Astronomia gwiazdowa i pozagalaktyczna II 2.04.2009 Podstawy kosmologii M. Demiański “Astrofizyka relatywistyczna”, rozdział 10

Einstein's field equations Rμν - the Ricci curvature tensor, R - the scalar curvature Tμν - the stress-energy tensor gμν - the metric tensor G - the gravitational constant, c - speed of light Λ - the cosmological constant

Model standardowy Wszechświata wg ogólnej teorii względności Einstein: OTW umożliwa opis Wszechświata jako całości Elementy modelu: Zasada kosmologiczna + izotropowość i jednorodność Wszechświata -> metryka Friedmana-Robertsona-Walkera Postulat Weyla OTW: sposób na powiązanie tensora energii-pędu z geometrycznymi własnościami czasoprzestrzeni

Model standardowy Wszechświata wg ogólnej teorii względności zasada kosmologiczna (Wszechświat w każdym punkcie wygląda tak samo) + obserwacja, że Wszechświat jest izotropowy, jednorodny (i jednorodnie ekspandujący) -> metryka Friedmana-Robertsona-Walkera

Model standardowy Wszechświata wg ogólnej teorii względności Postulat Weyla: linie świata cząstek spotykają się w jednym miejscu w skończonej bądź nieskończonej przeszłości -> istnieje jedna linia świata przechodząca przez każdy punkt czasoprzestrzeni. Ciecz w tej czasoprzestrzeni porusza się wzdłuż linii, zdefiniowanych przez rozszerzanie się Wszechświata -> zachowuje się jak ciecz idealna dająca się opisać przez tensor energii-pędu Tαβ=(ρ0+p)uαuβ – p gαβ. gdzie uα – czterowektor prędkości; ρ0 - średnia gęstość, pęd p = m γ u, gαβ. tensor metryki;

Model standardowy Wszechświata wg ogólnej teorii względności OTW: związek między tensorem energii-pędu a tensorem metryki, czyli geometrycznymi własnościami czasoprzestrzeni

Ewolucja struktury Wszechświata: model newtonowski załóżmy, że całą przestrzeń wypełnia ciecz albo pył, jednorodnie i izotropowo jak w takim obłoku zmienia się odległość między dwiema cząstkami, R(t)? prawo Newtona -> z punktu widzenia dynamiki liczy się masa, która wypełnia kulę o środku w jednej z badanych cząstek i promieniu = R załóżmy, że na jednostkę masy przypada energia = - ½ k c2, gdzie c – prędkość światła

Model newtonowski Prawo zachowania energii możemy zapisać : ½ (dR/dt)2 – GM/R = - ½ k c2 (czyli: energia kinetyczna + energia potencjalna na element masy = energia całkowita na element masy)‏ Załóżmy, że materia nie tworzy się ani nie znika -> zasada zachowania masy: M = 4/3 π ρ R3 = const

Model newtonowski Wyznaczmy R(t) dla najprostszego przypadku, czyli k=0 (całkowita energia = 0), zakładając R(t=0) = 0: R(t) = (9 G M/2)1/3 t2/3 czyli: od momentu t=0, kiedy R=0: układ rozszerza się R rośnie jak t~2/3 gęstość pyłu ρ maleje jak R-3, czyli t-2.

Model newtonowski dla k różnego od 0 tak prosto scałkować się tego równania nie da odpowiednio normalizując R, można sprowadzić problem do k=±1. Wtedy: dla małych t zawsze: R~t2/3, ρ ~ t-2 dla k=-1: energia na jednostkę masy jest <0 układ rozszerza się w nieskończoność i dla dużych t R(t) ~t dla k=1: energia na jednostkę masy jest >0 układ rozszerza się do osiągnięcia maksymalnej wielkości Rmax = 2 G M/c2 k, a później w skończonym czasie kurczy do pierwotnego stanu R=0

Model newtonowski W tym modelu możemy sobie zdefiniować wektor między dwoma punktami: r(t) = R(t)/R(t0) r0 = a(t) r0 gdzie a(t) = czynnik skali Wtedy prędkość względna tych punktów będzie: v(t) = (dR/dt) / R(t0) r0 = czyli v(t) = H(t) r(t)‏ gdzie nazywa się stałą Hubble'a

Model newtonowski ze stałą kosmologiczną Do prawa zachowania energii możemy dodatkowy człon związany z energią : ½ (dR/dt)2 – GM/R = - ½ k c2 + Ʌ R2 (czyli: energia kinetyczna + energia potencjalna na element masy = energia całkowita na element masy+dodatkowa energia związana z Ʌ)‏ Rezultat: dla dostatecznie dużego Ʌ (>GM/R3) wszystkie rozwiązania R(t) rosną eksponencjalnie z t: Zastosowania: inflacja (energia próżni etc.); rozszerzanie Wszechświata...

Równania Eisteina i rozwiązania Friedmana Do tych podobnych (acz bardziej zaawansowanych) wniosków możemy dojść, stosując “prawdziwą” grawitację, czyli r-nia pola Einsteina.

Pole grawitacyjne w ogólnej teorii względności czasoprzestrzeń: (t, x1, x2, x3)‏ odległość w tej czasoprzestrzeni: ds2 = gαβdxαdxβ, gdzie α i β przebiegają od 0 do 3, a gαβ jest tensorem symetrycznym, powiązanym z rozkładem materii w czasoprzestrzeni równaniami pola Einsteina:

Pole grawitacyjne w ogólnej teorii względności R-nia pola Einsteina: gdzie: Gαβ – tensor Einsteina Rαβ – tensor Ricciego R – skalar krzywizny

Pole grawitacyjne w ogólnej teorii względności A w wersji ze stałą kosmologiczną: gdzie: Gαβ – tensor Einsteina Rαβ – tensor Ricciego R – skalar krzywizny Λ – stała kosmologiczna

Pole grawitacyjne w ogólnej teorii względności Żeby z równań Eisteina wyznaczyć metrykę (= przepis na odległość między dwoma punktami czasoprzestrzeni), musimy oprócz własności materii znać też warunki brzegowe

Modele Friedmana W 1922 Aleksander Friedman rozwiązał równania Einsteina dla jednorodnego i izotropowego rozkładu materii, bez stałej kosmologicznej: W takiej przestrzeni element liniowy można zapisać jako: Tę metrykę nazywa się metryką Friedmana-Robertsona-Walkera, w skrócie FRW

Modele Friedmana W tej metryce k jest stałą, która może przyjmować wartości 0, -1, +1 R(t) jest f-cja czasu, którą można wyznaczyć z równań pola

Modele Friedmana: interpretacja geometryczna stałej k Jeśli obliczymy krzywiznę trójwymiarowej powierzchni t = const, dostaniemy: czyli: dla k=0 krzywizna trójwymiarowych powierzchni jest = 0, czyli są to powierzchnie płaskie k = - 1 => trójwymiarowe pseudosfery k = 1 => trójwymiarowe powierzchnie sfery

Modele Friedmana: Jednorodność i izotropowość pozwala znacznie uprościć równania pola Einsteina, bo wtedy gęstość i ciśnienie zależą tylko od czasu. Równania pola można wtedy zredukować do postaci: i trzeba je jeszcze uzupełnić równaniem stanu, czyli “przepisem” na ciśnienie p człon związany z k (i ew. Λ) pojawia się jako stała całkowania

Modele Friedmana: interpretacja geometryczna stałej k cd. Niekiedy też zapisuje się k c2 = c2 / ℜ, gdzie ℜ– promień zakrzywienia przestrzeni. czyli: dla ℜ->∞ krzywizna trójwymiarowych powierzchni jest = 0, czyli są to powierzchnie płaskie ℜ < 0 > trójwymiarowe pseudosfery ℜ >0 => trójwymiarowe powierzchnie sfery

Modele Friedmana: dla nierelatywistycznego pyłu r-nie stanu: p=0 i, po dodaniu zasady zachowania masy, r-nia pola Einsteina przyjmują tę samą postać, co w przybliżeniu newtonowskim. Inna jest tylko interpretacja k (całkowite ciśnienie vs krzywizna przestrzeni)‏

Modele Friedmana: Oczywiście inaczej sprawa wygląda np. dla gazu ultrarelatywistycznych cząstek albo gazu fotonowego: p= 1/3 εTOT, gdzie εTOT – suma energii kinetycznych cząstek, ~ a-4 stąd: inna zależność R(t) we Wszechświecie po rekombinacji (zdominowanym przez pył: R~t2/3), a inna przed (zdominowanym przez promieniowanie R~t1/2)‏

Modele Friedmana: W takim wypadku z zasady zachowania masy w układzie współporuszającym (czyli sparametryzowanym przez a(t) i H(t)) możemy zapisać:

Modele Friedmana: Jeśli zdefiniujemy sobie stałą To rozwiązanie równań pola można przedstawić w postaci parametrycznej w zależności od k: dla k=+1: dla k=0: dla k=-1:

Modele Friedmana k=-1 k=0 k=+1 k=+1: model zamknięty; trójwymiarowe sfery o skończonej objętości V = 2 π R3 k=0, k=-1: modele otwarte Rozwiązania Friedmana są niestacjonarne: metryka, krzywizna przestrzeni, odległości między cząstkami zależą od czasu k=-1 k=0 k=+1

Modele Friedmana Metrykę FRW często też zapisuje się, wprowadzając zmienną χ taką, że: Wtedy: Przy czym:

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną Równanie Friedmana, podobnie jak w modelu newtonowskim, jest równoważne I zasadzie termodynamiki (zasada zachowania energii).

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne Pierwsze z równań, zwykle określane jako równanie Friedmana, można zapisać: Albo, korzystając z definicji a(t): Dla Λ = 0: Istnieje ρ = ρcr, dla którego dwa pierwsze człony się zniosą i k=0:

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne dla Λ=0 Istnieje ρ = ρcr, dla którego dwa pierwsze człony się zniosą i k=0:

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne dla Λ = 0 Obecna wartość: Parametr gęstości:

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne: parametr deceleracji Definicja: Skoro obecnie a=1 i a z kropką =H_0, to

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne dla Λ = 0 Teraz równania pola można też zapisać jako: A jeśil dla chwili obecnej t = t0 mamy a=1 i , to dostajemy związek 1:1 między gęstością Wszechświata a krzywizną przestrzeni: ℜ =1/ k2=

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne dla Λ = 0 Czyli dla dużych a (dziś albo blisko: a zatem: modele z Ω0 <1 mają otwartą hiperboliczną geometrię i rozszerzają się do nieskończonego a, gdzie dążą do skończonej prędkości v = H0(1- Ω0)½.

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne dla Λ = 0 Dla dużych a: modele z Ω0 >1 mają zamkniętą sferyczną geometrię i przestają rozszerzać się po czasie po czym zapadają się do pierwotnej osobliwości po czasie 2tmax (big crunch)

Modele Friedmana: parametry kosmologiczne dla Λ = 0 Dla dużych a: model z Ω0 =1 oddziela modele otwarte od zamkniętych: model Einsteina-de Sittera; model krytyczny. a zatem v -> 0, gdy a dąży do nieskończoności.

Model Milne'a: pusty Wszechświat Możliwa jest tylko geometria hiperboliczna.

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: parametry kosmologiczne Analogicznie (chociaż mniej intuicyjnie) możemy zdefiniować Ωk i ΩΛ. Co sprowadzi nam równanie Friedmana do postaci:

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: parametry kosmologiczne Analogicznie (chociaż mniej intuicyjnie) możemy zdefiniować Ωk i ΩΛ. Co sprowadzi nam równanie Friedmana do postaci:

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: różne warianty

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: różne warianty W tej chwili najistotniejsze są modele z Λ>0 dla dużych a: wiek zawsze > H0-1

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: różne warianty Model Eddingtona-Lamaitra: Wszechświat albo rozszerza się od początku w skończonym czasie do stanu stacjonarnego w nieskończoności albo zaczął od stacjonarnego rozwiązania przy z ~3, przy czym

Stała kosmologiczna Λ = const pole skalarne Λ(x,t)‏ np. energia próżni

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Obserwator + odległa galaktyka o współrzędnych (r, Θ,φ). W chwili t1 galaktyka wysyła światło, które do obserwatora dociera w chwili t0. Element liniowy przestrzeni wzdłuż promienia świetlnego będzie:

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Całkując go po t i po r, dostaniemy: przy czym

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Kolejny sygnał wysłany z tej samej galaktyki odrobinę później w t = t1 + δt1 do obserwatora dotrze w chwili t0+δt0. Całkując element liniowy dla tego sygnału, dostaniemy więc: Jeśli R(t) zmienia się z czasem bardzo wolno, to porównując te dwa równania możemy zapisać:

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Galaktyka wysyła światło o częstotliwości ν1, a obserwator odbiera częstotliwość ν0. δν powiążemy z δt: Jeśli R(t0) > R(t1) - > rozszerzający się Wszechświat -> ν0 < ν1. Przesunięcie ku czerwieni. Jeśli R(t0) < R(t1) - > kurczący się Wszechświat -> ν0 > ν1. Przesunięcie ku niebieskiej części widma.

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Definicja przesunięcia ku czerwieni: Co można zapisać jako: Jeśli źródło i obserwator są blisko siebie (t0=t1+Δt, gdzie Δt jest małe)‏ ale skoro Δt = r/c

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Czyli: dla małych odległości względne przesunięcie prążków w widmie jest wprost proporcjonalne do wzajemnej prędkości obserwatora i źródła światła (prawo Hubble'a):

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW W ogólnym przypadku nie jest już tak dobrze: czyli Jeśli chcemy prowadzić rachunki dla dużego z -> wzory Mattiga