Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyk zrobi to lepiej. ” Hugo Steinhaus

Długość łuku. Jeśli umiesz obliczyć długość okręgu czy obwód koła nie powinno sprawić Ci trudności obliczenie długości łuku.

OZNACZENIA. Przyjmujemy następujące oznaczenia: r – długość promienia d – długość średnicy l – długość okręgu (obwód koła) O – środek okręgu (koła) Ważne: d = 2r

LICZBA π. Przypomnijmy (dokładne informacje znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”): l – długość okręgu Najczęściej stosowane przybliżenia: π ≈ 3,14

ŁUK. Łukiem nazywamy część okręgu ograniczoną dwoma punkami. Dwa punkty okręgu wyznaczają dwa różne łuki. ABC - łuk CDA - łuk

KĄT ŚRODKOWY. Kątem środkowym nazywamy kąt o wierzchołku w środku okręgu (koła) i ramionach zawierających promienie okręgu (koła). α – kąt środkowy

DŁUGOŚĆ ŁUKU. Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Długość narysowanych okręgów wynosi 4π (l = 4π). Potrafisz określić długość zaznaczonych kolorem łuków?

DŁUGOŚĆ ŁUKU. Oto prawidłowe odpowiedzi (długość łuku oznaczyliśmy literą ł): ł = 2π Ponieważ ł = 0,5 ∙ l ł = π Ponieważ ł = 0,25 ∙ l ł = 3π Ponieważ ł = 0,75 ∙ l Skąd się wzięły te ułamki? Po pierwsze widać jaką częścią całego okręgu jest zaznaczony łuk, a po drugie…

DŁUGOŚĆ ŁUKU. Ten łuk oparty jest na kącie środkowym o mierze 180°. Cały okrąg to 360°. A więc: Ten łuk oparty jest na kącie środkowym o mierze 90°. A więc:

DŁUGOŚĆ ŁUKU. Znając wzór na obliczenie długości okręgu l o promieniu r, jesteśmy wstanie obliczyć długość dowolnego łuku ł dla którego znamy miarę kąta środkowego α na którym jest oparty ten łuk. ł – długość łuku r – promień okręgu (koła) α – miara kąta środkowego na którym oparty jest łuk

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Kąt o wierzchołku w środku okręgu o promieniu 10 ma miarę 40°. Oblicz długość łuku ł wyznaczonego przez ten kąt.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Jaki promień ma okrąg, w którym kąt o wierzchołku w środku okręgu i mierze 45° jest oparty na łuku o długości 4π?

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Dłuższa wskazówka zegarka ma długość 2 cm. Oblicz jaką drogę przebywa koniec tej wskazówki w ciągu 45 minut. Dłuższa wskazówka to wskazówka minutowa. W ciągu 45 minut przebywa trzy czwarte długości okręgu. A więc w ciągu 45 minut wskazówka pokonuje drogę równą 3π cm, czyli w przybliżeniu 3 ∙ 3,14 cm = 9,42 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Przyjmując, że bok jednej kratki ma długość 1 oblicz długość linii z rysunku. Narysowana linia składa się z łuków. Można rozpatrywać każdy łuk osobno, wszystkie są ćwiartkami okręgu o promieniu 2 i 1. Ale jeśli przyjrzymy się uważniej zauważymy, że z tych ćwiartek da się ułożyć 2 całe okręgi.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Na rysunku obok kwadracikami zaznaczono części składające się na poszczególne okręgi. Ponieważ wzór na długość okręgu wygląda tak: l = 2πr, więc długość linii możemy obliczyć tak: l = 2π ∙ 2 + 2π ∙ 1 = 6π