Dwie podstawowe klasy systemów, jakie interesują nas w inżynierii sterowania Sygnał Systemy sterowania: składają się z dwóch (pod)systemów – sterującego i sterowanego; system sterujący oddziałuje na system sterowany tak, aby osiągnięty został postawiony cel działania systemu sterowanego Sygnał Zadana trajektoria sterowania Zakłócenia System System Sygnał Sterownik Sygnał Obserwacje Sterowania System Proces Zakłócenia Sygnał

System Sygnał Sygnał Przetwarzanie Systemy przetwarzania sygnałów: przetwarzają sygnały pojawiające się na ich wejściu w celu wytworzenia na wyjściu sygnału o pożądanych cechach Sygnał Sygnał System Przetwarzanie Wejście Wyjście

Systemy sterowania Pralka Silnik samochodowy i układ hamulcowy Roboty Rafineria nafty

Systemy przetwarzania sygnałów Studio nagrań cyfrowych Komunikacja satelitarna Kompresja obrazów video Rozpoznawanie obrazów Animacje filmowe

Modele… W inżynierii sterowania, pracujemy najczęściej z modelami , które pozbawione są nieistotnych, z punktu widzenia rozwiązywanego problemu, szczegółów i można z nich „korzystać” w sposób w jaki nie można tego robić z obiektami rzeczywistymi

Sygnał – definicja szeroka Sygnał jest funkcją, która reprezentuje informację Informacja w formie Rzeczywistość wielkości fizycznej (prąd, napięcie, … wielkości audio-wizualne ……. “Sygnał” MODEL Funkcja matematyczna Abstrakcja

Skupimy się na sygnałach, które są funkcjami czasu Sygnał – definicja wąska Sygnał jest funkcją czasu Np.:  f – siła działająca na pewna masę vwy – napięcie wyjściowe pewnego obwodu  p – ciśnienie akustyczne w pewnym punkcie Notacje:  f , vwy, p lub f(), vwy(), p() – sygnał jako całość, funkcja f(t), vwy(1.2), p(t+2) – wartość sygnału w chwili t, 1.2, t+2 odpowiednio Dla czasu będziemy zwykle używali symboli: t, , t1, . . .

Sygnał – określony na dziedzinie Dziedzina sygnału w szerokim sensie: zbiór na którym określony jest sygnał – zbiór zmiennych niezależnych Dziedzina sygnału w wąskim sensie: zbiór chwil czasowych na którym określony jest sygnał – zbiór zmiennych niezależnych Dziedzina sygnału może być:  ciągła – sygnał ciągły w czasie dyskretna – sygnał dyskretny w czasie Powszechne dziedziny:  wszystkie t tzn. tR  nieujemne t: t0 (t = 0, oznacza zwykle początkowy punkt obserwacji  t w pewnym przedziale: a  t  b  t w równomiernie rozłożonych punktach: t = kh + t0, k = 0, 1, 2, …

Napięcie mikrofonu [mV] Sygnały - przykłady Przykład 1 – napięcie na wyjściu mikrofonu dla słowa „car”: Napięcie mikrofonu [mV] Czas [ms]  Sygnał – ciągły w czasie, ciągły w wartości (napięcie mikrofonu)  Czas – zmienna niezależna  Napięcie mikrofonu – zmienna zależna

Zmiana temperatury [K] Przykład 2 – zmiana temperatury ściany budynku o grubości 15 [cm] przy skokowej zmianie temperatury zewnętrznej o 10[K]: Zmiana temperatury [K] Położenie [m] Powierzchnia zewnętrzna Powierzchnia wewnętrzna  Sygnał - ciągły w czasie i położeniu, ciągły w wartości (temperatura)  Położenie w ścianie, czas – zmienne niezależne  Temperatura ściany – zmienna zależna

Przykład 3 – wartość indeksu giełdowego w pewnym okresie Czas [tygodnie]  Sygnał - dyskretny w czasie, ciągły w wartości (wartość indeksu)  Czas – zmienna niezależna  Wartość indeksu – zmienna zależna

Przykład 4 – oceny z teorii systemów w pewnym uniwersytecie Liczba ocen [-] Ocena[-]  Sygnał - dyskretny w skali ocen, dyskretny w wartości (liczba ocen)  Skala ocen – zmienna niezależna  Liczba ocen – zmienna zależna

Przykład 5 – stopnie szarości obrazu  Sygnał – ciągły w klatce obrazu (współrzędne), ciągły w skali szarości  Współrzędne klatki obrazu – zmienne niezależne  Stopień szarości – zmienna zależna

Przykład 6 – zmienność stopni szarości obrazu w czasie Czas[s] Sygnał – ciągły w klatce obrazu (współrzędne), ciągły w skali szarości i dyskretny w czasie,  Współrzędne klatki obrazu, czas – zmienne niezależne  Stopień szarości – zmienna zależna

Sygnały - klasyfikacje  ciągłe w czasie – dyskretne w czasie t  R, x(t) = sin(2440t) t x Dziedzina sygnału: zbiór liczb rzeczywistych Sygnał ciągły w czasie - analogowy n  N, x(n) = sin(2n  440T) n x T Dziedzina sygnału: zbiór liczb naturalnych Sygnał dyskretny w czasie - próbkowany

Sygnał – ma określony wymiar i jednostki miary Wyróżniamy:  sygnały skalarne: u(t) jest liczbą rzeczywistą  sygnały wektorowe: u(t) jest wektorem o pewnym wymiarze Skupimy się na sygnałach skalarnych Jednostki miary to jednostki fizyczne sygnału Np.:  V, mA, m/s, …  czasem jednostka miary jest 1 (sygnał bezmiarowy) lub nie jest on specyfikowany

Sygnał – przyjmuje określone wartości Wartości sygnału: zbiór z którego wybierane są wartości sygnału Sygnał może przyjmować wartości:  ciągłe – sygnał ciągły co do wartości dyskretne – sygnał dyskretny co do wartości – sygnał skwantowany Powszechne dziedziny: wszystkie wartości rzeczywiste tzn. uR  wartości rzeczywiste z pewnego przedziału: a  u  b  wartości wymierne wynikające z kwantyzacji sygnału tzn. uQ

Sygnał ciągły w czasie i ciągły co do wartości – sygnał analogowy Głos Amplituda Czas A/D x y Sygnał dyskretny w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał cyfrowy Indeks Amplituda (I16) Głos komputerowy

Cztery najbardziej nas interesujące kategorie sygnałów: Sygnał ciągły w czasie i ciągły co do wartości – sygnał analogowy Amplituda Czas Sygnał ciągły w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał ciągły skwantowany Amplituda Czas Sygnał dyskretny w czasie i ciągły co do wartości – sygnał próbkowany Amplituda Czas Sygnał dyskretny w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał cyfrowy Amplituda Czas

Układ sterowania cyfrowego Zatrzask i przetwornik A/D Zegar Komputer cyfrowy Przetwornik D/A Aproksymator Element wykonawczy Obiekt sterowany Czujnik i przekształtnik Układ przetwarzania cyfrowego sygnałów Przekształtnik sygnału Filtr dolnoprzep. Zatrzask i przetwornik A/D Monitor Klawiatura Przetwornik A/D i aproksym. Procesor Pamięć programu Pamięć danych Modem Do innego układu cyfrowego przetwarzania sygnałów

Stosowane oznaczenia: Sygnał – niosąc informację o stanie lub zachowaniu systemu fizycznego, jest reprezentowany matematycznie jako funkcja jednej lub wielu zmiennych niezależnych Stosowane oznaczenia:  Sygnał ciągły w czasie  Sygnał dyskretny w czasie  Sygnał ciągły w wartości  Sygnał dyskretny w wartości Przykładowe połączenia: Próbkowanie w t = nT T: okres próbkowania Przetwarzanie D/A Zatrzaskiwanie Przetwarzanie A/D

! Będziemy pomijać efekt kwantyzacji przetwarzania analogowo – cyfrowego i stosowali zamiennie określenia sygnał/system dyskretny i sygnał system cyfrowy

Elementarne sygnały analogowe i cyfrowe Funkcja skoku jednostkowego Sekwencja skoku jednostkowego także: Funkcja skoku opóźnionego i skalowanego Sekwencja skoku opóźnionego i skalowanego

Funkcja impulsu jednostkowego Sekwencja impulsu jednostkowego także: Funkcja impulsu opóźnionego i skalowanego Sekwencja impulsu opóźnionego i skalowanego

Zależności: - pomiędzy (t) i uS(t) - pomiędzy [n] i uS[n]

Funkcja impulsu prostokątnego Sekwencja impulsu prostokątnego

Funkcja impulsu trójkątnego Sekwencja impulsu trójkątnego

Funkcja eksponencjalna rzeczywista Sekwencja eksponencjalna rzeczywista

Funkcja sinusoidalna rzeczywista Sekwencja sinusoidalna rzeczywista

Będziemy rozróżniali: System jest obiektem lub procesem, który przetwarza sygnały, czyli wytwarza odpowiedź nazywaną wyjściem w odpowiedzi na wymuszenie nazywane wejściem Najbardziej ogólnie: System może być opisany za pomocą pewnego operatora skalarnego O lub wektorowego O, który wiąże wektor sygnału wejściowego u(t) z wektorem sygnału wyjściowego y(t) Będziemy rozróżniali: System ciągły System dyskretny Wejście Wyjście O

Systemy liniowe i nieliniowe (Linear and Nonlinear systems) Mówimy, że system jest liniowy jeżeli spełnia on zasadę superpozycji, to znaczy, że posiada on następujące właściwości: Jednorodność: Wyjście systemu pobudzanego pojedynczym wejściem u(t) wzmocnionym w stopniu a jest takie same, jak wzmocnione w takim samym stopniu wyjście systemu odpowiadające wejściu u(t)

Addytywność: Wyjście systemu pobudzanego przez sumę wejść jest takie same, jak suma jego wyjść obserwowanych dla każdego z tych wejść oddzielnie

Graficzna ilustracja warunku addytywności

Praktyczne wskazówki: Na nieliniowość wskazują  jakiekolwiek niezerowe stałe w opisie systemu  jakiekolwiek nieliniowe wyrażenia związane z sygnałami takie np. jak x2(t) x(t)y(t) i pochodnymi sygnałów ciągłych czasu w równaniu różniczkowym lub różnicowym Przykłady: Systemy ciągłe: Systemy dyskretne: Liniowe Nieliniowe

Łącznie zasada superpozycji Systemy ciągłe: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu wyjście systemu jest to znaczy

Systemy dyskretne: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu wyjście systemu jest to znaczy

Przykład - system ciągły dynamiczny Mając system dynamiczny opisany równaniem różniczkowym określić, czy jest on liniowy dla zerowych warunków początkowych

a) Niech: y1(t) wyjście systemu dla wejścia u1(t), a y2(t) wyjście systemu dla wejścia u2(t) Zatem: oraz

Dla systemu liniowego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy System jest liniowy

b) Niech: y1(t) wyjście systemu dla wejścia u1(t), a y2(t) wyjście systemu dla wejścia u2(t) Zatem: oraz

System jest nieliniowy Dla systemu liniowego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy System jest nieliniowy

Systemy dyskretne dynamiczne: Mając system dynamiczny opisany równaniem różnicowym określić, czy jest on liniowy Sprawdzić osąd dla wejść oraz obliczając cztery pierwsze wartości wyjść Przyjąć warunek początkowy

a) Niezerowy składnik stały sugeruje nieliniowość – można zastosować metodę kontrprzykładu, tzn. pokazać jeden przykład, kiedy zasada superpozycji nie jest spełniona dla systemu Spróbujemy pokazać najpierw ogólnie, że system jest nieliniowy Niech: y1[n] wyjście systemu dla wejścia u1[n], a y2[n] wyjście systemu dla wejścia u2[n] Zatem dla wejścia Dla wejścia wyjście wyjście Kombinacja liniowa wyjść y1[n] i y2[n] dla wejść u1[n] i u2[n] wyniesie

System jest nieliniowy Dla systemu liniowego, dla kombinacji liniowej wejść u1[n] i u2[n] wyjście powinno wynosić zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest nieliniowy

Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u1[n] Dla sygnału u2[n] czyli czyli Kombinacja liniowa sygnałów wyjścia

System jest nieliniowy Odpowiedź systemu na podaną kombinację liniową sygnałów wejściowych wyniesie czyli zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest nieliniowy

b) Dla wejścia Dla wejścia wyjście będzie wynosić wyjście będzie wynosić zatem Dla wejścia wyjście powinno wynosić zatem System jest liniowy

Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u1[n] Dla sygnału u2[n] czyli czyli Kombinacja liniowa sygnałów wyjścia

Odpowiedź systemu na podaną kombinację liniową sygnałów wejściowych czyli zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest liniowy

Systemy stacjonarne i niestacjonarne (Time-invariant and Time-varing systems) Mówimy, że system jest stacjonarny, jeżeli dowolne przesunięcie czasu  dla sygnału wejścia u(t+) powoduje takie samo przesunięcie czasu dla sygnału wyjścia, to znaczy przy założeniu, że wyjście dla wejścia u(t) wynosi y(t) i warunki początkowe są identyczne

Praktyczne wskazówki: Na niestacjonarność wskazują  jakiekolwiek niejednostkowe stałe związane z argumentem czasu np. u(2t), u(-t), u[2n], u[-n]  jakiekolwiek współczynniki będące funkcjami czasu w równaniu różniczkowym lub różnicowym Systemy dyskretne: Systemy ciągłe: Stacjonarne Niestacjonarne Przykłady:

Graficzna ilustracja warunku stacjonarności System stacjonarny System niestacjonarny

Wyrazimy wprost warunek stacjonarności dla systemów ciągłych i dyskretnych Systemy dyskretne: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu to znaczy Systemy ciągłe: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu to znaczy

Przykład - system ciągły dynamiczny Mając system dynamiczny opisany równaniem różniczkowym określić, czy jest on stacjonarny dla zerowych warunków początkowych a) Niech: y(t) wyjście systemu dla wejścia u(t) Zastępując w równaniu systemu t przez tt1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu

System jest niestacjonarny otrzymamy otrzymaliśmy poprzednio Zatem System jest niestacjonarny

System jest stacjonarny b) Niech: y(t) wyjście systemu dla wejścia u(t) Zastępując w równaniu systemu t przez tt1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy Zatem System jest stacjonarny

Przykład - system dyskretny dynamiczny Mając system dynamiczny opisany równaniem różnicowym określić, czy jest on stacjonarny Sprawdzić osąd dla wejść obliczając cztery pierwsze wartości wyjść Przyjąć warunek początkowy

System jest niestacjonarny Niech: y[n] wyjście systemu dla wejścia u[n] Zastępując w równaniu systemu n przez nn1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu System jest niestacjonarny

System jest niestacjonarny Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u[n] Dla sygnału u[n-2] wyjście systemu wyjście systemu wynosi wynosi czyli czyli System jest niestacjonarny

System jest stacjonarny b) Niech: y[n] wyjście systemu dla wejścia u[n] Zastępując w równaniu systemu n przez nn1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu System jest stacjonarny

System jest stacjonarny Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u[n] Dla sygnału u[n-2] wyjście systemu wyjście systemu wynosi wynosi czyli czyli System jest stacjonarny

Inne klasyfikacje systemów dynamicznych  systemy przyczynowe i nieprzyczynowe  systemy odwracalne i nieodwracalne Rożne kategorie systemów związane z liniowością i stacjonarnością  Liniowe stacjonarne (Linear Time-invariant (LTI)) Systemy liniowe stacjonarne to systemy, które są liniowe i stacjonarne (wszystkie ich współczynniki są stałe w czasie); piszemy

 Liniowe niestacjonarne (Linear Time-varying (LTV)) Systemy liniowe niestacjonarne to systemy, które są liniowe i w których co najmniej jeden współczynnik jest zmienny w czasie a zatem i operator O jest zmienny w czasie; piszemy  Nieliniowe stacjonarne (Nonlinear Time-invariant (NTI)) Systemy nieliniowe stacjonarne to systemy, których operator jest stacjonarny, ale zależy od wejścia; piszemy

 Nieliniowe niestacjonarne (Nonlinear Time-varying (NTV)) Systemy nieliniowe niestacjonarne to systemy nieliniowe, w których co najmniej jeden współczynnik jest zmienny w czasie, a zatem i operator O jest zmienny w czasie; piszemy

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu