Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Temu, kto nie zna matematyki, trudno spostrzec głębokie piękno przyrody.” Richard Feynman

TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH Prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych jest najpopularniejszym narzędziem służącym do określania położenia punktu na płaszczyźnie, czy też w przestrzeni. Dzięki własnością trójkątów prostokątnych w łatwy sposób możemy obliczyć długość odcinka narysowanego w układzie współrzędnych w oparciu o współrzędne jego końców.

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH. Przypomnijmy sobie jak odczytujemy dane z układu współrzędnych:   Punkt A ma współrzędne (-3; 5). W skrócie zapisujemy to tak: A = (-3; 5) . W nawiasie podajemy współrzędne zawszę w tej samej kolejności: najpierw oś X, potem oś Y. Punkt = (x; y)

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. Łatwo jest podać długość odcinka równoległego do którejś z osi układu – wystarczy policzyć ile kratek zajmuje (przez ile podziałek przechodzi) Długość odcinka oznaczamy pionowymi kreskami: |AB| = 3 |CD| = 4 |EF| = 5

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. Możemy także obliczyć długość na podstawie współrzędnych końców. A = (3; 5) , B = (3; 2) |AB| = |5 – 2| = 3 UWAGA Te same współrzędne osi X świadczą o tym, że odcinek jest równoległy do osi Y. Te same współrzędne osi Y świadczą o tym, że odcinek jest równoległy do osi X.

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. C = (-3; 3) , D = (-3; -1) |CD| = |3 – (-1)| = |3 + 1|= 4 E = (-6; -4) , F = (-1; -4) |EF| = |-6 – (-1)| = |-6 + 1| = |-5| = 5 W obliczeniach symbol |…| oznacza wartość bezwzględną. Długość nie może być ujemna.

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. A jak obliczyć długość tego odcinka?

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. Wystarczy umiejętnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. A gdzie tu trójkąt prostokątny? A tutaj: 

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. Oznaczmy sobie: x = |BC| = 3 – odcinek równoległy do osi X y = |AC| = 4 - odcinek równoległy do osi Y Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy więc: |AB|2 = x2 + y2 |AB|2 = 32 + 42 |AB|2 = 9 + 16 |AB|2 = 25 |AB| = 5

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. Pytanie: jak sobie poradzić gdy nie mamy rysunku? Spójrzmy inaczej na bieżący przykład. Współrzędne punktów A i B to: A = (4; -1) , B = (1, -5). Aby obliczyć długość odcinka oznaczonego przez nas przez x, wystarczy odjąć od siebie współrzędne „iksowe” i wyciągnąć z nich wartość bezwzględną: x = |4 – 1| = 3 Analogicznie możemy obliczyć y, z tym, że odejmujemy współrzędne „igrekowe”: y = |-1 – (-5)| = |-1 + 5| = 4 Dalsze obliczenia są takie same jak wcześniej.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Oblicz długość odcinka którego końcami są punkty: A = (2; -3) , B = (-1; -7). Postępujemy zgodnie ze wskazówkami z poprzedniej planszy. x = |2 – (-1)| = |2 + 1| = 3 y = |-3 – (-7)| = |-3 + 7| = 4 |AB|2 = 32 + 42 |AB|2 = 9 + 16 = 25 |AB| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Oblicz długości boków narysowanego trójkąta. Wypiszmy najpierw współrzędne punktów: A = (-2; 4) , B = (1; -3) , C = (4; 2). Dla boku AB mamy: x = |-2 – 1| = |-3| = 3 y = |4 – (-3)| = |4 + 3| = 7 |AB|2 = 32 + 72 |AB|2 = 9 + 49 = 58 |AB| =

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Dla boku AC mamy: x = |-2 – 4| = |-6| = 6 y = |4 – 2| = 2 |AC|2 = 62 + 22 |AC|2 = 36 + 4 = 40 |AC| = = 2

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. – ciąg dalszy Dla boku BC mamy: x = |1 – 4| = |-3| = 3 y = |-3 – 2| = |-5| = 5 |BC|2 = 32 + 52 |BC|2 = 9 + 25 = 24 |BC| =

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Oblicz odległość punktu A = (12; -5) od początku układu współrzędnych. Początek układu współrzędnych to punkt O = (0; 0) mamy więc dla odcinka AO: x = |12 – 0| = 12 y = |-5 – 0| = |-5| = 5 – do obliczeń wystarczy więc wziąć wartość bezwzględną ze współrzędnych |AO|2 = 122 + 52 |AO|2 = 144 + 25 = 169 |AO| = 13

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Czy punkt A = (-6; 8) leży na okręgu o promieniu 10 i początku w układzie współrzędnych? Aby punkt leżał na takim okręgu jego odległość od początku układu współrzędnych musi wynosić 10. Sprawdźmy dla punktu A: x = |-6| = 6 y = |8| = 8 |AO|2 = 62 + 82 |AO|2 = 36 + 64 = 100 |AO| = 10 A więc ten punkt leży na danym okręgu.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Znajdź współrzędne punktów z rysunku. Z rysunku można odczytać współrzędne x oraz promień koła. Mamy: r = 5 A = (2; …) , B = (2; …) Współrzędną y znajdziemy korzystając z tego, że: |AO| = r = 5 |BO| = r = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. Mamy więc: 52 = 22 + y2 25 = 4 + y2 25 – 4 = y2 y2 = 21 W takim razie y = dla punktu A i y = - dla punktu B. Zatem: A = (2; ) B = (2; - )

WZÓR Jeśli ktoś woli mieć gotowy przepis na obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych w oparciu o podane już informacje może wyprowadzić wzór. Oznaczmy współrzędne dwóch punktów: P1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2) Wtedy długości odcinków oznaczonych przez nas przez x i y obliczymy tak: x = |x1 - x2 | y = |y1 - y2 | A więc : |P1 P2 |2 = x 2 + y 2 = |x1 - x2 |2 + |y1 - y2 |2

WZÓR P1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2) Wzór ten można nieco udoskonalić. Wiesz jak?