Szyfrowanie i deszyfrowanie Kryptologia Szyfrowanie i deszyfrowanie Kod RSA KN MiR 29.05.2007 Prezentacja Moniki Sztobryn Na podstawie materiałów z MATprojektu 2005

Rozdziały: Kod RSA Kryptologia Istota szyfru RSA Algorytm szyfrowania i deszyfrowania Dowód poprawności

Kryptologia Kod RSA Istota szyfru RSA Istota szyfru RSA

Kryptologia Kod RSA Kod RSA Kryptologia Istota szyfru RSA Kryptologia Nauka zajmująca się szyfrowaniem – kryptografia oraz deszyfrowaniem - kryptoanaliza Kod RSA Nazwa szyfru pochodzi od nazwisk jego twórców. Aby zaszyfrować wiadomość wystarczy znajomość klucza jawnego, lecz do odszyfrowania niezbędny jest klucz prywatny. Trudność złamania kodu opiera się na trudności rozłożenia bardzo dużych liczb naturalnych na czynniki pierwsze.

pojawiające się w algorytmie kodu Kryptologia Kod RSA Istota szyfru RSA Operacje i funkcje pojawiające się w algorytmie kodu Funkcja modulo Funkcja Eulera Twierdzenie Eulera

FUNKCJA MODULO Kod RSA a mod n=x Kryptologia Istota szyfru RSA FUNKCJA MODULO Operacja zwracająca resztę z dzielenia liczby a przez n. a mod n=x np.: 5 mod 2=1 9 mod 3=0 13 mod 5=3 8 mod 10=8

FUNKCJA EULERA Kod RSA Kryptologia Istota szyfru RSA FUNKCJA EULERA Funkcja Eulera φ wyznacza ilość liczb wzgęldnie pierwszych z daną liczbą, mniejszych od niej. Rozpatrujemy zbiór liczb naturalnych (wraz z zerem) np.: φ(8)=4 Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to φ(n)=n-1 Słaba multiplikatywność φ(an)= φ(a) · φ(n)

Jeżeli a jest liczbą całkowitą, a n naturalną, to Kryptologia Kod RSA Istota szyfru RSA TWIERDZENIE EULERA Jeżeli a jest liczbą całkowitą, a n naturalną, to aφ(n) mod n=1

Algorytm szyfrowania i deszyfrowania Kryptologia Kod RSA Algorytm szyfrowania i d… Algorytm szyfrowania i deszyfrowania

Wybór kluczy Kod RSA Kryptologia Algorytm szyfrowania i d… Wybór kluczy Wybieramy liczby pierwsze p,q (jak największe i TAJNE!) Obliczamy n=pq Obliczamy t=(p-1)(q-1) Losowo wybieramy e takie, że NWD(e,t)=1 Znajdujemy d takie, że: ed mod t=1 (d zostaje tajne!) ed=kt+1, k – liczba naturalna [e, n] – klucz jawny [d, n] – klucz prywatny

me mod n=c Szyfrowanie wiadomości Kod RSA Kryptologia Algorytm szyfrowania i d… Szyfrowanie wiadomości Szyfrowana jest wiadomość LICZBOWA m m<n Otrzymujemy zaszyfrowaną wiadomość c me mod n=c

cd mod n=m Deszyfrowanie wiadomości Kod RSA Kryptologia Algorytm szyfrowania i d… Deszyfrowanie wiadomości Zaszyfrowana wiadomość c jest z powrotem zamieniana na wiadomość m cd mod n=m

cd mod n=m Potęgowanie modulo Kod RSA Kryptologia Algorytm szyfrowania i d… Potęgowanie modulo cd mod n=m

Kryptologia Kod RSA Dowód poprawności Dowód poprawności

Kod RSA Kryptologia Tw.: cd mod n=m (me mod n)d mod n=m Dowód poprawnosci Tw.: cd mod n=m (me mod n)d mod n=m (me)d mod n=mkt+1 mod n=m(mk((p-1)(q-1))) mod n= =m(mk(φ(p)φ(q))) mod n=m(mk(φ(pq))) mod n= =m(mk(φ(n))) mod n=m((mφ(n))k)mod n= =m(1k) mod n=m mod n=m C.N.D.

Kryptologia Kod RSA KONIEC prezentacji 