Zagadnienia AI wykład 2

Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska gdzie jest środkiem, a  określa szerokość krzywej. Funkcja typu dzwonowego gdzie parametr a określa szerokość, b określa nachylenie, natomiast c określa środek.

Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy t Funkcja klasy L

Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy s Funkcja radialna

Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy  Funkcja singleton Do zbioru rozmytego A należy tylko .

Przykład Niech X= [0, 100000 zł] Funkcję przynależności zbioru rozmytego „dużo pieniędzy” określamy jako funkcję klasy s. 1000 10000 100000

Możliwość vs prawdopodobieństwo Rozważmy zdanie: Marek zjada x kanapek na śniadanie gdzie xX={1,2,…,8} Załóżmy, że w okresie 100 dni obserwowaliśmy co Marek je na śniadanie. Wyniki obserwacji możemy zapisać w postaci następującego rozkładu prawdopodobieństwa p: X=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 ] p=[ 0.1 0.8 0.1 0 0 0 0 0 ] Zdefiniujmy teraz zbiór rozmyty wyrażający „stopień swobody” z jaką Marek może zjeść x kanapek (tzw. rozkład możliwości ). X=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 ] =[ 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ]

Możliwość vs prawdopodobieństwo Za pomocą rachunku prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć np. prawdopodobieństwo tego, że w wyniku rzutu kostką dostaniemy 4 oczka. Za pomocą zbiorów rozmytych możemy opisać nieprecyzyjne stwierdzenie „wyrzucenie dużej liczby oczek”. Jedyne podobieństwo między teorią zbiorów rozmytych i teorią rachunku prawdopodobieństwa to fakt, że funkcja przynależności i prawdopodobieństwo przyjmują wartości z przedziału [0, 1].

supp A:={ xX: A(x)>0 } Definicja Zbiór elementów przestrzeni X dla których A(x)>0 nazywamy nośnikiem zbioru rozmytego A. Wprowadzamy oznaczenie: supp A:={ xX: A(x)>0 } Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz wówczas supp A={1, 2, 5, 7}

Definicja Wysokość zbioru rozmytego A oznaczamy przez h(A) i określamy jako: Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz wówczas h(A) = 0,6

Definicja Zbiór rozmyty A nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy gdy h(A)=1. Zbiór, który nie jest normalny można znormalizować rozważając funkcję przynależności: Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz wówczas h(A) = 0,5 oraz

Definicja supp A:= ø Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A jest pusty (ozn. A=ø) wtedy i tylko wtedy supp A:= ø Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A zawiera się w zbiorze B (ozn. AB) wtedy i tylko wtedy dla każdego Przykład A B

Definicja -Przekrojem zbioru rozmytego AX oznaczanym A nazywamy następujący zbiór nierozmyty Innymi słowy jest to zbiór określony przez funkcję charakterystyczną Z powyższej definicji widać, że zachodzi następująca implikacja:

Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz Wówczas:

Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty AR jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x1, x2R i [0,1] zachodzi Przykład Poniższy zbiór nie jest wypukły

Operacje na zbiorach rozmytych Definicja Przecięciem zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności W przypadku wielu zbiorów A1, A2,…,An przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności A B AB

Definicja Sumą zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności W przypadku wielu zbiorów A1, A2,…,An przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności A B AB

Definicja Iloczynem algebraicznym zbiorów rozmytych A,BX jest zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz wówczas

Definicja Dopełnieniem zbioru rozmytego AX jest zbiór rozmyty o funkcji przynależności gdzie xX. Przykład Jeżeli X={1,2,3,4} oraz wówczas

Można łatwo pokazać (ćwiczenia Można łatwo pokazać (ćwiczenia!), że przypadku zbiorów rozmytych nie są spełnione prawa dopełnienia tzn: Zachodzą natomiast prawa de Morgana oraz absorbcji (ćwiczenia!). Ponadto w przypadku operacji na zbiorach rozmytych zachodzą własności przemienności, łączności oraz rozdzielności. Przykład Jeżeli X={1,2,3} oraz wówczas

Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów rozmytych AX i BY nazywamy zbiór rozmyty AB funkcji przynależności gdzie xX i yY. Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz wówczas

Definicja Koncentrację zbioru rozmytego AX oznaczamy przez CON(A) i definiujemy jako gdzie xX. Definicja Rozcieńczenie zbioru rozmytego AX oznaczamy przez DIL(A) i definiujemy jako gdzie xX. Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz Wówczas

Zmienna lingwistyczna Zmienną lingwistyczną nazywamy zmienną, której wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Powyższe słowa lub zdania nazywamy wartościami lingwistycznymi zmiennej lingwistycznej. Przykład Niech x będzie zmienną lingwistyczną oznaczającą wiek. Wartości zmiennej lingwistycznej x należą do zbioru T={ stary, bardzo stary, nie tak stary, zupełnie młody, młody, bardzo młody } Do każdego z elementów zbioru T można przyporządkować odpowiedni zbiór rozmyty.

Przykład Niech X={0, 20, 40, 60, 80} oraz Zbiór rozmyty A odpowiada określeniu „młody”. Wówczas możemy interpretować jako „bardzo młody”. Natomiast możemy interpretować jako „bardzo, bardzo młody”.

Przykład 4-osobowa rodzina chce kupić mieszkanie. Komfort mieszkania związany jest z ilością sypialni. Opisujemy go zbiorem rozmytym Wielkość mieszkania opisujemy zbiorem rozmytym Mieszkanie komfortowe i jednocześnie duże opisywane jest zbiorem rozmytym

t -normy Przecięcie zbiorów rozmytych A,BX określiliśmy jako zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności Zamiast funkcji min możemy użyć dowolnej t-normy, tzn. funkcji T takiej, że: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) (łączność) T(a, b) = T(b, a) (przemienność) T(a, b)  T(d, c) dla a  d, b  c (monotoniczność) T(a, 1) = a (warunek brzegowy) Wprowadźmy oznaczenie

Operatory t -normy

s -normy Sumę zbiorów rozmytych A,BX określiliśmy jako zbiór rozmyty AB o funkcji przynależności Zamiast funkcji max można wziąć dowolna s-normę, tzn. dowolna funkcje spełniająca warunki: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (łaczność) S(a, b) = S(b, a) (przemienność) S(a, b)  S(d, c) dla a  d, b  c (monotoniczność) S(a, 0) = a (warunek brzegowy) Wprowadźmy oznaczenie

Operatory s -normy

Relacje rozmyte Zbiory rozmyte pozwalają nam operować nieprecyzyjnym sformułowaniami temperatura wody odpowiednia do kąpieli szybki samochód Zajmiemy się teraz relacjami rozmytymi. Relacje takie pozwalają sprecyzować nieprecyzyjne sformułowania np. x jest znacznie mniejsze od y zdarzenie x miało miejsce dużo wcześniej niż zdarzenie y

Definicja Relacją rozmytą R między dwoma niepustymi zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X Y tzn: gdzie jest funkcją przynależności. Oznaczenia

Przykład Niech X={3,4,5} i Y={4,5}. Zdefiniujmy następującą relację Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania „x jest mniej więcej równe y”. Funkcja przynależności dla tej relacji

Przykład (cd) Relację możemy zapisać za pomocą macierzy gdzie x1=3, x2=4, x3=5 oraz y1=4, y2=5.

Przykład Przyjmijmy, że X=Y=[40,300] będzie przedziałem prędkości osiąganych przez samochody. Rozważmy relację R o następującej funkcji przynależności Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania „samochód osiągający prędkość maksymalną x jest dużo szybszy od samochodu osiągającego prędkość maksymalną y”.

Definicja Złożenie relacji Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi. Rozważmy dwie relacje rozmyte RX Y z funkcją przynależności SY Z z funkcją przynależności Definicja Złożeniem typu sup-T relacji rozmytych R i S nazywamy relację rozmytą RSX Z określoną następującą funkcją przynależności gdzie T jest operatorem t –normy.

Przykład Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy (tzw. złożenie typu sup-min) Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas (tzw. złożenie typu max-min)

Przykład Rozważmy dwie relacje rozmyte gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2, z3} Złożenie typu max-min relacji R i S ma postać

Przykład (cd) Korzystając ze wzoru Znajdujemy wartości aij

Przykład (cd) Ostatecznie

Złożenie relacji - własności 1 2 3 4 5 6 7 8

Przykład Rozważmy relacje rozmyte RX Y , IY Z, OY Z gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2} Złożenie typu max-min relacji R i I ma postać

Przykład (cd) czyli Złożenie typu max-min relacji R i O ma postać

Koniec wykładu 2