Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Analiza pręta zginanego Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr.chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Belki proste stanowią różnego rodzaju elementy konstrukcji nośnych, służące do przenoszenia sił wewnętrznych jednej części konstrukcji na części pozostałe. W celu określenia stanów naprężenia i odkształcenia w belce zginanej obciążonej siłami zewnętrznymi musimy obliczyć wartości i kierunki reakcji podpór. W belkach prostych najczęściej spotykane są następujące sposoby podparcia elementów konstrukcji: podpora przegubowa stała, podpora przegubowa przesuwna, utwierdzenie całkowite. Reakcje podpór wyznaczamy w układzie płaskim z trzech równań równowagi. Zatem, mogą wystąpić tylko trzy niewiadome reakcje. Wyznaczenie reakcji stanowi pierwszy i niezbędny etap analizy pręta.

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Rozpatrzymy to zagadnienie na przykładzie belki AC, podpartej na podporze stałej przegubowej w punkcie A i na podporze przegubowej przesuwnej w punkcie C. Obciążenie zewnętrzne stanowi pionowa siła P przyłożona w punkcie B. W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi są następujące: Z rozwiązania tego układu trzech równań otrzymujemy reakcje podpór

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Moment gnący w dowolnym przekroju poprzecznym belki równa się składowej stycznej wektora momentu wszystkich sił działających po jednej stronie tego przekroju względem jego środka ciężkości. Siła tnąca w dowolnym przekroju belki równa się sumie rzutów wszystkich sił działających po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi belki. Funkcję momentów gnących i sił tnących można przedstawić graficznie w postaci wykresów momentów gnących i sił tnących. Wykresy te sporządza się zazwyczaj pod schematem rozpatrywanej belki z zachowaniem skali długości i skali sił.

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych W celu sporządzenia wykresu momentów gnących musimy przeanalizować funkcje momentów M(x). W przytoczonym przykładzie interesują nas dwa przedziały, w których przeanalizujemy wartości momentów gnących M(x1) i M(x2). W pierwszym przedziale moment gnący wyniesie Dla x1=0 Dla x1=a Ponieważ funkcja momentu gnącego jest liniowa, dlatego łączymy wyznaczone punkty linią prostą.

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Podobnie postępujemy w przypadku drugiego przedziału. Moment gnący jest równy Dla x2=0 Dla x2=a+b I w tym przypadku funkcja momentu gnącego jest liniowa, dlatego również łączymy wyznaczone punkty linią prostą.

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Funkcje sił tnących są funkcjami stałymi, a więc nie zależą od wartości zmiennej x. Stąd będą one równoległe do osi odciętych wykresu.

Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Przyjmujemy, że momenty wywołujące wygięcie osi belki wypukłością ku dołowi będziemy uważali za dodatnie. Odwrotnie, jeżeli momenty gnące wywołują wygięcie osi belki wypukłością ku górze, będziemy je uważać za ujemne. Należy zaznaczyć, że znak momentów nie ma nic wspólnego ze znakami tych samych momentów w równaniach równowagi belki. Znak siły tnącej zależy od tego, czy jest ona wyznaczana z sumy sił znajdujących się z lewej strony rozpatrywanego przekroju, czy z jego prawej strony. Siły tnące, które starają się obrócić element belki zgodnie z dodatnim obrotem układu osi współrzędnych, będziemy przyjmować za dodatnie. W przypadku gdy siły tnące starają się obrócić element belki w kierunku przeciwnym, będziemy je przyjmować za ujemne.

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Równanie równowagi myślowo wyciętego elementu belki o długości dx umożliwi wyprowadzenie zależności różniczkowych, wiążących funkcję momentów gnących z funkcją siły tnącej i obciążenia ciągłego. Równanie momentów gnących wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych względem punktu D wynosi Pomijając małe wyższego rzędu niż jeden, tzn. wyraz (qdx)(0,5dx), otrzymamy Z warunku sumy rzutów sił na oś Oy możemy napisać równanie

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Stąd Różniczkując stronami równanie na siłę tnącą i wykorzystując powyższą zależność, otrzymamy równanie wiążące moment gnący z obciążeniem ciągłym Ze uzyskanych związków wynika, że pochodna względem x funkcji momentu gnącego równa się funkcji siły tnącej i pochodna względem x funkcji siły tnącej równa się ujemnej wartości funkcji obciążenia ciągłego.

Wykresy momentów gnących, sił tnących i normalnych Rozpatrzymy kilka przypadków obciążeń oraz sporządzimy dla nich wykresy momentów gnących i sił tnących. Metodyka rozwiązywania tych przykładów jest następująca: wyznaczamy wartości reakcji podpór, ustalamy przedziały zmienności funkcji momentów i sił tnących, wyznaczamy funkcje momentów i sił tnących, sporządzamy wykresy momentów gnących i sił tnących z zachowaniem przyjętych znaków.

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Przykład 1 Sporządzić wykres momentów gnących i sił tnących dla belki wspornikowej o długości l obciążonej na całej długości obciążeniem ciągłym q Rozwiązanie W celu wyznaczenia reakcji w utwierdzeniu A zapiszemy trzy równania równowagi Stąd

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Rozpatrywana belka ma tylko jeden przedział zmienności momentów gnących i sił tnących: 0  x  l Funkcje momentów gnących i sił tnących są określone zależnościami

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Aby narysować wykres otrzymanych funkcji, należy wyznaczyć co najmniej po trzy punkty każdego wykresu

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Przykład 2 Na rysunku przedstawiono schemat obciążenia belki spoczywającej na dwóch podporach. Sporządzić wykresy momentów gnących i sił tnących. Do obliczeń przyjąć a = 1 m, P = 5 kN, M = 10 kNm, q = 4 kN/m. Rozwiązanie W celu wyznaczenia reakcji w punkcie B i C zapiszemy trzy równania równowagi Po rozwiązaniu równań otrzymujemy

Zależności między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Momenty gnące i siły tnące wyznaczamy analizując dwa przedziały Dla 0  x1  a 8 Dla a  x2  3a

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Na podstawie sporządzonych wykresów momentów gnących, sił tnących i sił normalnych potrafimy znaleźć niebezpieczny przekrój belki i ramy, w którym moment gnący osiąga wartość maksymalną. Przeanalizujemy sposób rozkładu naprężeń normalnych w przekroju zginanego elementu konstrukcji i wyprowadzimy wzór, z którego będziemy obliczać te naprężenia. Rozpatrzymy przypadek czystego zginania. W przekrojach rozpatrywanej belki będzie działał tylko moment gnący. Oznacza to, że przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych pręta nie ma naprężeń stycznych.

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu W elementarnej teorii zginania prętów prostych przyjmuje się następujące założenia: Przekroje poprzeczne, płaskie przed odkształceniem, pozostają płaskie po odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów), przy czym w obu stanach przekroje te są prostopadłe do osi pręta. Stąd, przy czystym zginaniu przekroje poprzeczne pręta obracają się tylko o pewien kąt, który jest miarą odkształcenia. Wskutek obrotu przekrojów pręta odkształcają się jego wzdłużne elementy, zwane umownie włóknami. Założono, że włókna nie wywierają na siebie nacisku i znajdują się w jednowymiarowym stanie naprężenia (proste rozciąganie i ściskanie). Odkształcenia włókien równoległych do osi pręta i znajdujących się w płaszczyźnie równoległej do warstwy obojętnej nie zależą od ich położenia w tej płaszczyźnie. Stąd naprężenia normalne w punktach przekroju, znajdujących się w tej samej odległości od warstwy obojętnej, są takie same.

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Rozpatrzymy obecnie odcinek belki o długości dx, wycięty z belki poddanej czystemu zginaniu. W celu uproszczenia wyprowadzenia wzoru na naprężenia normalne przyjęto, że przekrój poprzeczny belki jest prostokątem, oś Ox pokrywa się z nie odkształconą osią belki, natomiast osie Oy i Oz są jednocześnie głównymi osiami bezwładności pola przekroju poprzecznego. Przy zginaniu tego odcinka belki górne włókna ulegają skróceniu, a dolne wydłużeniu. Zatem, istnieją również włókna, które po odkształceniu nie zmieniają swojej długości. Warstwę składającą się z tych włókien nazywamy warstwą obojętną, a prostą powstałą z przecięcia tej warstwy z przekrojem poprzecznym pręta nazywamy osią obojętną.

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Rozpatrzymy wydłużenie względne włókna o długości dx, znajdującego się w odległości y od warstwy obojętnej. Długość tego włókna po odkształceniu wynosi dx+(dx) = ( +y)d, gdzie  oznacza promień krzywizny. Początkowa długość tego włókna przed odkształceniem była równa d. Stąd wydłużenie względne tego włókna obliczamy ze wzoru Zgodnie z drugim założeniem, przyjętym dla czystego zginania, zastosujemy prawo Hooke'a

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu W celu określenia zależności wiążącej naprężenia normalne z momentem gnącym i wymiarami belki zginanej musimy wykorzystać równania równowagi elementu belki. Redukując układ sił wewnętrznych w przekroju belki określonym współrzędną x stwierdzamy, że siły wewnętrzne redukują się do pary sił działającej w płaszczyźnie obciążenia. Wynika stąd, że układ sił działających na rozpatrywany odcinek belki jest płaskim układem sił, gdzie możemy ułożyć trzy równania równowagi. Wydzielmy na polu przekroju element pola dA, na który działa siła normalna dA. Suma rzutów tych sił na oś Ox jest równa zeru Warunek równowagi momentów gnących względem osi Oz możemy zapisać

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Po uwzględnieniu w powyższym równaniu wcześniejszych zależności otrzymamy gdzie jest głównym momentem bezwładności względem osi obojętnej przekroju poprzecznego zginanego pręta i oznaczany jest Iz. Z powyższego związku otrzymujemy zależność określającą krzywiznę osi belki poddanej czystemu zginaniu Iloczyn EIZ nazywamy sztywnością zginania belki.

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu W celu określenia funkcji naprężeń normalnych podstawimy do wzoru Hooke’a otrzymaną zależność Największe naprężenie normalne max i -max występuje we włóknach najdalej położonych od osi obojętnej przekroju poprzecznego We wzorze tym iloraz Iz/ymax = Wz nosi nazwę wskaźnika wytrzymałości przekroju na zginanie. Możemy więc zapisać

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Warunek równowagi momentów względem osi Oy wynosi Po wykorzystaniu zależności wynikającej z prawa Hooke’a równanie to przyjmie postać Stąd wynika, że moment dewiacji Iyz pola przekroju poprzecznego w płaszczyźnie Oyz jest równy zeru. Co oznacza, że osie Oy i Oz są głównymi centralnymi osiami bezwładności pola przekroju. Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla przekroju prostokątnego o wymiarach b x h wynosi

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Stąd maksymalne naprężenia normalne są równe Wskaźnik wytrzymałości dla przekroju kołowego o średnicy d wynosi Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych sprowadzają się do określenia największego naprężenia normalnego, występującego w przekroju poprzecznym belki. Warunek wytrzymałościowy przedstawia się następująco gdzie kg oznacza dopuszczalne naprężenie zginające.

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Przykład Wyznaczyć wymiary przekroju poprzecznego belki o długości l = 2 m, obciążonej siłą skupioną P = 70 kN. Do obliczeń przyjąć, że przekrój poprzeczny belki jest kwadratem, a naprężenie dopuszczalne na zginanie dla stali wynosi kg = 160 MPa. Rozwiązanie Maksymalny moment gnący występuje w środku belki i wynosi Wskaźnik wytrzymałości przekroju poprzecznego jest równy

Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Maksymalne naprężenie normalne stąd