Problem powiązania kolejności czasowej i funkcjonalnej w modelowaniu dynamicznych sieci otwartych (do policzenia) BioFizMat Andrzej Gecow Instytut Filozofii i Socjologii PAN

struktura modelu wymagania weryfikacja zmian (eliminacja) wynik źródło zmian weryfikowalnych – zmiany w sieci stałe środowisko stan wyjściowy przenoszony przez linki na wejścia innych węzłów węzeł sieci - przekształcenie: stan:=funkcja(sygnałów wejściowych) sygnały wejściowe - skutki innych przekształceń lub sygnały zewnętrzne Taka funkcjonująca sieć nazywa się siecią Kauffmana. elementy sieci kKkK

Modyfikacje Sieci Kauffmana: s≥2, typy sieci, zmienne K Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunków. a, b, c = 0 lub 1 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c Ja stosuję : (c,d):=f(a,b) (od 1975r) ‘agregat automatów’ k = K = 2, 3,... (const.) (c,d):=f(a,b) c ab d Aldana (2003) Kauffman (2004) Iguchi at al. (2007) użyli zmiennego K dla sieci scale-free => sygnały: a, b, c = 0..(s-1) s=2, 4, 8, 16,... proponuję: ‘Kauffmana’ ale już nie Boolowska’ k jako stopień wierzchołka - różne typy sieci, nie tylko ‘Random’ Erdos-Renyi ale i scale-free, single-scale i inne.

funkcjonująca sieć złożona środowisko Model badany jest w 3 krokach: W kroku 1 zaniedbujemy skąd wziął się wynik, który interpretujemy jako własności obiektu (systemu). W kroku 3 warunek adaptacji poprzez tendencję małej zmiany odrzuca część tej zmienności tworząc tendencje strukturalne (np. dodawanie terminalne, zmienność terminalną, wzrost, rekapitulację). W kroku 2 powracamy do pełnego obrazu ale nie używamy wymagań i fitness i uwarunkowujemy zmienność wyniku od losowej zmienności w sieci tworzącej system. Zakładając jego losową zmienność badamy najogólniejsze skutki warunku adaptacji - „tendencję małej zmiany”. Zakładając jego losową zmienność badamy najogólniejsze skutki warunku adaptacji - „tendencję małej zmiany”. dla większych fitness b tylko bardzo małe zmiany są akceptowalne przez warunek adaptacji wymagania wynik Propagacja zmiany Próg złożoności Kolejność funkcjonalna m Liczba identycznych sygnałów - b

współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s automat=węzeł jeżeli jeden z sygnałów wejściowych został zmieniony transformacja: nowe sygnały wyjściowe := f(nowe sygnały wej.) zwykle inne niż stare sygnały wyjściowe Tylko dla k=2, s=2 (w=1) zmiana nie rośnie. Dla s=4 w=1.5 s wariantów sygnałów k wyjść automatu Ile sygnałów wyjściowych średnio ulegnie zmianie?

Stopień wypełnienia stożka wpływu zmianą zależy od współczynnika rozmnażania zmiany: w w(s,k) =k(s-1)/s =const dla symulacji s=2, 4,8,16 k= 2 Dla szczególnie prostej sieci, bez sprzężeń zwrotnych możemy narysować stożek wpływu wczesny terminalny późniejszy kolejność funkcjo- nalna czasowa L zależy więc od miejsca („głębokości”) inicjalizacji zmiany co preferuje małe „głębokości” a to już przypomina zasadę zmienności terminalnej Naefa. tylko małe zmiany są akceptowalne Propagacja zmiany – zmienność terminalna Zainicjujmy zmianę w jakimś miejscu struktury ! Kolejność funkcjonalna to kierunek propagacji sygnałów głębokość wynik Wielkość zmiany – L

Kolejność funkcjonalna a głębokość w piętrach 120 pięter * 32 węzły na piętrze to N=3840

głębokość D sekwencyjna, strukturalna miara kolejności funkcjonalnej definiujemy by mieć jak wskazać miejsce w sieci w powiązaniu z kolejnością funkcjonalną. Dla aa głębokość D określono eksperymentalnie uwzględniając kilka różnych dróg. Dla sf i ss jako D przyjęto zwykłą najkrótszą drogę do wyjść (zgodną ze skierowaniem).

Heterochronie Kolejność funkcjonalna i czasowa Struktury i kolejność funkcjonalna są tu identyczne a kolejność czasowa różna. czas Głębokość D = 1 D = 0 D = 2 W modelu nie ma kolejności czasowej, przybliża ją kolejność funkcjonalna mierzona głębokością D. W sieciach bez sprzężeń zwrotnych można związać kolejność funkcjonalną, czasową i głębokość rozkładami i to jest do policzenia. Potrzeby są większe, dalej – ze sprzężeniami...

Rekapitulacja filogenezy w ontogenezie Ontogeneza Filogeneza w sensie: ciąg postaci dorosłych jednokomórkowy przodek embrion ze skrzelami czas geologiczny ryba Fenotyp zygota stadia ontogenezy (czas w dniach) Skamieniałości Prawo biogenetyczne: Haeckel (1866/1870) Potrójny paralelizm: (1905) Mutacje ???

strukturalna miara kolejności funkcjonalnej D - głębokość y wyjście wejście etapy wzrostu liczba automatów system jeszcze nie jest złożony system 256 – 384 zczyna być złożony od 384 aut system jest napewno złożony P(L) dla kolejnych etapów wzrostu etap pierwszy - system jest jeszcze mały Podstawowe tendencje strukturalne w systemach złożonych +- zmiany z tego max. nie mają szans na akceptację terminalna przewaga dodawania P(a|D,+)-P(a|D,-) więcej + niż - zmienność terminalna P(a|D,+)+P(a|D,-) większość akceptowanych zmian na głębokości 0 i 1 upraszczanie głębszych obszarów agregatu więcej – niż + konserwatywność głębszych obszarów agregatu Prawdopodobna droga automatu w strukturze: realna teoretyczna jak było losowane tylko +, tylko w D=0 agregat Wypieranie wsteczne automaty zmieniają głębokość P(+) = P(-) i jest takie same w każdym miejscu struktury, ale nie wszystkie zmiany są akceptowane

zgodność kolejności funkcjonalnej D i historycznej H (przyłączania do sieci)

Zgodność kolejności historycznej i funkcjonalnej P(D) Naef (1917) prawo zmienności terminalnej : P(a|D,+) +P(a|D,-) Weismann 1902 Bilans + i – terminalna przewaga dodawania P(a|D,+) -P(a|D,-) Stałość funkcjonowania automatów stan dowolny Głębokość przyłączenia Rekapitulacja Haeckel 1866 D D D D P(D|a, + ) + - P(D|a, - )

Jeżeli ktoś wytrzyma więcej, i ma jeszcze ciekawość: skąd bierze się tendencja małej zmiany, to ja mogę to jeszcze pokazać... Andrzej Gecow Dziękuję za uwagę. A. Gecow: Emergence of Growth and Structural Tendencies During Adaptive Evolution of System. In From System Complexity to Emergent Properties. M.A. Aziz-Alaoui & Cyrille Bertelle (eds), Springer, Understanding Complex Systems Series 2009, A. Gecow, From a ``Fossil'' Problem of Recapitulation Existence to Computer Simulation and Answer. Neural Network World. 3/2005, pp Inst. Computer Sci. Acad. Sci. Czech Rep.

Pierwszy krok: 1. Model obiektu y - wektor m cech (sygnałów ) ulegający zmianom przypadkowym i jego ewolucji adaptacyjnej Już z tego prostego modelu otrzymujemy fundamentalną: y 1 |y 2 |... y | | | | | | y m y 1 *|.. y*- ideał (wymagania) inneb – takie same abcdabcd abcdabcd abcdabcd s równoprawdopodobnych wariantów cechy y i y i y i * y i „tendencję małej zmiany” Tendencja to wpływ warunku adaptacji na rozkłady zmienności oraz porównanie do ideału arbitralnie wybrany: - przyczynę wszystkich tendencji strukturalnych poszukiwanych w następnym kroku. fitness, doskonałość b t+1 ≥ b t warunek adaptacji fitness niemaleje darwinowska eliminacja zmian na gorsze dopasowanie do wymagań

Tendencja małej zmiany y 1 |y 2 |... y | | | | | | y m y 1 *|y 2 *|... y*- ideal inneb – takie same abcdabcd abcdabcd abcdabcd |..|. P = 0 nie akceptowalne dla interesujących większych b akceptowalne są tylko małe L b L P(a|b,L) Prawdopodobieństwo akceptacji zmiany a ≡ b t+1 ≥ b t (udoskonalania, adaptacji) s = 4 warianty sygnału y i i porównanie z ideałem y i y i * y i L - zmiany 1.0 b max = L max = m = 64 9

Andrzej Gecow Dziękuję za uwagę. A. Gecow: Emergence of Growth and Structural Tendencies During Adaptive Evolution of System. In From System Complexity to Emergent Properties. M.A. Aziz-Alaoui & Cyrille Bertelle (eds), Springer, Understanding Complex Systems Series 2009, A. Gecow, From a ``Fossil'' Problem of Recapitulation Existence to Computer Simulation and Answer. Neural Network World. 3/2005, pp Inst. Computer Sci. Acad. Sci. Czech Rep.

sposoby zmienności aa: losowanie g, h oraz funkcji sf: losowanie g, h+j oraz funkcji przyłączanie więc ~ k+1 (bo k=0) ss: losowanie g, j oraz funkcji Po ‘–’ linki transmitujące ‘c’ będą transmitować ‘a’, link i zanika, co może generować k=0. i wierzchołek przezroczysty gdy c=a i d=b koszt: a ≡ b t+1 > b t dla + a ≡ b t+1 ≥ b t dla -