Wykład no 13

Cząstkowe równania różniczkowe w zapisie skróconym będziemy pisać: Równanie nazywamy liniowym, jeżeli jest liniowe ze względu na niewiadomą funkcję i jej wszystkie pochodne, a więc dla drugiego rzędu ma postać: Będziemy rozpatrywać tylko typowe liniowe równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

Klasyfikacja liniowych równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego (i,j=1,2,...,m) gdzie aij=aji Formą charakterystyczną równania: (i,j=1,2,...,m) nazywamy wielomian:

gdzie WT jest wektorem o składowych (w1,w2,...,wm). A[W] jest formą kwadratową. Macierz A[aij] nazywa się macierzą formy. Rząd macierzy rz(A) jest rzędem formy, a det(A) jest wyróżnikiem formy. a więc równanie: ma macierz charakterystyczną:

która ze względu na założenie aij=aji jest macierzą symetryczną, co oznacza, że zachodzi: gdzie AT jest macierzą transponowaną. Zapis charakterystycznej dla naszego równania: formy kwadratowej: można przedstawić w postaci macierzowej:

lub jawnie: Przedstawienie charakterystycznej formy kwadratowej w formie macierzowej: ułatwia analizę jej własności.

W celu poznania własności form kwadratowych rozpatrzymy jak zmieniają się jej własności przy przekształceniach liniowych: (i,j=1,2,...,m) lub wygodniej w postaci macierzowej: gdzie: jest macierzą nieosobliwą tzn. Zapis det(B) oznacza wyznacznik główny macierzy B. Natomiast wektor V jest wektorem o m składowych i jego wektor transponowany VT możemy zapisać:

otrzymujemy równoważną: Podstawiając do otrzymujemy równoważną: formę kwadratową: gdzie macierz C formy przekształconej jest: Co więcej macierz C jest macierzą symetryczną, gdyż: bo AT=A ze względu na symetrię macierzy A oraz jako macierz dwukrotnie transponowana. Co więcej rząd macierzy C i A jest ten sam czyli rz(C)=rz(A) gdyż macierz B na mocy założenia det(B)0 nie jest macierzą osobliwą.

Dodatkowo, jeżeli ,to również gdyż ze względu na założenie: Każdą formę A(v) równoważną A(w) o postaci: (nm) nazywamy formą kanoniczną formy A. Macierz C formy kanonicznej jest diagonalna i ma postać:

Możemy sformułować twierdzenie: W każdej formie kanonicznej danej formy A liczba różnych od zera współczynników cii jest równa rzędowi formy A. Definicja: Forma rzeczywista A nazywa się określoną, jeżeli w postaci kanonicznej wszystkie współczynniki różne od zera mają ten sam znak.

Forma kwadratowa jest istotnie określona, jeżeli wszystkie współczynniki formy kanonicznej są różne od zera. Jeżeli liczba n niezerowych współczynników formy kanonicznej jest mniejsza od wymiaru m formy, to formę nazywamy osobliwą. Forma, która nie jest formą określoną i osobliwą jest nazywana formą nieokreśloną. Forma kanoniczna formy nieokreślonej charakteryzuje się tym, że wśród jej m współczynników są zarówno ujemne jak i dodatnie. Przedstawimy obecnie sposób sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej oparty na wykorzystaniu macierzy ortogonalnych i wartości własnych macierzy.

Przekształcenie liniowe nieosobliwe, tzn. det(B)0, rzeczywiste: nazywa się ortogonalnym, jeżeli każdą formę kanoniczną xixi przekształca w formę yiyi. Macierz B przekształcenia nazywa się macierzą ortogonalną. Własności macierzy ortogonalnej: 1.Z definicji mamy: i aby zachodziła równość: musi być: czyli 2. Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 Z równości BT=B wynika, że det(BT)=det(B). Biorąc pod uwagę, że BTB=I mamy det(BT)det(B)=1 i podstawiając mamy: [det(B)]2=1

stąd 3. Superpozycja przekształceń ortogonalnych jest przekształceniem ortogonalnym lub formułując tę własność w języku macierzy ortogonalnych możemy powiedzieć: Iloczyn macierz ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Powyższa własność wynika z równości: 4. Przekształcenie odwrotne do ortogonalnego jest ortogonalne. Macierz odwrotna do ortogonalnej jest ortogonalna. Dowód: Należy wykazać, że

Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A Oznaczmy: i mamy: czyli: Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A nazywamy wielomian w() zdefiniowany: W przypadku formy kwadratowej nazywamy go wielomianem charakterystycznym formy kwadratowej.

Pierwiastki wielomianu charakterystycznego w() nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi formy. Dla rzeczywistej macierzy symetrycznej mamy ważne twierdzenie: Pierwiastki charakterystyczne macierzy rzeczywistej symetrycznej są liczbami rzeczywistymi. Dowód:  spełnia równanie:

Wyznacznik jest wyznacznikiem głównym układu równań: Ze względu na równanie: układ równań liniowych posiada co najmniej jedno różne od zera rozwiązanie x1, x2,...,xm. Prawdziwa jest więc nierówność:

Zapisując układ równań: w postaci: Mnożymy równania przez odpowiednio równanie pierwsze, drugie,..., m-te, a następnie dodajemy stronami.

i sumując po uwzględnieniu symetrii aij=aji mamy: Ponieważ aij jest rzeczywiste, liczby są rzeczywiste jako suma dwóch liczb sprzężonych, więc lewa strona równania jest liczbą rzeczywistą. W wyniku dzielenia liczby rzeczywistej

przez liczbę rzeczywistą możemy otrzymać tylko liczbę rzeczywistą więc musi być liczbą rzeczywistą, co kończy dowód. Definicja Dwie formy kwadratowe nazywamy ortogonalnie równoważnymi, jeśli jedna z nich powstaje z drugiej w wyniku przekształceń ortogonalnych. Twierdzenie Formy ortogonalnie równoważne mają ten sam wielomian i pierwiastki charakterystyczne. Dowód: Niech A będzie macierzą formy kwadratowej a B nieosobliwą macierzą przekształcenia ortogonalnego, wtedy

forma przekształcona ma postać: BTAB. Ze względu na ortogonal- ność macierzy B mamy: BT=B-1 i stąd będzie BTAB= B-1AB. Dla wielomianu charakterystycznego formy przekształconej mamy: co kończy dowód. Twierdzenie Każda forma kwadratowa rzeczywista f(x) jest ortogonalnie równoważna dokładnie jednej formie kanonicznej: Liczby i są pierwiastkami charakterystycznymi formy f.

Wracając do równań różniczkowych cząstkowych - typ równania: określamy badając formę kwadratową i jej macierz: Typ formy określamy rozwiązując równanie charakterystyczne: które ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste ze względu na aij=aji

Jeżeli forma kwadratowa odpowiadająca równaniu różniczkowemu jest ściśle określona, czyli liczba pierwiastków różnych od zera jest równa wymiarowi formy i wszystkie są tego samego znaku, to powiadamy, że równanie jest typu eliptycznego krótko eliptyczne w punkcie x0. Jeżeli forma kwadratowa odpowiadająca równaniu różniczkowemu jest nieokreślona i nieosobliwa, czyli liczba pierwiastków różnych od zera jest równa wymiarowi formy ale nie wszystkie są tego samego znaku, to powiadamy, że równanie jest typu hiperbolicznego krótko hiperboliczne w punkcie x0. Jeżeli forma kwadratowa odpowiadająca równaniu różniczkowemu jest osobliwa, czyli liczba pierwiastków różnych od zera jest mniejsza od wymiaru formy, to powiadamy, że równanie jest typu parabolicznego krótko praboliczne w punkcie x0.

Równania eliptyczne Najczęściej spotykanym równaniem eliptycznym jest równanie Laplace’a (jednorodne) lub Poissona (niejednorodne) i dlatego w dalszym ciągu skupimy się nad takimi równaniami. Równanie Laplace’a: Odpowiadająca równaniu forma kwadratowa ma postać: Ponieważ forma ma postać kanoniczną więc 1=  2=  3=1>0, czyli zgodnie z definicją jest to równanie eliptyczne.

Przykłady zagadnień fizycznych prowadzących do równania Laplace’a bądź Poissona. Elektrostatyka Ze względu na pierwsze równanie przyjmujemy: Podstawiając do pierwszego równania mamy:

Dla wektora indukcji elektrycznej: po podstawieniu do diwergencji mamy: Dla ośrodków jednorodnych: Obracając układ współrzędnych tak, że

mamy: Przyjmując: nie sumować po i mamy w nowych zmiennych: lub

Magnetostatyka Ze względu na zerową diwergencję indukcji kładziemy: Dla jednoznacznego określenia wektorowego potencjał magnetycznego A dokładamy warunek normalizacyjny Coulomba w postaci: Drugie z równań Maxwella jest spełnione tożsamościowo, bo

Natężenie pola magnetycznego: i podstawiając do I-go z równań Maxwella mamy: Dla ośrodka jednorodnego lub

Z tożsamości e- mamy: a więc równanie przyjmie postać: Uwzględniając własności  Kroneckera mamy: Uwzględniając, że mamy:

Pole przepływowe Przyjmując mamy: i ostatecznie:

Stacjonarny przepływ ciepła z+dz z(x,y,z+dz)dxdydt x(x,y,z)dzdydt y(x,y+dy,z)dxdzdt y(x,y,z)dxdzdt y+dy y x(x+dx,y,z)dzdydt x+dx z(x,y,z)dxdydt Bilans ciepła dopływającego do obszaru dxdydz przy założeniu, że wewnątrz obszaru działa źródło ciepła qdxdydzdt i rozpatrujemy stacjonarny przepływ ciepła będzie: x

Rozwijając strumień ciepła w szereg Taylora w otoczeniu punktu (x,y,z) i pomijając małe drugiego rzędu otrzymujemy:

Ostatecznie przeprowadzając redukcję i dzieląc przez dxdydzdt mamy: Na mocy prawa Fouriera możemy powiązać strumień ciepła z temperaturą: Po podstawieniu do równania bilansu ciepła mamy: Przy stałej przewodności cieplnej dla ośrodka izotropowego mamy:

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Równanie rozwiązujemy w obszarze . Jeżeli obszar  jest ograniczony, to mówimy o zagadnieniu wewnętrznym, a w przypadku gdy jest nieograniczony mówimy o zagadnieniu zewnętrznym.

Brzeg obszaru może się składać z kilku rozłącznych krzywych W zależności czy 0 jest czy nie mamy odpowiednio zagadnienie wewnętrzne lub zewnętrzne.

Mówimy, że zagadnienie brzegowe jest poprawnie postawione w danej klasie funkcji, jeżeli spełnia następujące warunki: ma rozwiązanie przy dowolnych warunkach brzegowych, w których występują funkcje danej klasy, jest w danej klasie funkcji rozwiązalne jednoznacznie, to znaczy, przy ustalonych warunkach brzegowych ma w danej klasie tylko jedno rozwiązanie, w danej klasie funkcji rozwiązanie zależy w sposób ciągły od warunków brzegowych.

Wewnętrzne zagadnienie Dirichleta posiada jednoznaczne Zasadnicze typy warunków brzegowych: Wewnętrzne zagadnienie Dirichleta   Wyznaczyć funkcję  spełniającą w obszarze  równanie Laplace’a (Poissona) i przyjmującą na krzywej  ograniczającej obszar zadane wartości, czyli Wewnętrzne zagadnienie Dirichleta posiada jednoznaczne rozwiązanie.

Zewnętrzne zagadnienie brzegowe Dirichleta Krzywa 0 jest w nieskończoności i dla uzyskania jednoznaczności rozwiązania trzeba koniecznie określić zachowanie się funkcji  w nieskończoności: R

Wewnętrzne zagadnienie Neumanna  n  Z twierdzenia Gaussa mamy: Warunkiem koniecznym rozwiązalności zagadnienia Neumanna jest

Oczywiste jest uzasadnienie fizyczne warunku Pochodna normalna oznacza strumień pewnej wielkości fizycznej .Warunek zerowania się całki z pochodnej po granicy obszaru oznacza, że nie mamy fizycznej możliwości „nadmuchania” lub „wypompowania” obszaru do nieskończoności a wielkość fizyczna w obszarze musi być zachowana. Wewnętrzne zagadnienie Neumanna określa rozwiązanie z dokładnością do stałej.

Zewnętrzne zagadnienie Neumanna Dla uzyskania jednoznaczności dołączamy warunek: R Zewnętrzny warunek brzegowy Neumanna z warunkiem zanikania funkcji  w nieskończoności jednoznacznie określa rozwiązanie równania eliptycznego.

W przypadku trójwymiarowego zagadnienia zewnętrznego Neumanna warunek Uwaga W przypadku trójwymiarowego zagadnienia zewnętrznego Neumanna warunek nie jest koniecznym. I znowu, jeżeli rezultaty zinterpretować fizycznie, to są one bardzo jasne. Ponieważ obszar rozciąga się do nieskończoności istnieje możliwość, że pewna wielkość ma różny od zera strumień dopływający lub wypływający z nieograniczonego obszaru.

Wewnętrzne zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju  n  Najczęściej przyjmuje się założenie, że Przy tym założeniu rozwiązanie równania eliptycznego z wewnętrznym warunkiem brzegowym jest jednoznaczne.

Zewnętrzne zagadnienie brzegowe III rodzaju Na krzywej  dołączamy najczęściej warunek zanikania funkcji  w nieskończoności i wtedy zagadnienie jest rozwiązalne jednoznacznie.

Obecnie przedstawimy metody rozwiązywania równania Laplace’a i Poissona Spośród metod analitycznych przedstawimy tylko jedną Metoda rozdzielania zmiennych y lub metoda Fouriera Rozpatrzmy płaską płytę prostokątną i niech w obszarze płyty funkcja spełnia równanie Laplace’a: 2a x 2b i warunki brzegowe I rodzaju:

Ze względu na liniowość zagadnienia rozkładamy funkcję: Każda z funkcjii spełnia równanie Laplace’a dla k=1,2,3,4. Funkcje spełniają warunki brzegowe:

Rozwiązujemy cztery niezależne zadania brzegowe I rodzaju. Technikę rozwiązania przedstawimy na przypadku nr 1. Przedstawiamy funkcję 1 w postaci: Podstawiając do równania: i dzieląc przez XY:

Oznaczając: otrzymujemy dwa równania różniczkowe zwyczajne: Rozwiązaniem I-go równania jest a drugiego

Warunkiem, aby powyższy układ równań posiadał rozwiązanie Na mocy powyższych warunków brzegowych mamy: czyli: Warunkiem, aby powyższy układ równań posiadał rozwiązanie różne od zera jest

Warunkiem koniecznym, aby rozwiązanie było różne od zera jest n=0,1,2,... Dla n=0 mamy: D=0 i tylko n=1,2,... mają sens. Wprowadzając oznaczenie Cn, Dn możemy z poniższego układu równań: wyznaczyć: (n=1,3,5,...) i (n=2,4,6,...)

czyli Na mocy warunku brzegowego: mamy: czyli Ostatecznie rozwiązanie 1 ma postać:

Stałe C2n i D2n-1 wyznaczamy z warunku brzegowego:

i mamy: Mamy rozwinięcie funkcji g1 w układzie funkcji ortogonalnych, a więc

i stąd Podobnie dla D2n-1 mamy:

Rozwiązanie równania przy warunkach brzegowych:

jest: gdzie

Podobnie powtarzając rozumowanie znajdujemy funkcje 2, 3 i 4. Inny przykład: W jednorodnym polu elektrycznym znajduje się nieskończenie długa rura izolacyjna o przenikalności . Rura jest ustawiona w ten sposób, że pole elektryczne w nieskończoności jest prostopadłe do osi rury. Znaleźć rozkład pola w przestrzeni.

y R1 (i=1,2,3) x Warunki brzegowe: 1 R2 2 3 E

Ostatni z warunków pokazuje, że i (i=1,2,3) powinno być funkcją nieparzystą czyli

gdzie m - liczba całkowita ze względu na warunek: Biorąc pod uwagę przewidywany kształt rozwiązania i podstawiając do równania Laplace’a mamy: Otrzymujemy równanie Eulera, którego rozwiązania szukamy w postaci:

Podstawiając do równania różniczkowego: otrzymujemy równanie charakterystyczne wyznaczające : Po podzieleniu przez  i redukcji znajdujemy: czyli: i rozwiązanie dla i-go obszaru jest:

Na podstawie warunku w nieskończoności: dla 3 mamy wniosek: m=1 a ze względu na ciągłość potencjału:

również w pozostałych obszarach m=1 i mamy Z warunku w nieskończoności wynika również, że

Z warunku ciągłości potencjału: i składowej normalnej indukcji elektrycznej: między obszarami 2 i 3 mamy: Na granicy między obszarami 1 i 2 z warunku ciągłości potencjału:

i ciągłości składowej normalnej indukcji elektrycznej mamy: i wreszcie ze względu na warunek: mamy: czyli musi zachodzić:

czyli ostatecznie mamy do rozwiązania następujący układ równań: a więc mamy układ 4 równań i 4 niewiadome. Po rozwiązaniu powyższego układu znajdujemy stałe A1, A2, B2 i B3.

Następny przykład: Dana jest przewodząca płytka prostokątna o wymiarach 2ax2b i stałej grubości h. Przewodność elektryczna płytki wynosi  Na jednym z boków z o długości 2a znajduje się elektroda, której potencjał jest pokazany na rysunku. Druga elektroda znajdująca się na przeciwległym boku jest uziemiona. Wyznaczyć rozkład gęstości prądu w płytce i moc traconą w niej. U(l) E h 2b 2a l a -a

Jak sobie wyobrażamy rozpływ gęstości prądu w płytce? 1. FIZYKA Jak sobie wyobrażamy rozpływ gęstości prądu w płytce? Jakie stawiamy założenia upraszczające? Jakie są warunki zadania? Na podstawie tych rozważań budujemy model matematyczny W naszym przypadku mamy następujące wnioski: Można przyjąć dwuwymiarowy model matematyczny 2D Układ współrzędnych prostokątnych (x,y)

Jak umieścić układ współrzędnych? U(l) Um l a -a

y 2b Model matematyczny Wektor gęstości prądu j ma dwie składowe jx, jy będące funkcjami x i y. Spełnia równanie: jest związany z natężeniem pola elektrycznego E: x -a a a pole elektryczne spełnia równania:

ponieważ materiał jest jednorodny i izotropowy, więc równania: i są równoważne. Wystarczy określić rozkład pola elektrycznego a z prawa Ohma wyznaczymy rozkład gęstości prądu. Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania układu równań: Ze względu na pierwsze przyjmujemy: i podstawiając do drugiego równania mamy:

2b lub U(l) Um l a -a x Symetrie i warunki brzegowe: -a a jx(x=0,y)=?

2b U(l) Um l a -a ale czyli x -a a i co więcej

Fizyka: 2b x -a a uziemiona elektroda

Ostatecznie model matematyczny ma postać:

Przedstawiamy potencjał w postaci: i podstawiając mamy: Dzieląc przez XY mamy: czyli: i

Mamy: i rozwiązanie pierwszego równania jest: ale stąd czyli

Z drugiego warunku: mamy: ponieważ więc czyli czyli

Drugie równanie: ma rozwiązanie: Z warunku brzegowego: mamy: i pisząc Cn=C1nC3n Biorąc pod uwagę: mamy:

Z ostatniego warunku brzegowego: mamy: Korzystając z ortogonalności funkcji cos liczymy współczynniki Cn po wykonaniu całkowania mamy:

Znając potencjał możemy określić rozkład gęstości prądu z równania: czyli:

Obliczenie mocy traconej w płytce

Uwzględniając warunki zadania mamy: Podstawiając i wykonując całkowanie otrzymujemy:

Do prostokątnej płytki o wymiarach 2hx2d Przykład Do prostokątnej płytki o wymiarach 2hx2d i stałej grubości H przyłożono dwie elektrody. y 2g Górna elektroda położna w środku o szerokości 2g i potencjale V i dolna elektroda wzdłuż dolnego boku o potencjale 0. d x Przewodność płytki jest stała i wynosi . h -h Wyznaczyć rozkład gęstości prądu w płytce i rezystancję zastępczą płytki przy tak przyłączonych elektrodach. -d Przyjmując: Opis matematyczny:

Potencjał  jest jedynie funkcją mamy: a potencjał  spełnia równanie Laplace’a: y 2g d Wniosek z geometrii elektrod: Potencjał  jest jedynie funkcją współrzędnych x,y. x h -h Potencjał  jest funkcją parzystą zmiennej x czyli -d

co oznacza, że jako rozwiązanie należy przyjąć funkcję parzysta względem x i można nasze zadanie rozważyć w obszarze y 2g d Warunki brzegowe: x h -h i -d

y 2g i ostatni: d x gdzie h -h -d Jak poprzednio przyjmujemy:

i mamy: oraz które mają rozwiązanie: Z warunku: wynika czyli

i stąd Z warunku brzegowego: wynika: Ponieważ więc

Z warunku brzegowego: mamy: czyli Potencjał będzie po wprowadzeniu zastępczej stałej: gdzie

Ostatni warunek brzegowy: daje: no i mamy schody!!! Jak wybrnąć z tych kłopotów?

Dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenie: czyli Żądamy minimum błędu aproksymacji średniokwadratowej:

Pozostała już tylko arytmetyka! Obliczamy ekstremum funkcji wielu zmiennych: i mamy: k=1,2,... Otrzymujemy nieskończony układ liniowych równań:

Niestety całki: i układ równań ma nieskończoną liczbę niewiadomych.

Rozwiązujemy w ten sposób, że ograniczamy liczbę wyrazów i rozwiązujemy układ o skończonej liczbie niewiadomych. Jest to jednak metoda bardzo pracochłonna i wymagająca albo dobrej znajomości metod rozwiązywania równań o nieograniczonej liczbie niewiadomych albo kilkukrotnego rozwiązania odpowiednio powiększanej liczby równań i ocenie odrzuconej części. W takiej sytuacji bezwzględnie bardziej efektywne są metody numeryczne.