x=6cm =30˚ Szukane: V. Sześciokąt foremny, który jest w podstawie składa się z sześciu trójkątów równobocznych. S H x F E α D O A a B a C

Trójkąt SOC jest prostokątny. Wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczamy długości nieznanych odcinków. ΔSOC – prostokątny

Odp: Objętość ostrosłupa wynosi cm3.

Pp=a·b Pp=4·6=24 [cm2] α Przykład 4. W ostrosłupie podstawą jest prostokąt o wymiarach: 4cm i 6cm. Kąt nachylenia ściany bocznej o podstawie 4cm do płaszczyzny podstawy ma miarę 45˚. Oblicz pole i objętość ostrosłupa. Dane: a=6cm b=4cm =45˚ Szukane: P, V. Podstawą jest prostokąt, obliczmy jego pole. Pp=a·b Pp=4·6=24 [cm2] S H h1 h2 C D α b O E A F B a

α Trójkąt SOE jest prostokątny. Wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczamy długości odcinków H i h1. S ΔSOE - prostokątny h1 H α E O ½a

Trójkąt SOF jest prostokątny, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczymy długość wysokości h2. lub -odpada ΔSOF - prostokątny S H h2 F O ½b

Odp: Pole powierzchni ostrosłupa wynosi cm2, jego objętość równa się 24 cm3.

Oblicz pole powierzchni i objętość czworościanu foremnego Przykład 5. Oblicz pole powierzchni i objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości 10cm. Dane: a=10cm Szukane: P, V. Trójkąt w podstawie jest równoboczny, odcinek BD jest wysokością trójkąta ABC. Obliczymy długość odcinka BD wykorzystując wzór na długość wysokości w trójkącie równobocznym. S a a H C a B D O a A

Trójkąt SOB jest prostokątny Trójkąt SOB jest prostokątny. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość wysokości H.

Odp: Pole powierzchni czworościanu wynosi cm2, jego objętość równa się cm3.