Architektura komputerów Computer Architecture Prof. zw. dr hab. inż. Anatoliy Melnyk E–mail: aomelnyk@gmail.com

Reprezentacja danych w komputerze Lecture 3: Reprezentacja danych w komputerze

Plan of presentation Decimal Numbers Binary Numbers Representation of signed numbers Signed-magnitude method One’s complement method Two’s complement method Data formats Fixed point format Floating point format Short and long data word Programmable processors classification depending on data presentation

Systemy liczbowy SL — system liczbowy SL1 — unitarny (jednostkowy) SL SLR — rzymski SL SL10 — dziesiętny SL SL2–10 (SLBCD) — dwójkowo–dziesiętny SL (ang. Binary-Coded Decimal ) SL2 — dwójkowy SL SL8 — osemkowy SL SL16 — szesnastkowy SL SLzm — liczba w kodzie prostym (znak-module) SLuzp1 — liczba w kodzie uzupełniającym do 1 SLuzp2 — liczba w kodzie uzupełniającym do 2 SLBIAS — liczba w kodzie z przesunięciem (ang. BIAS) SLREAL — liczba zmiennoprzecinkowa

Systemy pozycyjne X = xsxs-1...x1x0,x-1...x-m. In Positional Number System the position of digit plays important role. Number in this system has the following view X = xsxs-1...x1x0,x-1...x-m. Point divides integral part and fraction of number. Quantitative equivalent of this equation: X = ksxs+ks-1xs-1+...+k1x1+k0x0+k-1x-1+...+k-mx-m, Where k – base of number system; s+1 – precision of integral part of number; m - precision of fraction of number; xi – digit i of number (xi = 0, 1, ..., k-1); ki – weight of digit i.

Decimal Numbers In decimal system any number can be presented by digits from 0 to 9. The position of digit plays important role. The rule of data writing in decimal system has the following view: Where: N – quantity of digits in integral part of number (from left side of point); M – quantity of digits in fractional part of number (from right side of point); Di – volume of i digit in integral part of number; D'i – volume of i digit in fractional part of number; D – volume of number; Integral or fractional part can be absent in the number (N or M = 0).

Binary Numbers In computers all information is presented by the binary digits. The reason is that its base element has two states. Lets consider their features. The rule of data writing in binary system has the following view: Where: N – quantity of binary digits in integral part of number (from left side of point); M – quantity of binary digits in fractional part of number (from right side of point); Bi – volume of i digit in integral part of number; B'i – volume of i digit in fractional part of number; B – volume of number. Integral or fractional part can be absent in the number (N or M = 0).

Examples of Binary Numbers

Hexadecimal numbers binary Hexadecimal 0000 1000 8 0001 1 1001 9 0010 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F

Transformation of numbers from number system with base k to decimal Number has the following view X = xsxs-1...x1x0,x-1...x-m. Point divides integral part and fraction of number. Quantitative equivalent of this equation: X = ksxs+ks-1xs-1+...+k1x1+k0x0+k-1x-1+...+k-mx-m, Where k – base of number system; s+1 – precision of integral part of number; m - precision of fraction of number; xi – digit i of number (xi = 0, 1, ..., k-1); ki – weight of digit i. Example: 1011,10012 = 1·23+ 0·22+1·21+1·20+1·2-1+0·2-2+0·2-3+1·2-4 = = 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0 + 0,0625 = 11,5625; X10 = 11,5625.

Transformation of numbers from decimal to number system with base k Example. Decimal 11,5625 to binary Integer part: 11 : 2 = 5, rest 1 (low-order bit of result), 5 : 2 = 2, rest 1, 2 : 2 = 1, rest 0, 1 : 2 = 0, rest 1 (high-order bit of result). Result Xi = 1011.

Transformation of numbers from decimal to number system with base k Example. Decimal 11,5625 to binary Fractional part: Result X2f =0,10010. Full result X2= X2i+X2f = 1011 + 0,10010 = 1011,10010.

Representation of signed numbers There are three methods of signed numbers presentation: Signed-magnitude method; One’s complement (diminished-radix complement) method; Two’s complement (radix complement) method.

Signed-magnitude method (moduł ze znakiem (MZ)) In signed-magnitude method left bit represents the sign of number and other bits represent the proper number. Examples:

One’s complement method (uzupełnieniowy do jedynek (U1)) In one’s complement method oldest bit represents the sign of number (“0” means positive number, “1” means negative number). The bits of positive number are written in usual view and the bits of negative number are written in inverse view (instead of “0” the “1” is written and vice versa). Examples:

Two’s complement method (uzupełnieniowy do dwójki (U2)) Two’s complement method is based at one’s complement method. If number is positive then it is not changed, if negative – after inverting it is increased on “1”. Its most used method. Examples:

Data formats Units of information: Bit, Byte, Word. Word sizes: 1 byte, 2 bytes, 4 bytes, 8 bytes. Two formats are used for data presentation: Fixed point; Floating point. In fixed point format point is at fixed (known) position. For integer number it is placed after number, for fraction number – before number. In this case data are presented at the range When there is sign or at the range if there is no sign.

Bity, bajty i słowa Bit b (ang. bit = binary digit ) jest to najmniejsza dwojkowa lichba: b Bit przyjmuje dwa znaczenia b {0,1} Bajt B (ang. byte) jest to 8 bitów. Słowo W (ang. word) zajmuje dwa bajty (1W=2B=16b):

Bity, bajty i słowa Dwa słowa tworzą podwójne słowo składające się z 32 bitów

Fixed point formats of today’s PC Formats without sign Word length min max 16 байт = 128 біт 3,40282366920938e+38 8 байт = 64 біт 18446744073709551615 4 байти = 32 біти 4294967295 2 байти = 16 біт 65535 1 байт = 8 біт 255 Formats with sign (two’s complement code) Max -1,70141183460469e+38 1,70141183460469e+38 -9223372036854775808 9223372036854775807 -2147483648 2147483647 -32768 32767 -128 127

Liczby zmiennoprzecinkowe W ogólnym wypadku liczba w formacie z ruchomym przecinkiem nadarza pod postacią A = ± m·q± p,  gdzie m - mantysa liczby, q - podstawa wykładnika, ± p -  wykładnik liczby. Poprzedni wyraz można zapisać jak  A = ± mA·±pA,  gdzie uroniono podstawę  wykładnika, ponieważ w komputerach podstawa  wykładnika  jest nieodmienna.  W większości wypadków ona dorównuje podstawie systemu obliczania, czyli 2.

Liczba z ruchomym przecinkiem Liczba z ruchomym przecinkiem z nie zmieśczonym wykładnikiem Liczba z ruchomym przecinkiem z zmieśczonym wykładnikiem  

Normalizacja liczb z ruchomym przecinkiem Dla zabezpieczenia jednoznacznego i maksymalnie dokładnego przedstawienia liczb przyjęto przedstawiać liczbę z ruchomym przecinkiem w tak zwanym znormalizowanym wyglądzie.  Jeśli wykonuje się nierówność q - 1<= |m|<1, a w razie dwójkowego systemu obliczania 0.5<= |m|<1 (starszy dwójkowy bit mantysy dorównuje 1), to uważa się, że liczba jest przedstawiona w znormalizowanym wyglądzie. Więc, u dwójkowej znormalizowanej liczby w formacie z ruchomym przecinkiem w starszym bicie mantysy zawsze stoi 1.  Operacja przywiedzenia liczby do znormalizowanego wyglądu nazywa się normalizacją.  Normalizacja liczb w komputerze wykonuje się albo automatycznie albo ż specjalną program.

Starszy bit znormalizowanej mantysy Starszy bit znormalizowanej mantysy zazwyczaj nie odzwierciedla się w formacie liczby czyli jest domniemana. Bit słowa, w którym musi była być odzwierciedlona ta jednostka, wykorzystuje się jak młodszy bit charakterystyki, albo starszy bit mantysy, co pozwala zwiększyć diapazon przedstawienia liczb w formacie z ruchomym przecinkiem, albo precyzja obliczeń. Więc, mantysa w takim wariancie odzwierciedla się, zaczynając z bitu, co idzie po starszym. Przy całych operacjach z mantysą liczby tę okoliczność należy uwzględniać i przed początkiem operacji ponawiać starszą bit mantysy.  Po zakończeniu operacjik ształtowania znormalizowanego wyniku w odprowadzonej dla niego siatce, starsza jednostka mantysy znów odrzuca się. 

Właściwości wykonania operacji nad liczbami z ruchomym przecinkiem zwiększenie  mantysy do 2 razy spełnia się zsuwem dwójkowego znaczenia mantysy na lewo (w stronę starszych bitów); zmniejszenie  mantysy  do 2 razy spełnia się zsuwem dwójkowego znaczenia  mantysy  w prawo (w stronę młodszych  bitów); wielkość liczby nie zmieni się, jeśli zwiększyć  mantyse  do 2 razy a zarazem zmniejszyć  wykładnik  na 1; wielkość liczby nie zmieni się, jeśli zmniejszyć  mantyse  do 2 razy a zarazem zwiększyć  wykładnik na 1.

Przedstawienie liczb z ruchomym przecinkiem z podstawą wykładnika S =4,8,16 Tu wykładnik P nadarza dwójkową całą liczbą, a mantysa M -liczbą, w której grupy po r dwójkowych bitów przedstawiają jej cyfry z podstawą systemu obliczania S. Użycie dla liczb z ruchomym przecinkiem niedwójkowej podstawy wykładnika coś zmniejsza precyzję obliczeń (przy zadanej liczbie  bitów mantysy), lecz pozwala zwiększyć diapazon przedstawienia liczb, i przyśpieszyć wykonanie niektórych operacji, w szczególności normalizacje, kosztem tego, że zsuw może przeprowadzać się od razu na kilka dwójkowych  bitów (na cztery  bitów dla podstawy wykładnika 16). Oprócz tego, zmniejsza się wiarygodność pojawienia nie znormalizowanych liczb podczas obliczeń. Przy S=16 liczba X jest uważana za znormalizowaną, jeśli starsza cheksadecymalna cyfra Xi jest odmienna od 0. Czyli w znormalizowanej liczbie trzy starsze dwójkowe cyfry mogą dorównywać 0.  Jeśli r starszych  cheksadecymalnych   cyfr mantysy równe 0, to normalizacja w tym wypadku polega na zsuwie w lewo mantysy na r cheksadecymalnych   cyfr  i odpowiednim zmniejszeniu  wykładnika na r jednostek. Zsuw na jedną  cheksadecymalnych cyfre  wykonuje się jak zsuw mantysy od razu na cztery dwójkowe bitow.

Format z ruchomym przecinkiem komputerów firm CDC i IBM

Blokowo-ruchomy i ruchomo-ruchomy przecinek Istnieje duża klasa zadań, kiedy przetwarzaniu podporządkowują się masywy liczb, które zmieniają się w wąskim diapazonie znaczeń. W tym wypadku w celu bardziej efektywnego użycia siatki danych dla przedstawienia liczb wykorzystują tak zwaną blokowo-ruchomy przecinek, kiedy dla całego masywu liczb jest tylko jeden wykładnik. W specjalistycznych komputerach to pozwala istotnie zmniejszyć wydatkowania urządzenia na budowę aryfmetyczno logicznej jednostki. Przy potrzebie jeszcze większego rozszerzenia diapazonu przedstawienia danych wykorzystuje się tak zwany format z ruchomo-ruchomym przecinkiem: Tu znaczenie liczby wyznacza się z wyrazu A = 2 ↑P1 2 ↑ P2.

Liczby zmiennoprzecinkowe -standard IEEE 754 Dla przedstawienia danych z ruchomym przecinkiem format za standardem IEEE 754 jest wykorzystany. 32-bitowy: Tę cyfrę można podać formułą:

Liczby zmiennoprzecinkowe -standard IEEE 754 64-bitowy: Tę cyfrę można podać formułą:

Diapazon liczb, przedstawionych w  standardzie IEEE - 754 z podwójną precyzją 

Krótkie i długie słowo danych Jedna liczba jest wskazana przez jeden adres: Kilka liczb są wskazany przez jeden adres:

Klasyfikacja procesorow programowanych w zależności od prezentacji danych podstawa rozmiar danych bez znaku ze znakiem stałoprzecinkowa zmiennoprzecinkowa krótkie słowo danych długie słowo danych