Astronomia gwiazdowa i pozagalaktyczna II Obserwacje we Wszechświatach Friedmana  M. Demiański “Astrofizyka relatywistyczna”, rozdział 10

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: rozwiązania

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: różne warianty W tej chwili najczęściej rozważa się modele z Λ>0 dla dużych a: wiek zawsze > H 0 -1

Modele Friedmana ze stałą kosmologiczną: różne warianty Model Eddingtona- Lamaitra: Wszechświat albo rozszerza się od początku w skończonym czasie do stanu stacjonarnego w nieskończoności albo zaczął od stacjonarnego rozwiązania przy z ~3, przy czym

Stała kosmologiczna Λ = const pole skalarne Λ(x,t)‏ np. energia próżni

Obserwacje w kosmologii Przesunięcie ku czerwieni – redshift: z=0.00 z=0.05 z=0.10 z=0.15 z=0.20 Credit: SDSS

Obserwacje w kosmologii: redshift z~0.004 z~0.063 z~0.08 z~0.15 z~0.23 Credit: J. Silk, The Big Bang

Obserwacje w kosmologii: redshift Przesunięcie ku czerwieni:  dopplerowskie (związane z ruchem galaktyki w przestrzeni)‏ w przybliżeniu newtonowskim relatywistyczne  kosmologiczne (związane z rozszerzaniem się przestrzeni)‏  grawitacyjne (związane z ugięciem światła w silnym polu grawitacyjnym)‏

Obserwacje w kosmologii: redshift Przesunięcie ku czerwieni:  dopplerowskie (związane z ruchem galaktyki w przestrzeni)‏ w przybliżeniu newtonowskim  Tego właśnie wzoru użył Hubble w swoim diagramie  Zwróćmy jednak uwagę, że wtedy dla dużych z v>c...

Obserwacje w kosmologii: redshift dopplerowski Przesunięcie ku czerwieni:  dopplerowskie (związane z ruchem galaktyki w przestrzeni)‏ wzór relatywistyczny

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie: kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni Obserwator + odległa galaktyka o współrzędnych (r, Θ,φ). Metryka FRLW z czynnikiem skali a. W chwili t 1 galaktyka wysyła światło, które do obserwatora dociera w chwili t 0. Element liniowy przestrzeni wzdłuż promienia świetlnego będzie:

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Całkując go po t i po r, dostaniemy:  przy czym

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Kolejny sygnał wysłany z tej samej galaktyki odrobinę później w t = t 1 + δt 1 do obserwatora dotrze w chwili t 0 +δt 0. Całkując element liniowy dla tego sygnału, dostaniemy więc:  Jeśli a(t) zmienia się z czasem bardzo wolno, to porównując te dwa równania możemy zapisać:

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Galaktyka wysyła światło o częstotliwości ν1, a obserwator odbiera częstotliwość ν0. δν powiążemy z δt: Jeśli a(t0) > a(t1) - > rozszerzający się Wszechświat -> ν0 < ν1. Przesunięcie ku czerwieni. Jeśli a(t0) kurczący się Wszechświat -> ν0 > ν1. Przesunięcie ku niebieskiej części widma.

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Skoro: i a(t 0 ) = 1, to Czyli mamy dylatację czasu - odległe galaktyki obserwujemy w t1, gdzie a(t1) wszystkie procesy w naszym układzie odniesienia trwają dłużej niż w układzie odniesienia źródła

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW: redshift kosmologiczny Definicja przesunięcia ku czerwieni: Co można zapisać jako: W najczęściej spotykanej formie:

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Jeśli źródło i obserwator są blisko siebie (t0=t1+Δt, gdzie Δt jest małe)‏ ale skoro Δt = r/c czyli v = cz, prawo Dopplera w przybliżeniu newtonowskim

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW A więc: dla małych odległości względne przesunięcie prążków w widmie jest wprost proporcjonalne do wzajemnej prędkości obserwatora i źródła światła -> prawo Hubble'a:

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Jeśli we wzorze: podstawimy a(t 0 ) =1, to Kosmologiczna intepretacja przesunięcia ku czerwieni: Przesunięcie ku czerwieni jest miarą czynnika skali Wszechświata w momencie, kiedy wyemitowane zostało promieniowanie.

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Czyli np.: dla z=1 a(z) = 0.5 -> odległości we Wszechświecie były średnio 2x mniejsze niż obecnie Ale: z nie daje nam tak naprawdę informacji o tym, kiedy światło zostało wyemitowane, czyli o zależności a(t)‏

Obserwacje w rozszerzającym się wszechświecie z metryką FRW Gdybyśmy znali tę zależność a(t), łatwo też by było policzyć odległość, bo metryka:  dla promienia światła podróżującego radialnie od źródła do nas: ds 2 = 0, dθ =0, dΦ =0, a stąd

Obserwacje w rozrzerzającym się Wszechświecie: pomiar dylatacji czasu Skoro: to można wyobrazić sobie bezpośredni test formalizmu RW traktujemy SNIa jako “standardowe krzywe blasku”  mierzymy czas słabnięcia dla odległych SN i porównujemy ze standardowym czasem obecnie  tu: Blondin et al. 2008

 Blondin et al "rest-frame" vs "pomiar dla danego z"

Pomiar dylatacji czasu: aging rate, czyli okres charakterystycznych zmian widma  Blondin et al. 2008

Rozmiary kątowe w rozszerzającym się Wszechświecie FLRW Obiekt o szerokości d obserwowany z redshiftem z – jaką będzie miał wielkość kątową? W metryce - “poprzeczny” element to ΔΘ. Czyli d = a(t) ( ℜ sin(r/ ℜ )ΔΘ definiujemy miarę odległości D = ( ℜ sin(r/ ℜ ), a stąd

Rozmiary kątowe w rozszerzającym się Wszechświecie FLRW Czyli: Co dla z<<1 i r<< ℜ  ΔΘ jak w przestrzeni euklidesowej)

Rozmiary kątowe w rozszerzającym się Wszechświecie FLRW: angular diameter distance Związek: Można też zapisać jako : tak, że wygląda jak w przestrzeni euklidesowej, tyle, że wprowadzamy specjalną odległość, zwaną odległością średnicy kątowej (angular diameter distance) albo wręcz‏ odległością kątową

Rozmiary kątowe w rozszerzającym się Wszechświecie FLRW Weźmy teraz obiekt, który bierze udział w rozszerzaniu się Wszechświata (np. fluktuacje CMB)‏ Ich rozmiar teraz: d(t 0 )‏ Przy redshifcie z: d(t 0 )a(t) = d(t 0 )/(1+z)‏ A więc obiekt zajmuje na niebie

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Załóżmy, że źródło o przesunieciu ku czerwieni z ma jasność L(ν 1 ) [W Hz -1 ] = całkowita energia emitowana w 4 π sr na jednostkę czasu na jednostkę częstości Jaka będzie gęstość promieniowania S(ν 0 ) [W m -2 Hz -1 ] (czyli energia otrzymana na jednostkę czasu i jednostkę szerokości filtra) źródła w obserwowanej częstości ν 0 ? ν 0 =a(t 1 )ν 1 =ν 1 /(1+z)‏

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Załóżmy, że źródło emituje N(ν 1 ) fotonów o energii hν 1 w zakresie częstotliwości ν 1 +Δν 1 w czasie (u źródła) Δt 1. Jasność źródła L(ν 1 ) można wtedy zapisać jako:

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Fotony rozchodzą się w “kuli” o środku w źródle w epoce t 1. Dotrą do nas w epoce t0, z częstością ν 0 = a(t 1 ) ν 1, w czasie Δt 0 = Δt 1 /a(t 1 ) i w zakresie częstotliwości Δν 1 = a(t 1 ) Δν 1. Nasz teleskop ma średnicę Δl, która będzie odpowiadała jego rozmiarom kątowym mierzonym przez fundamentalnego obserwatorau źródła, ΔΘ:

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Zwróćmy uwagę na różnicę w rozmiarach kątowych, mierzonych w przeciwnych kierunkach stożka świetlnego (reciprocity theorem): rozmiary obiektu o redhifcie z widziane przez nas: rozmiary naszego teleskopu widziane z odległości z:

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Powierzchnia naszego teleskopu to π Δl 2 /4; obejmuje on kąt bryłowy ΔΩ=πΔΘ 2 /4. W czasie Δt 0 teleskop zbierze N(ν 1 )ΔΩ/(4π) fotonów, teraz obserwowanych w częstości ν 0. Gęstość promieniowania źródła (energia na jednostkę czasu, powierzchni i częstotliwości) będzie:

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Jak S(ν 0 ) ma się do jasności źródła w momencie emisji? Skoro Δt 0 = Δt 1 /a(t 1 ) i ν 0 = ν 1 a(t 1 ), to Jeśli przyjmiemy dla uproszczenia, że widmo ma postać potęgową L(ν)=ν -α, to

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie Dla jasności i gęstości strumienia bolometrycznych (zsumowanych po wszystkich częstotliwościach), wyemitowanych w zakresie Δν 1 i odebranych w Δν 0 : gdzie S bol = S(ν 0 )Δν 0. Wtedy:

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie: luminosity distance Pojawiająca się tu wartość D L = D(1+z) nazywana jest odległością jasnościową (luminosity distance)‏

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie: poprawka K (K-correction)‏ A więc obserwowane natężenie i jasność źródła możemy powiązać wzorem: Jedyny problem: musimy znać “spodziewane” widmo źródła L(ν). Czynnik w nawiasie kwadratowym nazywa się “poprawką K” (K-correction). Wprowadzony w latach 1930' dla “poprawienia” jasności widomej odległych galaktyk obserwowanych standardowymi filtrami o określonej szerokości

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie: poprawka K (K-correction)‏ Wprowadzając jasności:  absolutną M = const – 2.5 log (L(ν 0 )) i  obserwowaną m = const – 2.5 log(S(ν 0 ))‏ dostaniemy: gdzie:

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie: poprawka K (K-correction)‏ Ta postać jest poprawna dla monochromatycznych jasności / gęstości strumienia W praktyce: w zakresie optycznym często wystarcza Ale często (duże z albo wąskie filtry): trzeba zrobić konwolucję z przewidywanym widmem galaktyki i funkcją czułości filtra

Jasności w rozszerzającym się Wszechświecie: poprawka K (K-correction)‏ K-correction as a function of the source redshift for different filters and source spectra. Dotted line: inactive spiral spectrum observed with the LW3 filter; continuous line: M 82-like spectrum with LW3; dashed line: M 82 spectrum observed with LW2. Note that the spiral spectrum (dotted line) implies the strongest K- correction at because of the lack of hot-dust emission depressing the rest-frame LW3 flux compared with the redshifted PAH-dominated emission. Franceschini et al. 2001: ISO (IR) galaxies

Odległości kosmiczne - podsumowanie W sumie w kosmologii używamy czterech podstawowych skal odległości:  odległość jasnościowa, luminosity distance D L  odległość średnicy kątewej, D A  odległość współporuszająca D C  odległość czasu wędrówki światła D T

Odległości kosmiczne - podsumowanie W sumie w kosmologii używamy czterech skal odległości:  odległość jasnościowa, luminosity distance D L.  W tej skali prędkość rośnie b. szybko z z, bo najdalsze galaktyki są – w związku z rozszerzaniem się Wszechświata i “rozrzedzeniem” fotonów z tym związanym znacznie słabsze, niż byłyby – będąc w tej samej odległości “fizycznej” we Wszechświecie nierozszerzającym się; najdalsze obserwowane galaktyki mają D L ~350 mld lat świetlnych

Odległości kosmiczne - podsumowanie W sumie w kosmologii używamy czterech skal odległości:  odległość średnicy kątewej, D A  Tutaj galaktyki o dużym z wydają się bliskie nas, bo w momencie, kiedy ich światło (które dziś do nas dociera) zostało wyemitowane, naprawdę były znacznie bliżej nas niż dzisiaj, co przekłada się na ich wielkość kątową  ponieważ D~sin(r), ta odległość rośnie, a potem maleje z z!

Odległości kosmiczne - podsumowanie W sumie w kosmologii używamy czterech podstawowych skal odległości:  odległość współporuszająca D C  odległość, która rośnie z wiekiem Wszechświata jak a(t)  Mowi nam, gdzie galaktyki są “teraz”, nawet jeśli oglądamy daleki (wczesny) fragment Wszechświata – najbardziej “fizyczna”  W tej skali najdalsze galaktyki dzieli od nas 32 mld lat świetlnych, a skraj widzialnego Wszechświata (horyzont) - ~47 mld lat świetlnych (w płaskim modelu ze stałą kosmologiczną)‏

Odległości kosmiczne - podsumowanie W sumie w kosmologii używamy czterech podstawowych skal odległości:  odległość czasu wędrówki światła D T  Odpowiada czasowi, jaki zabrała światłu podróż od źródła do nas  W tej skali Wszechświat ma wielkość ~13.7 mld lat świetlnych

Odległości kosmiczne - podsumowanie odległość jasnościowa, luminosity distance D L odległość średnicy kątewej, D A odległość współporuszająca D C odległość czasu wędrówki światła D T Dla małych z (~0.3, odl. < 2 mld lat świetlnych) wszystkie sprowadzają się do tego samego, ale później...

Relacja czas-redshift Dynamiczne równania Friedmana można też zapisać  I wyeliminować człon geometryczny podstawiając w drugim r-niu obecne wartości a=1 a z kropką = H 0. Wtedy

Relacja czas-redshift Co daje:  Podstawiając a = 1/(1+z) dostaniemy:  Czyli czas kosmiczny mierzony od Wielkiego Wybuchu (t=0, z=nieskończoność) do t (z) będzie:

Relacja czas-redshift We Wszechświecie bez stałej kosmologicznej:  dla Ω 0 >1 wprowadzamy x = (Ω 0 -1)/[Ω 0 (1+z)] i: a dla Ω 0 <1 wprowadzamy y = (1-Ω 0 )/[Ω 0 (1+z)] i:  Dla z>>1, Ω 0 z>>1 obie te relacje redukują się do:

Relacja czas-redshift Obecny wiek Wszechświata otrzymamy wstawiając z=0

Relacja czas-redshift Ze stałą kosmologiczną, ale dla płaskiej geometrii (Omega_0 + Omega_Lambda =1):  Wtedy wprowadzając  Dostaniemy:

Relacja czas-redshift Wtedy obecny wiek Wszechświata (z=0):  Istnieją więc płaskie Wszechświaty Friedmana starsze niż 1/H 0 (np. dla Omega_lambda=0.9 t0 = /H 0 )‏  Ale dziwnym trafem model zgody Omega_Lambda = 0.7 i Omega_m = 0.3 daje t0 = /H 0, czyli praktycznie 1: problem koincydencji

Odległość w funkcji z W ogólnym przypadku:

Odległość w funkcji z Bez stałej kosmologicznej i dla Omega_0<1 możemy policzyć odległość r i miarę odległości D:  Wzory Mattiga

Problem horyzontu Horyzont cząstek – dla danej epoki t, maksymalna odległość, dla której między cząstkami mogły istnieć związki przyczynowo-skutkowe (“komunikacja”)‏ innymi słowy: odległość, jaką sygnał świetlny mógł przebyć od t=0 (Wielki Wybuch) do epoki t. (biorąc pod uwagę zmienną prędkość rozszerzania się Wszechświata)‏

Problem horyzontu Korzystamy z odległości współporuszającej (albo odległości własnej) r(t) = a(t) r (czyli przeskalowanej przez czynnik skali)‏ Współporuszająca odległość radialna odpowiadająca odległości przebytej przez światło od początku Wszechświata (t=0) do epoki t: