Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

POSTAĆ KANONICZNA FUNKCJI KWADRATOWEJ

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej: Z takiej postaci wyznaczamy współczynniki a, b, c oraz stwierdzimy czy parabola będąca wykresem funkcji ma ramiona skierowane do góry czy na dół (jeżeli a > 0 – parabola ma ramiona skierowane do góry; jeżeli a < 0 - parabola ma ramiona skierowane w dół). Charakterystycznym punktem paraboli jest jej wierzchołek W=(p,q) który możemy wyznaczyć ze wzorów: gdzie: Funkcję kwadratową można zapisać w postaci kanonicznej:

Zadanie1: Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej: a) f(x)=6x 2 +2x-1 a=6 b=2 c=-1 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·6·(-1) = = 28 – wyróżnik funkcji kwadratowej b) f(x)=-4x 2 +x+5 a=-4 b=1 c=5 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-4)·5 = = 81 – wyróżnik funkcji kwadratowej

c) f(x)=3x 2 +3x a=3 b=3 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·3·0 = 9 – 0 = 9 – wyróżnik funkcji kwadratowej d) f(x)=-5x 2 -x a=-5 b=-1 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = (-1) 2 - 4·(-5)·0 = = 1 – wyróżnik funkcji kwadratowej

e) f(x)=8x 2 +3x a=8 b=3 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·8·0 = 9 – 0 = 9 – wyróżnik funkcji kwadratowej f) f(x)=-x 2 +1 a=-1 b=0 c=1 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-1)·1 = = 4 – wyróżnik funkcji kwadratowej

Zadanie2: Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji: a) f(x)=8x 2 -5x+2 a=8 b=-5 c=2 Δ = b 2 - 4ac Δ = (-5) 2 - 4·8·2 = = -39

b) g(x)=-6x 2 +x+1 a=-6 b=1 c=1 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-6)·1 = = 25

c) h(x)=3x 2 -6x a=3 b=-6 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = (-6) 2 - 4·3·0 = = 36

d) h(x)=2x 2 -8 a=2 b=0 c=-8 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·2·(-8) = = 64

e) f(x)=-x 2 +x a=-1 b=1 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-1)·0 = = 1

f) g(x)=-4x 2 +2 a=-4 b=0 c=2 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-4)·2 = = 32

Zadanie3: Przedstaw funkcję w postaci kanonicznej: a) f(x)=4x 2 -6x+1 a=4 b=-6 c=1 Δ = b 2 - 4ac Δ = (-6) 2 - 4·4·1 = = 20

b) f(x)=-3x 2 +x-8 a=-3 b=1 c=-8 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-3)·(-8) = = -95

c) h(x)=-x 2 +9 a=-1 b=0 c=9 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·(-1)·9 = = 36

d) g(x)=4x a=4 b=0 c=-36 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·4·(-36) = = 576

e) g(x)=x 2 +8x a=1 b=8 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·1·0 = = 64

f) p(x)=5x 2 +10x a=5 b=10 c=0 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·5·0 = = 100

g) f(x)=x 2 +5x+4 a=1 b=5 c=4 Δ = b 2 - 4ac Δ = ·1·4 = = 9

h) f(x)=-x 2 -6x-5 a=-1 b=-6 c=-5 Δ = b 2 - 4ac Δ = (-6) 2 - 4·(-1)·(-5) = = 16

Zadanie4: Funkcję zapisaną w postaci kanonicznej przedstaw w postaci ogólnej: a) f(x)=8(x-6) 2 +2 f(x)=8(x-6) 2 +2 f(x)=8(x 2 -2·x·6+6 2 )+2 f(x)=8(x 2 -12x+36)+2 f(x)=8x 2 -96x f(x)=8x 2 -96x postać ogólna funkcji kwadratowej

b) g(x)=-(x+3) 2 +3 g(x)=-(x+3) 2 +3 g(x)=-(x 2 +2·x·3+3 2 )+3 g(x)=-(x 2 +6x+9)+3 g(x)=-x 2 -6x-9+3 g(x)=-x 2 -6x-6 - postać ogólna funkcji kwadratowej

c) h(x)=-2(x+4) 2 -5 h(x)=-2(x+4) 2 -5 h(x)=-2(x 2 +2·x·4+4 2 )-5 h(x)=-2(x 2 +8x+16)-5 h(x)=-2x 2 -16x-32-5 h(x)=-2x 2 -16x-37 - postać ogólna funkcji kwadratowej