Prądy w tkance mózgowej W żywej tkance mogą płynąć prądy jonowe. Nośnikami prądu są dodatnio i ujemnie naładowane jony swobodne. W płynie zewnątrzkomórkowym w mózgu głównym kationem są jony Na+, a anionem jony Cl–. Dodatnie i ujemne jony płyną w przeciwnych kierunkach i dają przyczynki do mierzonego prądu.

Gęstość prądu W odróżnieniu od obwodów elektrycznych, w których prąd jest rozłożony równomiernie w całym przekroju poprzecznym elementów obwodu i można operować pojęciem prądu całkowitego, w tkance nerwowej wygodnie operuje się uogólnionym pojęciem tzw. gęstością prądu J. Gęstość prądu pochodzącego do wielu różnych jonów, można wyrazić jako sumę poszczególnych przyczynków od jonów mających gęstość ładunku ρi i prędkość vi: Gęstość ładunku jest równa wartości ładunku danego jonu pomnożonej przez liczbę wolnych jonów w elemencie objętości tkanki. Jednostką gęstości ładunku jest C/m3. vi są to średnie prędkości jonów wyrażone w metrach na sekundę. Gęstość prądu jest to ilość prądu przepływająca przez jednostkowy przekrój poprzeczny, a jego jednostką jest C/(m2s) lub A/m2.

Gęstość prądu W jednorodnym przewodniku, o przekroju poprzecznym A, w którym płynie prąd I, gęstość prądu J = I/A jest stała (w przestrzeni). DV = hlI/A, h = 1/s – opór właściwy. W tkance mózgowej przepływ prądu jest niejednorodny. Gęstość prądu J(r,t) najczęściej nie jest stała dla r na żadnym przekroju poprzecznym A. Rozkład gęstości prądu w mózgu oszacowany za pomocą rozwiązania problemu odwrotnego zastosowanego do 256-kanałowego zapisu EEG. Przestrzeń rozwiązań jest ograniczona do materii szarej na podstawie obrazowania MRI. Dodatkowo, opór właściwy (przewodnictwo) może zależeć od położenia r (ośrodek niejednorodny), oraz od kierunku (ośrodek anizotropowy).

Prądy w tkance mózgowej W skali makroskopowej (np. w próbce materii zawierającej 1020 lub więcej ładunków w ruchu), tkanka nerwowa spełnia prawo Ohma (dla małych pól elektrycznych, takich jak w zagadnieniach EEG). Oznacza to liniową zależność pomiędzy gęstością prądu J, a przyłożonym polem elektrycznym E: Stała proporcjonalności σ jest nazywana przewodnictwem elektrycznym ośrodka i wyraża się w jednostkach 1/(Ωm) lub równoważnie w Siemens/m (S/m). W tkance biologicznej często wygodniej jest stosować jednostki 1/(Ωcm) lub 1/(Ωmm) i (S/mm)

Prądy w tkance mózgowej Dzięki dużemu oporowi błon komórkowych, prądy płynące w tkance mózgowej ‘omijają’ komórki i płyną w przestrzeni zewnątrzkomórkowej. Słabo przewodzące i gęsto ułożone komórki zwiększają wypadkową oporność tkanki. Jednocześnie, dzięki omijaniu elementów nieliniowych, tkankę można traktować jako ośrodek spełniający liniowe prawo Ohma. Na poziomie mikroskopowym, błony komórkowe wykazują zachowanie nieliniowe, odbiegające od prawa Ohma. Zagadnienia związane z przepływem prądu w ośrodkach z jednorodnie rozmieszczonymi sferami i walcami, o zadanym przewodnictwie, badali Maxwell (1891) i Rayleigh (1892).

Prądy w tkance mózgowej Dla nieprzewodzących sfer i walców, stosunek oporności całego ośrodka h, do oporności płynu hS wynosi: wzór Maxwella - Rayleigha a – względna objętość nieprzewodzących obiektów h – czynnik zależny od geometrii. h = ½ dla sfer, h = 1 dla walców. W tkance mózgowej neurony zajmują 40-50%, glej 35 – 56%. Przestrzeń zewnątrzkomórkowa zajmuje 2 – 20%. Ze wzoru Maxwella – Rayleigha wynika, że gdy a -> 1, h dąży do nieskończoności.

Oporność tkanki mózgowej Tkanka mózgowa jest słabym przewodnikiem. Średnia oporność substancji szarej mózgu (zawierającej ciała komórek) jest większa niż oporność substancji białej mózgu (zawierającej aksony komórek). Przewodnictwo płynów fizjologicznych jest duże ze względu na zawartość jonów Na i Cl.

Struktura czaszki W przekroju głowy można wyróżnić następujące struktury: Skóra (skin) Czaszka (skull ) Opony mózgowo-rdzeniowe (meninges): – opona twarda (dura mater) – opona pajęcza (arachnoid mater) – opona miękka (pia mater)

Modele głowy Trójsferyczny modelu głowy składa się ze sfery wewnętrznej (mózg), otoczonej dwiema sferami (czaszka i skóra). Bardziej realistyczny model głowy składa się z warstwy skóry, trzech warstw czaszki i warstwy płynu mózgowo – rdzeniowego (CSF) płynącego pomiędzy oponami. Strzałki pokazują preferowane obszary przepływu prądu.

Oporność czaszki

Ładunki w tkance mózgowej Tkanka nerwowa wykazuje własności dielektryczne i opornościowe. Gdy umieścimy w niej próbny ładunek punktowy +q, pojawią się następujące efekty: Efekty polaryzacyjny, związany z ładunkami związanymi (nieswobodnymi) w błonach komórkowych. Efekt opornościowy, związany z ładunkami swobodnymi. Jego efektem będzie osłabienie pola ładunku próbnego. Ekranowanie Debye pola ładunku punktowego, poprzez pola innych ładunków przewodnika. Wypadkowe pole jest sumą pól od wszystkich ładunków. Pole podwójnej naładowanej warstwy w (np. błony komórkowej) przewodniku wynosi 0 dla odległości makroskopowych.

Ekranowanie Debye Potencjał pochodzący od ładunku próbnego umieszczonego w elektrolicie: RD jest tzw. długością Debye'a, κ odpowiada za efekty polaryzacyjne, R – odległość od ładunku punktowego. Dla κ = 1 i R ≪ RD, dostajemy potencjał ładunku punktowego w próżni. Dla RD rzędu kilku angstremów (10–10 m) w tkance biologicznej, exp(-R/RD) wynosi ok. 10–4000000 w odległości R = 3 mm. Wniosek: potencjał ładunku próbnego umieszczonego w tkance biologicznej jest zaniedbywalnie mały dla wszystkich makroskopowych odległości. Nie można więc powiedzieć, że potencjały w mózgu są spowodowane pewnym określonym rozkładem ładunku. Są one spowodowane nie tylko określonym rozkładem ładunku ale również wszystkimi ładunkami w ośrodku przewodzącym. W tkance biologicznej, prądy w błonach neuronalnych, a nie ładunki, są generatorami EEG.

Podstawowe równania Wszystkie zjawiska elektryczne i magnetyczne w mózgu podlegają uniwersalnym prawom Maxwella: gdzie: D — indukcja elektryczna , E — natężenie pola elektrycznego, B — indukcja magnetyczna, H — natężenie pola magnetycznego, ρ — gęstość ładunku, J — gęstość prądu. W wielu materiałach, również w tkance nerwowej, pola D i B zależą liniowo od E i H: Gdzie: ε — przenikalność elektryczna, a μ — przenikalność magnetyczna ośrodka.

Podstawowe równania Do opisu pól elektrycznych w tkance nerwowej stosuje się uproszczoną wersje równań Maxwella oraz równań opisujących liniowe własności ośrodka. Podstawowe równania liniowej elektrofizjologii można podsumować następująco: Zasada zachowania ładunku (z 1 i 4 prawa Maxwella) Prawo Gaussa Prawo Ohma Liniowość dielektryka Definicja potencjału skalarnego Przydatny wzór:

(*) (**) Efekty opornościowe i pojemnościowe (polaryzacyjne) Z równań: Dostajemy: (*) Rozważmy składową pola elektrycznego oscylującego z częstością f i wyraźmy równanie (*) stosując prawo Ohma i liniowe równanie dla dielektryka Dwa wyrażenia w nawiasie odpowiadają za efekty opornościowe i pojemnościowe w ośrodku materialnym, tzn. efekty związane z ładunkiem swobodnym i efekty związane z ładunkami związanymi w błonie komórkowej. Oznacza to, że efekty pojemnościowe możemy zaniedbać gdy: (**) W tkance biologicznej, stosunek (**) dla f = 10 Hz, jest rzędu ~10-4

Warunki brzegowe w ośrodkach niejednorodnych Różne obszary mózgu mają różne przewodnictwa, tak więc w praktycznych zagadnieniach występują granice między ośrodkami. W skali makroskopowej, najbardziej oczywiste granice między ośrodkami dotyczą granicy pomiędzy słabo przewodzącą czaszką i powietrzem otaczającym głowę. W skali mikroskopowej mamy do czynienia z granicami tworzonymi przez błonę komórkową z ośrodkiem zarówno zewnętrznym jak i wewnętrznym. Potencjał elektryczny Φ(r, t) będzie miał różne rozwiązania Φi(r, t) w obszarach i o przewodnictwie σi Gdy w obszarze i oraz j nie występują źródła, podstawowe równania elektrofizjologii redukują się do: (*) (**) w każdym z regionów. Równanie (*) odnosi się do sytuacji, w której można zaniedbać efekty pojemnościowe (np. błony komórkowej) i nosi nazwę równania Laplace’a. Równanie to stosuje się do wszystkich zagadnień w skali makroskopowej. Równanie (**) stosuje się w obszarach, w których nie można zaniedbać efektów pojemnościowych - do błon komórkowych i pól w skali mikro.

Warunki brzegowe w ośrodkach niejednorodnych Zawsze dane będzie jedno równanie na nieznany potencjał Φi(r, t) lub Φj(r, t) w danym obszarze. Równania (*) i (**) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Aby rozwiązanie w każdym obszarze było jednoznaczne należy zastosować warunki brzegowe na granicy ośrodków oznaczonych symbolami m i n: składowa normalna – współrzędna u składowe styczne – współrzędna w1 i w2 Pierwszy z warunków określa fizyczne wymaganie by składowa normalna gęstości prądu była ciągła na granicy ośrodków. Warunek ten wynika z zasady zachowania ładunku. Drugi warunek brzegowy określa, że składowa styczna pola elektrycznego musi być ciągła na granicy ośrodków. Warunek ten wynika z drugiego prawa Maxwella. Stosując pierwszy z warunków brzegowych do granicy głowa (m)–powietrze (n) i przyjmując, że przewodnictwo powietrza wynosi zero, dostajemy: Oznacza to, że pole magnetyczne, elektryczne oraz ich potencjały pochodzące od źródeł w mózgu, rozchodzą się w przestrzeni otaczającej głowę, lecz prąd jest ograniczony do jej wnętrza (składowa normalna prądu wynosi zero).

Źródła prądowe w mózgu Tzw. problem wprost w EEG polega na obliczeniu potencjału na czaszce na podstawie źródeł prądowych. Równania Laplace’a w pełni opisują szukany potencjał jednakże potrzebna jest modyfikacja. Wersja niezmodyfikowana wymaga znajomości potencjału i jego pochodnych normalnych na granicy ośrodków, co jest skomplikowane w skali komórkowej. Ponieważ jednak składowa normalna potencjału jest proporcjonalna do gęstości prądu w przewodniku, możemy zastąpić warunki brzegowe na granicy ośrodków poprzez odpowiednie źródła prądowe. Prądy błonowe pojawiają się w wyniku aktywacji pojedynczej synapsy. Np. w wyniku hamującej akcji synaptycznej, powstaje lokalne źródło prądowe w okolicy synapsy oraz zlew prądowy rozproszony wzdłuż dalszych obszarów błony tak, by spełnione było prawo zachowania ładunku

Źródła prądowe w mózgu Zakładamy, że ośrodek jest czysto przewodzący i nie wykazuje efektów pojemnościowych. W takim ośrodku, ładunek nie jest nigdzie gromadzony, gęstość ładunku jest stała, a równanie zachowania ładunku można zapisać: (*) Korzystne okazuje się wprowadzenie pojęcia makroskopowej gęstości prądu źródeł Js, która pozwala zapisać prawo Ohma następująco: (**) Oznacza to, że prąd całkowity w ośrodku przewodzącym składa się prądu ohmowego σE oraz prądu źródłowego wypływającego z granicy między ośrodkami np. prąd wypływający przez błonę komórkową. Wstawiając (**) do (*) i korzystając z definicji potencjału elektrycznego dostajemy: równanie Poissona gdzie objętościowe źródło prądowe jest zdefiniowane jako:

Źródła prądowe w mózgu Obszar przewodnika zaznaczony jest zaokrąglonym prostokątem. a) Obszary wewnętrzne (okręgi) są wyłączone z przewodnika. Potencjał wewnątrz przewodnika jest określony równaniem Laplace'a. Jednoznaczne rozwiązanie tego równania wymaga znajomości potencjału lub pochodnej normalnej potencjału na powierzchniach granicznych przewodnika. b) Zamiast podawać warunki brzegowe na granicach przewodnika, możemy podać źródła prądowe s(r, t) występujące na tych powierzchniach. W tej sytuacji jednoznaczne rozwiązanie dla potencjału wewnątrz przewodnika jest dane równaniem Poissona. Obszary zaznaczone kolorem szarym są źródłami prądu, pozostałe (białe na rys. b) obszary są bezźródłowe.

Bezpośrednie zastosowanie makroskopowych źródeł prądu Z równań: Dostajemy równanie Poissona w dielektryku czyli równanie na potencjał w dielektryku pochodzący od obszaru źródła z pewną gęstością swobodnego ładunku ρ(r, t). Równanie to ma postać równania Poissona w przewodniku. Oba równania są równaniami Poissona lecz ze zmienionymi symbolami. Są one więc matematycznie równoważne lecz reprezentują inne fizycznie procesy.

Potencjał N punktowych źródeł prądowych Swobodny ładunek makroskopowy w przewodniku w praktyce wynosi zero, tak więc równanie Poissona w dielektryku nie ma praktycznego zastosowania w elektrofizjologii. Jednakże w fizyce znanych jest wiele rozwiązań tego równania dla różnych rodzajów niejednorodności w dielektrykach. Aby zastosować znane z fizyki rozwiązania do przewodnika wystarczy w nich podstawić przewodnictwo σ(r, t) w miejsce przenikalności elektrycznej ε(r, t), a źródła ładunku ρ(r, t) zamienić na źródła prądowe s(r, t). Np. rozważmy specjalny przypadek N punktowych źródeł prądowych, co oznacza, że rozmiary (objętość) źródła jest dużo mniejsza niż odległość od elektrod pomiarowych. W nieskończonym, jednorodnym i czysto opornościowym przewodniku, potencjał na zewnątrz źródeł jest analogiczny do potencjału pochodzącego od N ładunków punktowych i wynosi: W typowych jednostkach stosowanych w zagadnieniach EEG, In(t) są jednobiegunowymi źródłami prądowymi (μA) wypływającymi z n-tego rejonu źródła do przewodnika o przewodnictwie σ (1/(Ωcm)). Rn są odległościami pomiędzy miejscem pomiaru a położeniem źródła. Np. potencjał w odległości 1 cm generowany przez źródło prądowe o natężeniu 4π μA w wyidealizowanej korze mózgowej o oporności η = 1/σ = 300 Ωcm, wynosi 300 mV. W ośrodku czysto opornościowym, zależność czasowa potencjału jest dana przez sumę ważoną wszystkich źródeł. W ośrodku z własnościami pojemnościowymi wystąpią przesunięcia fazowe pomiędzy źródłami i potencjałem. Gdy zaniedbamy efekty pojemnościowe, otrzymamy ogólną metodę znajdowania potencjału na podstawie rozkładu źródeł prądowych w mózgu.

Źródło jednobiegunowe W nieskończonym, jednorodnym i czysto opornościowym przewodniku, potencjał pojedynczego źródła jednobiegunowego wynosi:

Dipol prądowy W nieskończonym, jednorodnym i czysto opornościowym przewodniku, potencjał dipol prądowy (punktowego źródła I i zlewu –I, oddzielonych o d) wynosi: Dużo wygodniej wyrazić potencjał dipola za pomocą jednej współrzędnej radialnej r, mierzonej od środka odcinka łączącego ładunki. W odległościach dużo większych od d, pole dipola można przybliżyć następująco: dla r ≫ d. Θ jest kątem pomiędzy osią dipola i wektorem r wskazującym punkt pomiaru.

Dipol prądowy Znaczenie dipola w elektrofizjologii jest większe niż jakakolwiek inna konfiguracja źródeł. Jest tak dlatego, że prawie każdy obszar zawierający źródło i zlew, oraz w którym całkowity prąd źródła i zlewu są równe (zasada zachowania prądu), będzie dawał przybliżone pole dipola w odległościach dużych w porównaniu z rozmiarami obszaru źródło-zlew. Np. pole dipola jest generowane w wyniku pobudzenia lub hamowania synaptycznego w neuronach, Rozkład linii prądu (linia ciągłą) linii izopotencjału (linia przerywana) w wyniku pobudzenia synaptycznego dendrytu wierzchołkowego komórki. Potencjał komórki, jest z dobrym przybliżeniem potencjałem dipola. Rozkład linii prądu (linia ciągłą) linii izopotencjału (linia przerywana) dipola elektrycznego .

Kwadrupol prądowy Rozróżniamy dwie konfiguracje prowadzące do źródła kwadrupolowego. Kwadrupol liniowy składa się z dwóch źródeł +I/2 i zlewu –I leżących wzdłuż jednej prostej, oddzielonych od siebie o d. Kwadrupol dwuwymiarowy składa się z dwóch identycznych dipoli, umieszczonych równolegle do siebie, o przeciwnej orientacji. Kwadrupol liniowy ma zastosowanie w elektrofizjologii gdyż wykazuje podobieństwo do trójfazowego rozkładu źródeł we włóknie nerwowym podczas potencjału czynnościowego. Potencjał kwadrupola w dowolnym miejscu ośrodka przewodzącego wynika bezpośrednio ze wzoru na potencjał pojedynczego źródła jednobiegunowego Rozkład źródeł we włóknie nerwowym podczas generacji potencjału czynnościowego. Kwadrupol liniowy

Warstwa dipolowa Około 65 do 75% neuronów korowych u wszystkich gatunków ssaków jest ustawionych prostopadle do powierzchni kory. Neurony korowe mają dużą liczbę wzajemnych połączeń powodujących synchronizacje ich aktywności. Istnieją więc zarówno anatomiczne, jak i fizjologiczne podstawy by uznać warstwę dipolową tworzoną przez równoległe, synchronicznie działające komórki, za generator potencjałów korowych. Synchronizacja generatorów odgrywa tutaj kluczową rolę. Rozważmy na początku dwa dipole, których prądy fluktuują z częstościami fA i fB. Może to odpowiadać dwóm komórkom, dostającym zarówno wejścia pobudzające, jak i hamujące. Potencjał mierzony przez elektrodę w punkcie P, wynosi: IA oraz IB są maksymalnymi wartościami prądu w każdym z dipoli. Dodatkowo, zakładamy, że cały prąd wypływający ze źródła wpływa do zlewu w tym samym dipolu, co jest spełnione gdy odległość między dipolami L jest znacznie większa niż odległość pomiędzy efektywnymi biegunami d. αA i αB są kątami fazowymi.

Warstwa dipolowa Rozważmy wpływ wielu dipoli o podobnej sile (IA = IB = IC, itd) i podobnych częstościach (fA = fB = fC, itd) na średni potencjał. Potencjał będzie oczywiście zależał od wszystkich odległości R1, R2, itd., możemy jednak sformułować pewne ogólne wnioski: a. Gdy generatory są ze sobą w fazie (αA = αB = αC , itd), a dipole ustawione równolegle do siebie, wyrażenia dodają się i dla m dipoli, uśredniony po czasie potencjał będzie proporcjonalny do ilości wszystkich m generatorów w otoczeniu elektrody, b. Jeśli generatory mają losową orientację, tak że prądy I będą miały losowe znaki lub jeśli losowe będą fazy generatorów, potencjał będzie dużo słabiej zależał od liczby generatorów. Będzie on wynikiem statystycznej fluktuacji. Można pokazać, że m członów w wyrażeniu sumuje się, dając średni potencjał, który dla dużych m można oszacować jako:

Warstwa dipolowa Potencjał mierzony przez elektrodę umieszczoną w pobliżu generatorów może być wyrażony następującym przybliżonym wzorem: Indeksy i, S, oraz A odnoszą się odpowiednio do źródeł lokalnych, źródeł odległych synchronicznych i źródeł odległych asynchronicznych. d jest odległością pomiędzy efektywnymi biegunami dipoli. l, m i n są liczbą źródeł lokalnych, odległych synchronicznych i odległych asynchronicznych, które znajdują się odpowiednio w średnich odległościach Ri, RS, RA. W przypadku elektrody EEG nie ma źródeł lokalnych. Jeśli generatory są podobne IS ≈ IA oraz generatory synchroniczne i asynchroniczne są w podobnej odległości RS ≈ RA, względny przyczynek od generatorów synchronicznych względem asynchronicznych wynosi:

Warstwa dipolowa Elektroda umieszczona na czaszce mierzy aktywność ok. 108 neuronów znajdujących się w paru cm2 kory. Niech prawie wszystkie neurony są aktywne lecz tylko 1% (106) z nich jest ustawiony równolegle i działa synchronicznie. Przyczynek od synchronicznej frakcji neuronów do potencjału mierzonego na czaszce wynosi: Jest on więc 100 razy większy niż przyczynek od pozostałych 99% neuronów. Pokazuje to, że powierzchniowe EEG pochodzi głównie od synchronicznej aktywności równolegle ustawionych neuronów, a zmiana amplitudy sygnału wraz ze stanem fizjologicznym, wiąże się ze zmianą liczby synchronicznie działających komórek. Warstwa ‘pionowych dipoli’ Warstwa ‘poziomych dipoli’

Pola otwarte i zamknięte Warstwa dipoli o tej samej orientacji tworzy pole otwarte. Pola otwarte występują w móżdżku, korze i hipokampie. Komórki ustawione sferycznie symetrycznie tworzą pola zamknięte. Synchroniczna aktywacja neuronów powoduje pole mierzalne wewnątrz pola i zerowe pole na zewnątrz gdyż pola dipoli o przeciwnej orientacji znoszą się wzajemnie. Linią przerywaną zaznaczono granice zerowego potencjału.

Przestrzenny rozkład potencjału w korze Doświadczalne zapisy rozkładu potencjału w korze motorycznej szczura. W zależności od aktywności synaptycznej pionowy rozkład potencjału może zmieniać polaryzacje (na rysunku zmiana zachodzi pomiędzy elektrodą 1 i 2), oraz postać oscylacji.

Analiza gęstości źródłowej prądu (current source density analysis - CSD) Równanie Poissona: Pomiary w punktach V0, Va, Vb można przedstawić: Gdzie: Pierwsza pochodna przestrzenna: - gęstość źródłowa prądu - potencjał polowy - przewodnictwo Druga pochodna przestrzenna: Dla anatomicznie jednorodnych warstw, zmiana potencjału wewnątrz warstwy wynosi 0, tzn.: Czyli: nazywa się gęstością źródłową prądu.

Analiza gęstości źródłowej prądu - przykład Analiza gęstości źródłowej prądu dostarcza informacji na temat lokalizacji ‘zlewów’ i ‘źródeł’ prądów synaptycznych oraz prądów aktywnych w komórce lub warstwie kory. Na rysunku widoczne są: A. Potencjały polowe na różnej głębokości generowane przez stymulację kolaterali Schaffera w hipokampie. B. Analiza gęstości źródłowej prądu. Widoczne dwa maksima oznaczone ‘*’. Maksimum (‘zlew’) w dendrytach pokazuje lokalizacje wpływu prądu synaptycznego. Maksimum (‘zlew’-’źródło’) w okolicy ciała neuronu pokazuje miejsce generacji potencjału czynnościowego